浙江省杭州市西湖区部分校2021-2022学年高一上学期期中联考数学Word版含解析

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2021-2022学年高一年级第二学期期中考试数学试卷考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封区内填写班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.4.考试结束，上交答题卷.选择题部分一、单项选择题1.下列函数中，最小正周期为的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用周期公式T，求解C选项，利用周期公式T，求解A、B、D选项，即可作出判断．【详解】A、，∵ω＝1，∴2π，本选项不满足题意；B、，∵ω＝2，∴T=π，本选项不满足题意；C、y＝tan，∵ω，∴T2π，本选项不满足题意；D、，∵ω，∴T，本选项满足题意；故选D．

1【点睛】本题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有正切函数及正余弦函数的周期，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化简得到，从而得到对应的点位于第二象限.【详解】，所以对应的点（-2,1）位于第二象限.故选：B3.的值等于（　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.【详解】由题得原式=.故选D【点睛】本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.若，则的取值范围是（）A.[3，7]B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案.【详解】由题意知，且,当同向时，取得最小值，；

2当反向时，取得最大值，；当不共线时，取得最小值，，故的取值范围是，故选：C5.下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；C选项，正弦函数奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.6.若非零向量满足，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设与的夹角为，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得，进而得答案.【详解】解：根据题意，设与的夹角为，则，若，则，

3即，又由，则，故选：C．7.在中，，则角的大小为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据可得，可设，利用余弦定理求出的值后可得的大小.【详解】因为，故，设，则，因为，故.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，解题中注意把各内角正弦值的比值转化为边的比值，本题属于基础题.8.已知函数下列结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数是偶函数C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上是增函数【答案】C【解析】【详解】试题分析：原函数利用诱导公式化简为：

4，此函数为最小正周期为的偶函数，所以A,B正确，函数的对称轴由：得到：，显然，无论取任何整数，，所以C错误，答案为C.考点：1.诱导公式；2.三角函数的性质.二、多项选择题9.已知复数，则下列说法正确是（）A.复数的实部为B.复数的虚部为C.复数的共轭复数为D.复数的模为1【答案】AC【解析】【分析】根据复数的定义、共轭复数的定义、复数的模的定义判断各选项．【详解】的实部是，虚部是，共轭复数是，，正确选项为AC．故选：AC．10.已知向量，，，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确.【详解】由题意，，A错误；，，所以B正确，C错误；，D正确.故选：BD.11.设函数，则（）

5A.是偶函数B.在区间上单调递增C.最大值为2D.其图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】首先根据辅助角公式化简函数，然后根据选项，依次判断函数的性质.【详解】，所以函数是偶函数，故A正确；时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误；函数的最大值是，故C错误；当时，，所以函数图象关于点对称，故D正确.故选：AD12.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（）A.若，则一定是等边三角形B.若，则一定是等腰三角形C.若，则一定是等腰三角形D.若，则一定是锐角三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．【详解】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，

6B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选：A．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由得结论时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点．三、填空题13.若，则__________．【答案】【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则边___________.【答案】【解析】【分析】首先根据正弦定理得到，从而得到，再利用勾股定理计算即可.【详解】由题知：，因为，所以.

7又因为，所以.所以，，.故答案为：15.在矩形中，，，是直线上的动点（端点可取），则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，应用坐标进行向量数量积的求解.【详解】根据题意，建立如图直角坐标系，此时设点故其最大值为1，最小值为0.故答案为：.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，本题的重点是建立直角坐标系，用坐标求解问题.16.有下列说法:①函数的最小正周期是;②终边在轴上的角的集合是;③把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图像;

8④函数在上是减函数.其中，正确的说法是__________.（填序号）【答案】①③【解析】【分析】由余弦函数性质判断①，由角的定义判断②，由三角函数的平移变换判断③，由诱导公式和余弦函数性质判断④．【详解】①函数的最小正周期是，正确；;②终边在轴上的角的集合是，错误；;③把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度得到图象的函数解析式为，正确；④，它在上是增函数，错误．故答案为：①③．四、解答题17.已知（1）求;（2）设的夹角为，求的值;（3）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据向量的减法的坐标运算，即可求得答案；（2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案;（3）根据向量垂直时数量积为0，列方程即可求得答案.【小问1详解】

9因为，所以；【小问2详解】由题意得，，故；【小问3详解】因为向量与互相垂直，故，即.18.已知在中，，分别是角所对的边.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；（2）由题意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面积公式即可得解.【详解】（1）因为且，

10∴∴（2）由，得，由，所以，则，由正弦定理，得，∴的面积为.【点睛】本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.19.已知复数z满足，z2的虚部为2.（1）求复数z；（2）设在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.【答案】（1）或（2）1【解析】【分析】（1）设，根据已知条件列方程求得，由此求得.（2）求得的坐标，从而求得三角形的面积.【小问1详解】设，①，的虚部为，所以②，

11由①②解得或.所以或.【小问2详解】当时，，，所以，，所以三角形的面积为.当时，，，所以，，所以三角形的面积为.20.已知函数.（1）求函数的值域；（2）求函数单调递增区间.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）先对函数化简为，然后利用正弦函数的取值范围可求出的值域；（2）由解出范围就是所要求的递增区间.【详解】解：（1）因为，所以

12所以的值域为；（2）由，得，所以单调递增区间为【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.21.如图，在边长为1菱形中，，E是线段上一点，且满足，设，（1）用表示.（2）在线段上是否存在一点满足?若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，，．【解析】【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；（2）假设存在满足题意的点，设，由求得值，即存在，然后把平方，转化为数量积的运算计算出模．【小问1详解】，则，所以；

13【小问2详解】假设存在满足题意的点，设，，，由得，解得．，，．22.设函数，其中向量，．（1）求函数的最小正周期（2）在上的单调递增区间;（3）若当时的最大值为4，求的值.【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【分析】（1）由数量积坐标表示求得，并利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数性质求得最小正周期；（2）由正弦函数的单调性求单调区间；（3）由正弦函数性质得函数最大值，从而得参数值．【小问1详解】由已知

14，所以最小正周期是；【小问2详解】，，又，所以单调增区间为，；【小问3详解】时，，，即时，，．