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圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091摘要圣维南原理(Saint-Venant'sPrinciple)是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMSSubjectClassifications:74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了U2。早期有关原理有重要的文章【3-9］。波西涅克(Boussinesq)⑶于1885年、勒夫(Love)网于1927年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。然而Mises⑸认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises陈述的证明。Sternberg⑹赞同Mises的修改,他的论证也可以既看作是对Mises陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises陈述的证明。Truesdell
1于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是"线性弹性力学“一般方程的数学推论”。这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。Zanaboni,⑹”证明’，了一个定理，并称和圣维南原理有关。图平（Toupin）11,''21列举了更多的反例说明波西涅克和勒夫的一般性陈述不真，并建立了一个能量衰减的定理，这个定理被认为是柱体圣维南原理的数学证明，似乎具有里程碑的意义。Berdichevskii网推广了图平定理。诸多学者仿效着推导出一些定理来建立图平型衰减，并把原理推广到连续介质物理学的各个领域，诸如流体流动和热传导问题等，发展了许多方法。Horgan和Knowles伊-⑹对原理的进展跟踪作了评论，其后又有不少新的工作。本文将对圣维南原理的发展历史作出综述，对最重要的结果加以评论。1.圣维南的思想：1885年法国学者圣维南在研究柱体变形问题时发现，当把外力加载到等横栈面长弹性柱体的两个端面时，除开端面附近的区域，柱体中横截面上的各点的应力与各点到柱体端面的距离无关。但是，根据弹性力学的数学理论，只有当端面的外力均匀分布时，柱体中才能产生这种均匀的变形。圣维南是非常重视实际应用的工程师，他不研究没有实际应用价值的问题。实际结构中，外力均匀分布的情况很少发生。工程师和试验师通常只知道作用在梁端面上的外力的合力和合力矩而不能确定外力力系的分布。考虑到他的结果的实际应用，圣维南觉得有必要解释，为什么他的由特殊分布外力得到的结果可以应用到一般性的、难于求解或未曾求解的实际情况。为此他声称，作用在梁两端面上具有给定合力和合力矩的外力系的作用方式（即分布），除开端面附近以外,并不影响梁中的应力分布。端面分布着相同的合外力和合外力矩的所有梁问题的解，都随着离开端面的距离很快地趋近一个共同的解。这个解就是他自己给出的解。
2圣维南因推广他的弹性柱体扭转问题和弯曲问题的解而形成的思想是：对无体力的、侧面自由的、处在静力平衡状态的弹性柱体，如果端面的载荷被静力等效的力系所代替，柱体中除端面邻域以外的应力场和应变场将近似保持不变。"-2,1一般性的陈述、冠名为“原理”对线性弹性力学，叠加原理对载荷和形变均有效，任意两个静力等效的力系之间的差是平衡力系，于是波西涅克和勒夫分别将圣维南的思想一般化，提出了和圣维南思想等价的陈述的两种形式，并冠以“圣维南原理”的称谓：波西涅克陈述⑶：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。勒夫陈述闻：根据这个原理，由施于弹性体表面某一小部分的静平衡力系在距离大于该部分的一维线尺度的地方产生的应变是可以忽略的。2.Mises修改2.1.Mises修改及Mises证明⑸因为波西涅克处理了半无限大空间（z>0）的边界（z=0）上作用着非平衡力系而远处的应力是小量的问题，所以Mises在文［5］中提出勒夫陈述不很清楚。他说“这种形式的陈述不太清楚。因为根据陈述施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态，谈及加上或减去一个非平衡力系可能是没有意义的。原理正确的表达方式可能是：如果作用在物体上的力局限于物体表面的若干小部分上，所有部分都包含
3在一个半径为£的小球内，那么，当每个小部分上的力系为平衡力系时，产生于物体内离所有这些小表面都为有限距离处的应变和应力的数量级小于各小表面上的力系为非平衡力系的情况。”他接着说：“如果这个陈述为真，它必须能够用数学予以证明。也就是说，它必须是弹性理论基本微分方程的结果。但是在通常的教科书里没有尝试提供任何证明。大多数教科书里举出的是波西涅克的结果，以此作为对它证明的参考。但是，波西涅克处理的半无限大空间（z>0）的边界（z=0）上作用着的是法向力。波西涅克证明了，如果外力系作用于4小0点且片+户4£2,当外力合力为零时，物体中x,y,z点上的应力的数量级为£，而当力系的合力矩也同时为零时，该点上的应力的数量级为£2。下面我们将证明，如果在z=0点上允许作用切向力分量，一般来说情况并非如此。…从实际应用的观点看，本文主要的结果是：如果所有的力都是平行的，而且不沿物体表面的切向，圣维南原理是适用的，但原理不能用在更加一般性的条件下。”Mises推出在半无限大体表面（&,%,0）点作用着外力分量（丫=1,2,3...）时，半无限大体内（x,y,z）点上的平均正应力的公式:芒=+咫匕+0Z“+3盯ZU，，+3xzWX.Z”+3肛Z/X,+（3/-「2）Z/匕+3”Z%Z"+…从公式中看出：“如果&和%的数量级是£,我们可以得到结论：如果合力分量Zx“，X%，Zz„为零，（x，y，z）处的应力（和应变）的数量级为£；当且仅当6个线性距Z&也为零时，（x,y,z）处的应力（和应变）的数量级才为£2。平衡力系的情况，也就是X短Z,，=%X,.）=0，一般来说并没有超越上述6个线形距
4的条件（innowaydistinguished）。只有当所有的力都互相平行，或者垂直于物体边界面，或者和边界面斜交不为零的角度，三个平衡条件才包含（6个线形距中的）另外三个条件。一般而论，当且仅当作用在物体表面小部分的外力转动任意角度时仍然保持处在平衡状态（无定向平衡，astaticequilibrium）,物体内部的应变才减至/数量级这就是说，一般而论，当边界上作用着平衡力系时，物体内x,y,z点上的应力的数量级为£,和作用着合力为零但合力矩不为零的非平衡力系的情况下应力的数量级相同而不是更小。也就是说，物体内部的应力要减至£2数量级，平衡力系的条件是不充分的，还需要具备特殊的条件。这就证明了，Mises自己提出的修改的圣维南原理并不一般性地成立。一般地，只有当力系是无定向的平衡力系时，物体内x,y,z点上的应力才具有的数量级。这可以看作是对一般的Mises陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises陈述的证明。Mises还以圆盘问题为例证明，他的修改的圣维南原理也不成立。由此他认为，圣维南原理不能推广至有限大物体。1.1.Sternberg的证明161Sternberg在文⑹中赞同Mises对波西涅克和勒夫陈述进行澄清和修改的观点和做法。他说：“正如Mises指出的，上面的陈述需要澄清，因为陈述要求施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态。只有当物体延伸至无穷，而且我们需要无穷远处的应力衰减为零时，谈及由施加于物体表面的有限部分的非平衡力系’产生’的应变才有意义。而且，在这种情况，无论载荷是否是自平衡的，由给定载荷产生的应变在离加载区域足够远的各点是任意小的。另一方面，在无体力的情况下，选择载荷足够大或足够小，弹性体中固定点的应力和应变可以任意大或任意小。这些观察事实进一步确认了澄清陈述的需要。”Sternberg举出了Mises修改陈述，然后说：“应该指出，这样一个解释隐含
5在通常的圣维南原理的应用当中。而且，从波西涅克证明原理的努力明显地看出，这就是他头脑中的思想。为了达到证明的目标，波西涅克考虑集中力垂直作用在具有平面边界的半无限大体。他证明了，如果载荷作用点处在半径为£的小球内，只要作用力的合力为零，物体内固定点的应力分量具有£的数量级；而如果作用力的合力矩也为零，则该点的应力分量具有的数量级。”“1945年Mises在他的对该问题的启发性的(illuminating)论文中，用两个特例证明了，如果不具备有利的条件，恰当地澄清了的原理的通常陈述不可能成立。Mises选择的两个例子是三维半空间的问题和圆盘的二维问题，两个问题的载荷都是集中力表面载荷。在这两个例子的基础上，Mises提出了一个改进的(amended)原理。“本文的目的是要对Mises修改的（modified）圣维南原理提供一个一般性的证明。论证针对分片连续的外力，然后延伸到集中力的情况。论证对任意连接的有限域和无限域均成立。”Sternberg考虑任意连接而成的（即不需要单连的条件）正则区域B。外力分布在B内的互不相交的m个相邻的闭域中，所有的闭域都位于一个半径为%的小球内。除非B的边界D延伸至无穷远，每个闭域中的力都应该是平衡力系。Sternberg采用的度量是体积膨胀率，讨论物体内载荷区域S（e）（Ocev%）（£是载荷区域的半径）外的Q点的体积膨胀率好（£）,得到的结论是：（a）如果外力的合力不为零（考虑无限大体），即F（e）=fT（e）db#0时，一般而论△。（£）=0（£2）。（b）如果F（e）=0,则理（£）=0宕）或更小。（c）如果F（e）=0,fT（£）oJ（t=0,[T（e）"cr=0,
6则岸（£）=0（£4）或更小，式中a,£是文中引入的两个径矢参数。（d）如果外力是平衡力系，即F（e）=0,M（e）=0,则屋（£）=0（£3）或更小。“于是，如果S（£）上的力系是自平衡力系，则屋（£）=0"3）或更小。这个结论和引言中的圣维南原理的传统陈述的解释相矛盾。根据传统的陈述，当5（e）上的力系是自平衡力系时，惮（£）的数量级应该总是比S（e）上的外力为非自平衡力系时要小。”于是，Sternberg的工作可以看作是对Mises陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，但也可以看作是对附加了条件的Mises陈述的证明，因为从（C）的条件可以导出（d）的条件方程，反之则不然4.从理性力学角度提出圣维南原理证明问题1959年Truesdell阿指出：“数学是研究材料的强有力的工具，不仅可以从已接受的理论预测结果，而且可以在建立新的经验模型时清晰地界定概念。”他指出：“第一个足够好的关于扭转的理论是圣维南的。许多关于力学概念的最精细的研究会聚起来构造了该理论的基础。”其后对这些研究进行了综述。Truesdell指出：在Fresnel和Navier的思想影响下，Cauchy建立了小弹性形变的一般性的线性理论，“在这个理论中，要解决扭转问题就必须知道轴端面上的应力或位移分布，而实际应用中这些信息是不可能得到的。然而，轴的扭转变形或多或少地与这些分布无关。这个事实启发了圣维南，他构建了一个扭转问题的漂亮的特解，并且设想，在端面载荷和该特解所设的不一样而仅只是和它静力等效的情况下，用该特解来作为扭转问题的结果是足够精确的。这样一个推广
7为‘关于等效载荷的圣维南原理’的思想，对线性弹性力学带来一个重要的问题,因为如果其结果为真，它必须是一般方程的数学推论。”这样一来，Truesdell就从理性力学的视角原则而明确地提出了圣维南原理的数学证明问题或圣维南原理数学证明的任务。4.Zanaboni定理："柳暗花明"在Mises⑸、Sternberg⑹和Truesdell明确地提出圣维南原理的证明问题之前，Zanaboni于1937年发表了一个定理来处理任意形状的物体中能量衰减的问题⑺。这个结果在圣维南原理的历史上有着重要的影响，因为它首次应用了功和能作为讨论的度量，而在此之前的工作，包括著名的Mises修改，都是以应力和应变作为度量而研究的。在研究碰到困难、一片沉寂的情况下使人们重新建立起信心，看起来是独辟蹊径，开创了一条用应变能衰减来解决圣维南证明问题的路子。特别是，Zanaboni定理给于图平以重要的启发皿。Zanaboni定理⑺为：设任意形状的弹性体中的小球8加载任意的平衡力系P,5,和S”是球B以外的两个互不相交的任意截面，S”离开3比6更远。物体被V截成两个部分,作用在上的面分布力为R,并设为仅有R，作用时由其单独引起的两个部分中的总应变能。同样，R”和Ur.分别表示了S"面上的面分布力和由它单独诱发的两个体积中的总应变能（见图1）oS"S*_P/二、I1321、」BR.R，图1对这样的弹性体，Zanaboni给出0 8设物体c,+C2由下列步骤建成（见图2）：第一步，对G加载P力系。第二步，和52分别加载R表面力系。选取R使得变形的面加和S2精确地互相吻合，以至于G和。2中的质点不仅应力连续，而且位移也连续。第三步把G和。2连为一体，S仅仅为界面。这样拼接的结果相当于把G和在自由状态下连接起来，然后对组合体G+C2加载产平衡力系。于是Ui+2=Ui+Uri+UR]+Upr(5.2)式中5+2是G+C2中的应变能，U]是P在第一步所作的功，Ur2是R在第二步中对作的功，Uri是假定G处在自由状态下R对G作的功，UpR是p对G在第二步中由R引起的位移上作的功。其后应用最小余能原理。设想/?以l:(l+e)的比例增加，于是uRi和分别增至(1+£)2。冏和(1+£)2Ur2，因为载荷和形变都分别增至原值的(1+£)倍。uPR将增至(1+£)Upr,因为P不变而形变将增至原值的(1+£)倍。于是，U"2将变为U；2=a+(l+£)2(Um+U£2)+(l+£)UpR.(5.3)Ui.2的增量为△Ui+2=纵2URI+2UR2+Upr)+£2(URl+UR2)(5.4)由(5.4)式，5+2取极小的条件为2UR]+2Ur2+Upr=0(5.5) 9代(5.5)式入(5.2)式,Zanaboni得到U“mR2)(5.6)对4*2+3)和%+2)+3(见图1)重复使用(5.6)式，有■+(2+3)=Q一(Uri+Ur<2+3))»(5.7)U(l+2)+3=U|+2—(。£"(1+2)+Ur”3)=U1一(Uri+UQ—(Urp+2)+Ur”3)(5.8)让(5.7)式和(5.8)式相等,得到 10Uri+Ur,(2+3)=Uri+Ur2+Ur”(i+2)+Ur”3•(5.9)因为Uri+Ur2是正定的，所以由(5.9)式有Ur、+Ur<2+3)>U/r(l+2)+Ur"3'(5.10)按图1所示改写(5.10)式即证得(5.1)式。6.本文对Zanaboni定理的评述Zanaboni定理不成立，因为定理的证明是错误的。证明的主要错误是最小余能原理的误用，其次是混淆了功和能，详情见附录A。7.图平的工作、图平定理(Toupiifstheorems)7.1.图平在文［11］中对勒夫陈述提出了新的反例。图平用两个例子说明，柱体的几何形状对物体形变有重要的影响，以至于物体内的应变并不衰减。例如，把任一小而非零的纵向力系施加到矩形横截面长柱的一端，在任何离该端有限远的狭缝附近，其应变具有任意大的量值。图平还复述了Mises在文［5］中提出的反例。图平提出，对圣维南原理的定量处理需要包容这些定性的、直观的观察事实。图平指出，圣维南的弹性静力等效载荷的原理只对规则的柱体成立，勒夫给出的对任意形状物体的圣维南原理的广泛性陈述可能不真，圣维南本人曾间接地提出过警告。图平于是讨论了体积域为8、仅在近端C。加载任意平衡力系、无体力、常横截面、半无限长弹性柱体的问题网，该问题的平衡方程是%=0(再eB)(7.1)应力边界条件是 11(“£=0(X,.edB-C0),(7.2)1//a=0(7.3)以及盯da=0(7.4)c0(式中(〃30。(七£。0))。图平从问题的基本方程出发，推出5f(Z,a)^^+e(5,/)<0(7.5)as式中s,,(/,a)三▲［«•〃*+—1为特征衰减长度。然后，图平选择&(/,a).当a2apcoa(/)为正值时的最小值s,(/)=Y—(7.6)N0就⑴由(7.5)式出发证明了能量衰减的不等式U(s)WU(O)eg40(7.7)式中U(s)是储于超过离开平衡力系载荷的距离s的部分柱体的应变能，t/(0)是柱体总应变能，s,()是特征衰变长度最小值，/(/>0)是横截面G和。用之间的长度距离，选择来使得、(/)取一个小值。式(7.6)中〃=〃)/〃,“，(7.8)小和分别是最大和最小弹性模量，它们的定义是 12本文中分别称不等式(7.7)和(7.10)为图平定理1和图平定理2o我们可以从图平文章的论证逻辑的角度推知，图平认为他的两个定理可以解决他作为反例提出的问题。从文章的标题可以看出，他认为这两个定理是圣维南原理的数学证明或数学表达。7.2.图平在文［12］中首先称圣维南是19世纪最著名、最杰出的工程师之一，并引用了Pearson发表在Nature上的对圣维南的介绍和评价，然后追溯了圣维南独特思想的起源以及演进的过程。图平在文中称勒夫陈述为“经典的原理"(ClassicalPrinciple)或圣维南原理的传统陈述(trditionalstatemantoftheSaint-Venant'Principle),举出一个形如长音叉的弹性物体的反例。设等大反向的一对力分别作用在音叉的U形部分前端的两个端头，在离开前端最远的U形根部附近的应力比音叉内任何地方的应力都要大。图平说：“从这个例子人们可能会认为，原因在于加载的表面部分(无论其多么小)不是单连的。所以，加上单连体这个条件，原理的表达就可能正确。然而，从下面的例子可以看出，情况并非如此。”于是，图平举出两个单连体的例子，就是在文［11］中举出的例子，其中一个是矩形横截面柱体中存在狭缝的反例。另一个反例中，梁由一块狭长的、水平的薄连接板(athinweb)和两个椭圆横截面的粗大瓣柱(twomassivelobes)构成，连接板的上下两个面各自并接一个瓣柱。在梁的一端的横截面的两个瓣叶上分别施以合力矩M和-M以满足勒夫陈述的所有条件。设梁的长度是横截面线度的许多倍。选择板的厚度足够小，任意远离载荷端面的薄板中的一点P的应力和载荷端面邻近的类似点P'的应力之比可以无限接近于1,是一个难于忽略的比率。 13他总结说：“面临着如此多的对圣维南原理的传统陈述的反例，我们必须承认，该陈述中存在着某种错误。在力学文献中我们在这里因尊重传统而称为‘原理'(principle)的圣维南的思想有着各种不同的称谓，称为‘公理'(axiom)、'公设'(postulate)、'假设'(assumptions)或者‘定律'(law)。现在需要的不是新的原理或新的假设，而是逻辑地从已经建立的弹性形变的数学理论导出的定理。这些定理应该以精确的方式反映圣维南提出的柱体或更一般的物体中应力场的共同性质。”在介绍了Zanaboni定理后，他说："我们从Zanaboni的结果得到的主要思想是，虽然我们知道不可能期待应力逐点值总是随着离物体表面的负载部分的距离而衰减，但是我们可以预期平均应力的某个恰当的度量(measure)总是衰减的。弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能。有可能把Zanaboni定理的结果精细化，导出弹性能随着离开弹性体表面负载部分的距离减小的衰变率。”上面的语句充分地反映出图平建立他的定理的思想。文中图平介绍了他自己在文［11］中得到的两个定理。7.本文对图平理论的评论从上节末所引的图平的语句看出，图平从Zanaboni那里接受的主要思想是:(1)“不可能期待应力逐点值总是随着离物体表面的负载部分的距离而衰减，”这意味着对波西涅克和勒夫陈述的质疑或否定。(2)“我们可以预期平均应力的某个恰当的度量总是衰减的。”这意味着要用“平均应力的某个恰当的度量”来代替“应力”研究“衰减”定理。 14(2)“弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能。”图平认为“有可能把Zanaboni定理的结果精细化，导出弹性能随着离开弹性体表面负载部分的距离减小的衰变率。”图平就是按照这样的思想建立他的理论的。图平似乎是想用他的定理来取代波西涅克和勒夫陈述，作为圣维南原理的表达，而且是定量的表达，采用的度量是弹性能。我们提出以下观点：(1)研究“平均应力的某个恰当的度量”的衰减是具有力学价值或工程学价值的，“弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能”也是可取的。问题在于，图平定理考虑的储能体积大小是递减的而不是固定不变的,图平不是对等量的体积中的弹性能进行比较，因而定理中弹性能的衰减不反映平均应力的衰减。(2)波西涅克和勒夫陈述是和圣维南思想等价的。虽然研究“平均应力的某个恰当的度量”的衰减也是有意义的，但那已经不是在讨论圣维南原理了，然而可以认为是研究“平均应力的某个恰当的度量”的圣维南型衰减。图平定理1没有表达圣维南原理，因为定理表达的是能量随储能体积递减的衰减而不是应力、应变或应变能密度的衰减。图平之后许多作者声称讨论圣维南原理，而实际上推导图平型衰减公式，其误解的源头就在于此。图平把图平定理1和图平定理2合起来进行应变的逐点估计来讨论圣维南原理，他说：”给出的这两个不等式提供了物体内部各点的应力的上界。”回由此看来，图平似乎又偏离了他关于“平均应力的某个恰当的度量”的思想，默认了圣维南衰减是应变从而是应力的衰减，也就是默认勒夫陈述的合理性，或勒夫陈述与圣维南思想的等价性。勒夫陈述是一个可以否证的假命题，图平自己也举出了反例，而图平定理是可以证明的真定理。逻辑地，图平定理表达的应该是 15勒夫陈述的反面或否定。有趣的是，正是从图平定理出发，本文附录B否证了勒夫陈述，或一般的圣维南原理。图平把他的工作称作是“圣维南原理的证明”,是过于牵强了。为了从数学的角度进一步说明勒夫陈述是个假命题，本文还在附录B给出了又一个有关图平问题的圣维南原理的否证。图平理论没有证明圣维南原理，也就是说，图平定理不是应力、应变或应变能密度随离开平衡力系外载荷的距离衰变的定理，也没有给出无限远处应力、应变或应变能密度极限为零的公式。如果我们放松要求，按照图平的思想，采取“平均应力的某个恰当的度量”，以积分或平均值作为度量，图平理论也是不合格的,因为由图平定理推不出诸如横截面能量积分、能量密度面平均值、能量密度平均值之类的圣维南型衰减。用图平定理作逐点估计，无论是直接应用还是结合其它作者的结果（其他作者的结果将在第9节给出），都存在不可克服的困难。必须指出，图平理论还存在着自身的困难。图平定理选取了一个极端的、最大衰减率的解而避开了不利的解，因而定理是不能覆盖能量衰减率谱的，也是不客观的，图平理论不是一个严格的数学理论。本文附录B给出了完全覆盖能量衰减率谱的图平定理，该定理告诉我们，能量衰减的最重要的原因是储能体积的递减。涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录B中给出。9.其它作者结合图平定理发展的逐点估计、本文对各种逐点估计的评述应用图平定理，一些作者给出了逐点估计的公式，在此集中讨论。9.1Flavin提出的逐点估计的公式9.1.1Flavin阳⑼指出，图平定理对下面的柱体问题仍然成立：柱体的侧面是曲面而且固定(%=0),近端(s=0)加载的力系不一定是自平衡力系，远端 16(5=L)满足的条件使得00fM=0,g(/)/2万理解为高为/、侧面为曲面且固定、端面自由的柱体片段的最小自由振动频率。他给出了柱体中位移梯度的逐点估计的公式：CK%式。)4—TU(s-a)(9.1)式中%"是完全包在柱体中的半径为a、以距离s远离加载端的球体的中心。点的位移梯度；U(s)是超越距离s的柱体部分的应变能，用图平定理1表/J'So•9.1.1本文认为Flavin估计的主要困难在于(9.1)式没有覆盖柱体部分(L-a<5 17U（s-d）-U（s+d）>0（9.3）如果用图平定理1来表示U（s）,条件（9.3）是不能保证的，因为（7.7）式中含有不等式。如果认为（9.3）式总是为真，那就等于承认储能体积的递减是图平定理中的能量U（s）衰减的唯一原因。9.3Roseman提出的逐点估计公式9.3.1Roseman叫推导出一个柱体内的应力逐点估计的公式。该公式不仅适用于柱体内部，而且适用于柱体边界，表达为（也见［14］）：:1（X”X2，S）14M（病产p-3/2［u（.p）-u（s+p）『2（9.4）式中M和。为两个普适的正常数，仅仅取决于横截面的儿何形状和参数，而与载荷、物理常数〃和V、柱体长度以及点的坐标区,々，5）无关。这些特征使得（9.4）式区别于（9.2）式。（9.2）式的d依赖于（X1,X2，s）而且只对柱体内点适用。据作者称，和图平定理1结合，（9.4）式对柱体全域给出应力的逐点估计。9.3.2本文认为，严重的困难在于U（s+p）在域L-p 18U(s+p)=O(9.6)或04U(s+0)WU(0)ed>&"),(9.7)式中L-p 197(x)E(x)+^^<0(10.6)dx由(10.6)导出(10.3)。由于讨论的弹性体的几何形状和物理性质，Berdichevskii定理被看作是图平定理的推广。Berdichevskii其后推导了常数b和，并推导出用b和么对/进行估计的公式。然后对杆估计了常数切，用勿估计了均匀各向同性半无限圆截面杆的能量衰减率，以及锥形体的能量衰减率。10.本文对Berdichevskii定理的评论本文认为，Berdichevskii定理是从普适的方程导出的，因此是成立的。但是Berdichevskii理论并没有证明圣维南原理，因为定理独立于圣维南原理所规定的特殊条件(由勒夫陈述表述)之外，所以Berdichevskii定理太一般以至于和圣维南原理的表达这个特殊问题无关。事实上，赵建中⑷指出Berdichevskii定理对悬臂梁问题的解㈤成立，而悬臂梁的能量密度是递增的。而且，当Xf/时，能量衰减率%-8.Berdichevskii定理是图平定理的推广，正因为如此它就比图平定理更难和圣维南原理发生联系。Berdichevskii理论也不是一个严格的数学理论，存在着许多随意性的处理。尽管如此，(10.1)、(10.2)和(10.5)式以及定理的证明比图平理论更为清楚地暴露出，图平能量衰减的本质原因在于储能体积的递减，而不在于能量密度的衰减，从而客观上为我们理解图平能量衰减的本质提供了有益的启示。同样有趣的是，类似于图平定理，由Berdichevskii定理可以否证一般的圣维南原理。涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录C中给出11.模型问题(TheModelProblem)：借类比而推广图平的能量衰减的思想和图平的理论逐渐为人们普遍接受，建立图平型的定 20理形成了一股潮流。不少作者认为，对图平定理的推广就是对圣维南原理的推广,从而把图平定理推广到连续介质物理学的广泛范围内。Horgan和Knowles"旬提出了一个边值问题=0(onR),(12.1)w,3=f(onS。)，(12.2)w,3=0(onS),(12.3)du/dn=0(onL),(12.4)\udA=0,(12.5)式中R是长度为/的柱状域，其边界为L,S。为七=0处的端面，S,为七=，处的端面，f满足“自平衡”条件\fdA=O.(12.6)式(12.6)是一个类比平衡力系的方程，因而这是一个借类比来讨论圣维南原理的问题。这个定解问题不仅可以方便地表达一个温度场边值问题，还可能有多种不同的物理解释，应用到多个不同的物理问题回，堪称“模型问题”。Horgan和Knowles应用Knowles方法，首先定义了能量泛函E\z)=Jm,,m,,dV(12.7)其中&为ZWX3(/的柱体区域。其后，导出了E'(z)+2kE(z)<-(^-k2)^u2dA(12.8)式中2,2是诺埃曼问题(Neumannproblem) 21O，aa+万=0(。〃So)(12.9)加=0(onCo)(12.10)的最小正本征值。式(12.10)中的g是端面S0的边界。选择k=4(12.11)(12.8)式变为E'(z)+2kE(z)<0(12.12)由(12.12),证得能量衰减不等式E(z)4E(0)exp(-2&z)(0 22Horgan和Knowles提出的模型问题的定解条件中，有不属勒夫陈述的圣维南原理的条件（12.5）。当讨论圣维南原理的时候，这是一个补充条件或附加条件。以类似的思路我们发现，在特殊的条件下（相当于附加了条件），圣维南型衰减对模型问题确实存在（附录D中给出了实例）。Horgan和Knowles提出高阶能量的概念，由此给出横截面估计以及逐点估计。很明显，要建立高阶能量不等式，需要具备更多的条件，这些条件是由定解问题.的特殊提法保证的。Horgan和Knowles应用的是Knowles方法，理所当然地带有Knowles方法的特点和困难。有关Knowles方法的评介将在14、15两节给出。本文通过对模型问题的分析，至少还可以得到以下两点认识：（1）具体地看到圣维南型衰减和图平型衰减的数学表达是不同的，是不能混淆的。（2）虽然勒夫陈述的圣维南原理的一般形式不真，修正的（附加条件的）圣维南原理是可以证明为真的。涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录D中给出。13.Knowles方法（Knowles5Technique）由Knowles⑵1发展的方法广泛地应用来建立能量不等式，文口句中对模型问题的讨论就是一个例子。Knowles方法的主要步骤是：定义一个能量泛函，构建一个能量泛函的一阶微分不等式，然后选择不等式中的常数（衰减率）使得不等式变为齐次，由这个齐次不等式解得能量衰减不等式。13.1现在对文［23］作简介，以便体现Knowles方法的步骤。Knowles讨论了一个平面问题，证明了一个定理。Knowles定理： 23设卜附=0onRa(14.1)。=么=么=0onCQ(14.2)式中。是应力函数；R0是弹性体的有限平面域，(x,y)eR0,,Q 24其后，Knowles推得F(0)<2E(0),于是加上(14.8)和(14.11)有(14.3)。定理得证。13.1Knowles和Sternberg用Knowles方法处理了回转体的扭转问题，Horgan和Knowles1川重述了主要的结果。(1)文［24］对回转体轴对称扭转问题给出能量不等式:U(z)WU(0)exp[-2R4(GdJ(0 2515.本文对Knowles方法的评论本文认为，Knowles方法的特点是：(1)方法建立的是图平型能量衰减而不是圣维南型能量密度衰减。(2)方法处理离散的能量衰减率谱而不是连续的能量衰减率谱。(3)方法应该给出Phragmen-Lindelof型定理。在14节举的例子中，由(14.7)式可以选择k和-K,也就是(14.9)不等式对k和-K都成立。于是问题应该有能量衰减定理和能量递增定理两个解。Knowles排除了能量递增，理由没有交代。本文作以下分析：(A)如果以能量衰减为预设条件来排除能量递增，那Knowles是以能量衰减为前提来证明能量衰减，是一种循环论证。或者讨论的是这样的问题：如果能量是衰减的，衰减不等式采取什么形式？显然这不是一种证明。(B)如果以能量衰减为认定事实，认为能量递增是不合理的增解，那就意味着储能体积的递减是能量递减唯一可能的解释。Knowles方法的另外两个实例Knowles和Sternberg1241以及Knowles1251进一步显示出圣维南型衰减和图平型衰减的区别以及Knowles方法的特点和问题。附录E给出对这两个实例的评论细节。16.Horgan和Knowles114161的综述Horgan和Knowles以及Horgan单独跟踪圣维南原理的发展历史分三个阶段作了综述，现分别把三篇文章的主要内容作一简介。 2615.1.有关文［14］的简介Horgan和Knowles在前言中对圣维南原理的历史从圣维南的工作和研究报告直到图平1965年的工作作了简介，然后说：“与这些弹性理论中的和圣维南原理有关的问题类似，在数学物理的其他分支也有可能提出相应的问题。自1965年以来引入的许多思想和技术在由拉普拉斯方程捽制的流动基本问题的背景中找到了其最简单的表达，本文第二节给出了这种简单设定情况下这些思想和技术的详细的陈述。严格的(区别于诸如壳的近似理论的)线性弹性理论框架内的圣维南型的若干原理是第三节讨论的问题。第四节讨论和圣维南原理其他方面有关的工作，比如非线性的影响、二维弹性薄壳理论中出现的一些特殊现象、热扩散或瞬变热传导问题中的圣维南原理、以及对粘弹性材料的推广。在讨论的过程中，特别是在第三节和第四节，我们将指出一些未解决的问题。存在着圣维南'问题’的若干方面，这些方面有别于我们观念中的圣维南'原理'，正在受到关注，然而我们这里并不打算进行综述。方面之一是处理圣维南解的最小能量(或相关量)的特征化(比如Shield和Anderson,1966；Sternberg和Knowles,1966；Maisonneuve,1971；Ericksen,1980)。问题之二关注Trusdell(1959,1966,1978)提出的柱体端面外力的改变对适定的扭转模数的影响问题,这些问题中柱体端面外力在产生给定扭矩的限制范围内变化。最后，虽然我们确实对处理非线性对应力衰减的影响的某些结果作了评述，但是我们确实没有考虑圣维南柱体问题原型在有限弹性力学中的等效形式(见Ericksen,1977az,,1979；Muncaster,1979)。”就是在这篇综述中，Horgan和Knowles提出了模型问题(柱体中的流动问题）并进行了讨论。15.2.有关文［15］的简介Horgan在文中再一次讨论了文［14］中提出的模型问题，不过这次讨论的是二 27维的模型问题，称之为“拉普拉斯方程的模型问题（AModelProblemforLaplace'sEquation）。其后，Horgan对1981年以后圣维南原理的进展按问题分类地进行了综述。这些问题是：各向同性材料的平面形变、各向异性材料和复合材料的平面形变、三维问题、非线性效应、时间相关问题。在结语中，作者称：“本文中我们试图考察自1981年以来在各种不同背景下涉及圣维南原理所取得的主要进展。虽然在这段时间中取得了不可忽视的进步，但是很显然，在Horgan和Knowles的综述文章（HK1983）中所提出的许多未解决的问题，仍然没有得到完全的解决。于是，从物理和数学两方面的观点来完全地理解各个分支领域的圣维南原理，仍然是一个非同小可的挑战。”15.1.有关文［16］的简介Horgan在文［16］的前言再次回顾了图平等人的工作，他说：“因为线性弹性力学的许多问题的精确解不可能得到（非线性弹性力学的问题更多），因而成功地发展了定量的论证结果来提供应力衰减率的估计值。这类形式的早期结果中最著名的是图平（1965）对三维线性弹性柱体问题的能量衰减估计和Knowles（1966）对线性平面弹性力学的能量衰减估计。所有这些结果至少预测了应力的指数衰减，提供了衰减率的估计值，是实际衰减率的下界。其中许多二阶椭圆型方程的衰减率估计值和实际衰减率吻合，就这个意义而论，这些结果是令人满意的（optimal）。在上面所列的以前的综述（指HK,1983和H,1989等，本文注)中已经详细地讨论了前面所述的结果，同时讨论的还有Berdichevskii(1975)对柱体问题的进一步的结果……。”Horgan在举出1995年以前的若干作品以后说：“在上面举出的大多数研究中，解的空间衰减是在对远离载荷边界的衰减提出某些先验的假设条件下进行 28考察的。这些假设在研究圣维南原理时是自然存在的。近期已经有一些关注到在不提出任何此类假设的情况下建立渐近行为的文章(略)，通常得到递增和衰减两种形式的结果，因而这些结果是Phragmen-Lindelof型的，对非线性问题具有特别的意义。”文章评述了自Horgan和Knowles(HK,1983)和Horgan(H,1989)综述以后的进展：“我们(在第二节)从二阶线性椭圆型偏微分方程开始，方程中系数可变，定义在二维区域。这类方程出现在非均匀、各向异性材料的稳态热传导理论中，也出现在线性非均匀各向异性固体的反平面(anti-plane)剪切形变理论中。特例包括常系数方程以及不包含混合偏导数的以散度形式表达的方程。进一步的特殊化(specialization)导致拉普拉斯方程，该方程在HK和H中以模型方程为例得到应用。在一种特别简单的设定背景下，对圣维南原理的分析提出了若干相关的问题。对于此处关注的更为一般的方程，我们简略地描述了圣维南原理，以及方程与Phragmen-Lindelof型圣维南原理的联系。此后，作为特例讨论了半无限条带区域，在无限长边界上设置了齐次边界条件(对应无外力情况)。首先考虑了常系数的情况，Horgan和Payne(1993c)建立了空间衰减估计，此例中的估计衰减率是令人满意的(optimal)。然后，该结果特别用于纤维强化合成材料的模型——强各向异性材料。在此一特别简单的情况下，显示出由各向异性引起的端面影响的延伸。本节中也汇集了一些变系数的非均匀问题的结果，这些结果使我们可以就反平面剪切问题中非均匀和各向异性对圣维南端面效应的衰减的影响作出评估。第三节大致地总结了均匀弹性体的平面弹性力学问题中各向异性对应力衰减的影响的类同结果。这些结果的详细评述最近由Horgan和Simmonds(1994)作出。第四节广泛地讨论了各种非线性问题，提供了非线性弹性静力学中圣维南原理的数学表达和数学分析的若干结果的综述，给出了二阶准线性和半线性偏微分方程的更一般的衰减结果，评述了稳定纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的空间衰减估计及其对入流问题(entryflowproblems) 29的应用。第五节简述了瞬变问题空间衰减的一些结果以下我们将以问题分类对有关圣维南原理的工作进行评述，强调圣维南型衰减和图平型衰减的区别和不一致：15.线性弹性力学二维问题15.1.(1)Knowles。"用他的方法处理一个线性弹性力学二维问题，Horgan和Knowles1141重述了主要的结果。Horgan和Knowles"”表达的问题是△△0=0onR(17.1)边界R的远区C0自由，以至于0=0，1=0，2=°onC0,(17.2)式中。是Airy应力函数。令1=maxx,,h=maxx7GCo/(17.3)和E(z)=\(/),aP(t),aPdA(0 301尸(花)=卜武+同2)公2(17.8)0然后对半无限长条带建立了图平型衰减F(0)exp(-^V27ax,.(17.9)(2)本文认为，Flavin和Knops的论证是从'‘半”圣维南型衰减导出图平型衰减，因为%->0(当西f8)是作为先验性假设(aprioriassumption)应用于论证的。在命题2的论证中也利用了类似的先验性假设。这种论证逻辑显然是本末倒置的。然而，本文判断可以导出下列半无限长条带问题的圣维南型衰减：▽3=0inD,(17.10)0=a2=0onx2=0,1,(17.11)=m0(x2),0，i=/o(X2)on尤1=0,(17.12)。=0,]=0onx1=/(X1—>oo),(17.13)式中。是Airy应力函数。可惜Flavin和KnopsE没有作这样的工作。17.4(1)Havin与Knops'28'研究了二维位移边值问题。如果位移和应力之间的类比可以被认可，讨论圣维南原理时应该建立有关位移的衰减定理。文[28]给出了图平型衰减而没有给出圣维南型衰减。在结束评语(ClosingComments)中，作者举出一个例子来对“估计的"衰减常数(estimateddecayconstant.)和“实际的"衰减常数("actual”decayconstant.)(即解的衰减常数)进行比较。(2)本文分析，如果边界々=0上设定的位移非零，Flavin与Knops四所设例子无解，圣维南型衰减并不存在。然而图平型能量衰减是成立的。本文分析的详情见附录F2o17.5(1)Horgan叫考察了半无限长条带的双调和方程的能量衰减。(2)本文认为,Horgan的论证逻辑是从圣维南型衰减推导图平型衰减，因为作者利用了先验假设 3117.6Miller和Horgan曲⑹研究了半无限长弹性条带中物质各向异性对能量指数衰减率的影响，对数学能量和物理能量给出了一阶和二阶图平型衰减，先验假设为—>0(uniformlyinx2)asx,—>oo.(17.15)17.7Knops和ViHaggio1311对不可压缩、均匀、各向同性的半无限长弹性条带推导了增长估计和衰减估计。条带近端加载自平衡力系，侧面自由。采取的先验假设为E(X1,oo)+E1(X],oo)<8,(Xj>0),(17.16)式中E和弓分别为一阶和高阶能量泛函。17.8Flavin倒考虑一个平滑变化非均匀的、各向同性的矩形弹性条带。条带处在平面应变状态，其三条边自由而一条边加载自平衡载荷。文中定理1揭示出，横截面应力测度的衰减尸(x)4尸(0)/口*(17.17)需要比能量估计更多的假设。先验假设为1lime^14(L,y)Jy=0,(17.18)0该式特别在条件(f)xx—>0asx—>oo(17.19)下得到满足。17.9Chirita网考虑二维、均匀、各向同性的环型弹性条带，假设8=0边界加载平面自平衡力系，r=a,r=b和19=a三条边自由。作者建立了所设Airy应力函数测度的图平型衰减0<尸(94尸(0月叫5e[Qa].(17.20)18.涉及圣维南原理的线性问题的其他结果 3218.1Flavin।网证明了图平定理1和Berdichevskii定理对下列混合边值问题均成立：物体一端平面加载但载荷不一定是自平衡力系；如果另一端平面有外力，外力对每一点作的功为零；其余曲面边界固定。文中没有给出位移的衰减。事实上，此例可以作为图平型定理的普适性或过普适性的另•个证据。18.2Gregory和Wan的研究了板的圣维南原理。结果表明，严格而论，圣维南原理只能应用于板的经典理论。18.3Flavin>Knops和Payne对线性、各向同性、均匀的弹性柱体推导了衰减估计。对柱体设定了端面位移，曲侧面固定。因为他们的结果是以柱体横截面上的积分来表达，而不是像文［11］那样以对部分体积的体积分来表达，所以不属图平型衰减。18.4在不作先验假设的情况下，Horgan和Payne的(也见文［16,37］)证明了一个Phragmen-Lindelof型的定理，估计了定义在二维半无限长带域中的二阶线性椭圆型偏微分方程的解的增长率和衰减率，其动机之一是要评价材料非均匀性对圣维南端面效应的影响。文中给出了能量范数的图平型衰减。衰减的条件为lim(/)］■'J/=oo.(18.1)文中还以范数而不以能量给出了解的衰减。在随网foo时〃衰减的先验假设下推导出特殊情况(。姐在°(夫)并独立于不)的逐点估计。18.5Lin网在对的渐近性提出的先验假设Dku=O(x^)asx3—>oo,0 3318.1Knops和Payne网研究了弹性模量的变化对半柱体圣维南原理的影响，给出位移的均方横截而测度的衰减律。18.2Quintanilla1401研究了具有无界横截面的弹性体的图平型衰减。无限远处的条件，比如X、Llim%,)=0,(18.3)oo是作为先验假设提出的。18.3在先验假设(18.4)7j3，X3〃E3fo(uniformlyin(xl,x2))asx3-»oo条件下，Horgan和Payne~”对三维线性弹性柱体应力边值问题推导了指数衰减估计。虽然该问题的应力(如果求解的话)一定与材料的泊松比(Poisson'sratio)有关，作者得到的衰减率估计却独立于泊松比。图平型衰减表达为0(z)=0(0)e*,(18.5)式中^(z)=—JT.d\d^为加权能量泛函。文中没有推导能量密度衰减。1.19Knopsa1在对位移和位移梯度(或压力)的纵向渐近行为不作先验假设的情况下，为受约束的、不可压缩的线性弹性棱柱体建立了导致解的横截面测度以及体积能量的估计值随轴向距离或增长或衰减的条件。当储能有界时，估计值总是发生衰减。18.10Quintanilla143]为一个定义在半无限长柱状域的热-微延伸弹性力学(thermo-microstretchelasticity)的动力学问题建立了空间衰减。能量的上界用•个呈指数衰减的距离的二次多项式表达。E|(z/)的衰减需要一个先验假设limE,0(z,r)=0.(18.6)Z->0018.11Flavin和Gleeson网研究了由均匀各向同性的线性弹性材料构成的、处在 34轴对称应力状态下的(无扭转的)环状柱体。柱体侧面自由，分布在每个横截面上的力都是自平衡力系，无体力。考虑的主要情况是一端平面自由，另一端平面分布着自平衡力系。作者研究了应力的正定横截面测度的凸性和“广义凸性"('"generalizedconvexity,,)»在先验假设limF(L)exp[-^L]=0.(18.7)的条件下导出应力测度衰减F(z) 35Horgan""对文口%15]中提出的问题进行了评论，指出非线性弹性理论讨论圣维南原理需要“谨慎而仔细地表明圣维南解的特征”。本节将对非线性问题的一些结果进行评述。19.1Roseman碗1讨论了非线性弹性平面问题的圣维南原理。在假设所有位移分量直至4阶的偏导数一致有界且界限足够小的条件下表达了应变范数的圣维南型衰减。19.2Breuer和Roseman网在类似于文［48］的条件下对三维非线性弹性问题给出了应力和应变的圣维南型衰减。19.3Knops和Payne1481考虑了均匀的、非线性弹性物质所构成的半无限长柱问题，在三条假设下分别证明了应力边值问题和位移边值问题的、在柱体横截面上所作的位移L2积分的衰减定理。19.4Horgan和Payne网的研究涉及二维二阶准线性偏微分方程，讨论了Dirichlet和Neumann问题，在先验假设u,u,a—>0(uniformlyinx2)as再一>oo.(19.1)条件下建立了二次“能量”积分的图平型衰减，并用一阶和高阶“能量”表达了横截面估计和逐点估计。19.5Horgan和Payne"""考察了一类三维二阶准线性方程的Dirichlet问题。根据作者所言，为简化论证所提出的先验假设为u,du/dx30(uniformlyinxpx2)as—>oo.(19.2)两种情况或两个假设提供了更多的约束条件。对第一情况(Casel)建立了通常能量的图平型衰减，对第二情况(Case2)建立了s能量的图平型衰减。对两个情况都给出了&估计。19.6Galdi>Knops和Rionero卬研究了非线性弹性柱体的位移的渐近性质。在假设条件下证明了两个位移平方在柱体横截面上的积分的衰减定理。 3619.1Vafeades和Horgan"'"关注定义在半无限长条带的vonKarman方程的解的衰减估计。在先验假设下证明了第一图平型衰减和改进的图平型衰减。论证中对不等式-%-4k2p£E''2(0)+—>0,(19.3)只取了等式进行讨论，以便得到最大的工值并排除(20.3)式中/的可能的零值和负值。1.88Horgan和Payne网涉及定义在矩形平面域的二维二阶非齐次准线性偏微分方程的解的渐近行为。矩形的长度大大超过它的宽度。文章分析了方程的Dirichlet问题并在先验假设的前提下就两种情况建立了“能量”的图平型衰减。1.99Horgan和Payne网在非线性弹性力学平面问题理论背景下对“加权能量”二次泛函给出图平型衰减。讨论中假设位移梯度为小量，应力-应变关系为非线性。1.100Flavin等网考虑了定义在半无限长的柱体域的半线性椭圆形方程，并得到经典Phragmen-Lindelof定理的非线性类比。在柱体侧面分别设置齐次的Dirichlet和Neumann边界条件，但在柱体基底以及远离基底的地方没有设定边界条件。在相应的假设条件下分别证明了解的、能量测度的以及横截面能量流测度的Phragmen-Lindelof型定理。1.111Breuer和Roseman156-581,Horgan1591以及Horgan和Olmstead在先验假设条件下对建立非线性问题的解的圣维南型衰减作出了贡献。20.反平面剪切形变(Anti-planeShearDeformations)20.1Horgan和Knowles|6"(又见文[16,37])对柱体有限反平面剪切形变建立了圣维南型衰减，柱体的横截面是半无限条带。作者证明了，沿条带平行边的非零剪切应力分量偏离对条带所取的平均值，偏离值以距端面的距离的指数衰减函数表达。论证采取的先验假设为(x,,x2)k,u,2(x,,a:2)—>0as芯一>oo, 37uniformlyinx2,0 38为零，对非定常流动设置与时间有关的端头流体速度，初始速度为零。作者证明了两个Phragmen-Lindelof型定理，分别对定常流动和非定常流动问题描述了横截面(线)能量流测度和高阶能量或无界或衰减的条件。高阶能量的衰减属图平型能量衰减。20.1下列作者对流体流动问题建立了图平型衰减：Horgan1731.Horgan和Wheeler1741,Ames和Payne"'i、Ames、Payne和Schaefer1761,Chadam和Qin[771>Payne和Song加、Song[79,801以及Lin和Payne1811o21.热传导问题是Boley阳网首先把圣维南原理应用于抛物型热传导方程。其后的工作有：21.1Knowles网对Edelstein附讨论的热传导方程提供了与时间无关的图平型衰减率。.21.2Horgan、Payne和Wheeler^1处理三维柱体的热传导初边值问题，柱体边界条件只在端面上非零。在Dirichlet和Neumann边界条件下给出解的横截面均方估计。21.3Payne和Song^对定义在半无限长柱域的广义热传导问题给出Phragmen-Lindelof型定理，其能量衰减为图平型能量衰减。21.4Quintanilla网揭示了双曲型热传播方程的图平型能量衰减，其结果类似于已知的有关抛物型方程的解的估计，并推广到一类半线性波动方程。21.5Horgan和Quintanilla1X91处理非均匀各向同性热传导固体中材料非均匀性对端面效应的空间衰减的影响，在泛函渐近行为的先验假设下提供了问题的解的加权均方估计。21.6Payne和Song1901关注半无限长柱体中温度和热流量的空间衰减，对Maxwell-Cattaneo方程的混合边值问题的解证明了两个分别用温度和热流量定义的“能量”的图平型衰减定理。21.7Payne和Song⑼1用推广的Maxwell-Cattaneo方程讨论了半无限长柱体的热传导 39问题。在第一组边界条件和先验假设下给出横截面温度“能量”的衰减估计以及用热流量定义的加权“能量”泛函的图平型衰减。在第二组边界条件和先验假设下分别给出温度和热流量的加权右测度的图平型衰减。20.弹性动力学问题20.1AntonioRusso和AlfonsinaTartaglione阳称：”除了别的内容以外，我们证明了，如果声张量满足适当的在无穷远处增长的条件（双曲性条件），总初始能量适当加权可和，那么无界域中线形弹性动力学的初边值问题的解任意瞬时在无穷远处衰减，衰减率依赖于权函数。而且我们证明了，双曲性条件是总能量平均值均分的必充条件。”文中证明了6个定理。定理1是位移模平方积分的空间衰减定理；定理2是位移模平方的空间衰减定理；定理3和定理4分别给出动能和应变能各自当时间趋于无穷时的极限；定理5指出双曲性条件是能量（动能和应变能）守恒和能量（时间）平均值均分的必充条件；定理6给出能量（动能和应变能）守恒的充分条件和能量（时间）平均值均分的充分条件。20.2Quintanilla网讨论了双曲型方程和椭圆型方程的结合，即弹性动力学和弹性静力学的耦合问题。考虑由两个半无限长的分柱体与和当并接或套装形成的半无限长柱体8,以分界面为耦合面。柱体区域表达为B=+B2,D=+D2,B=Dx(0,oo),=D,x(0,oo),B2=D2x(0,oo),(23.1)式中8为柱体体积域，。为柱体横截面。两个分柱体的分界面为S=n5D2)x(0,oo).(23.2)作者对分柱体与提出弹性动力学问题，而对生提出弹性静力学问题，定义了能量型 40泛函尸(z,f)和G(z/)、分柱体能量型泛函4(z,f)和E2(zJ)，导出尸(z,f)、用(z/)和E2(z1)的以多项式表达的空间衰减。其后，作者利用边界条件导出了空间衰减的振幅项尸(0/)和G(O,r)的线性组合的上界。最后，作者就简谐振动情况定义了振幅项(能量型泛函)，导出柱体振幅项E(z)、分柱体振幅项E1(z)和&(z)的指数空间衰减估计。作者的结论是：1.技减可由多项式捽制。2.振幅项可以借助边界条件予以估计。3.如果对简谐振动假设适当的条件，那么其振幅项满足指数衰减。24.热弹性问题L.E.Payne和J.C.Song网应用线性热弹性理论处理半无限长柱体的热弹性问题，柱体侧面或者设定零温度和零位移(Dirichlet边界条件)，或者设定零热流和零外力(Neumann边界条件)。对上述两种情况，对给定时间t,柱体中存在着一个区域x3>kt,该区域中近端面负载对其没有影响。对与<心的各点，对Dirichlet问题给出能量积分E(z,f)(随时间增长，随离端面的距离衰减)不等式中的E(0j)的上界；对Neumann问题给出能量积分。(z,f)(随时间增长，随离端面的距离衰减)不等式中的。(0J)的上界。25.本文评图平型衰减率回顾了圣维南原理的历史，使本文有可能对图平型衰减率进行进一步的评论。25.1如第11节所述，图平型衰减对悬臂梁问题成立，而圣维南型衰减对问题并不成立。如第17.1-17.2节所论，，Knowles⑸和Flavin的建立了二维弹性问题的图 41平型衰减，而问题的圣维南型指数衰减并不存在。如17.4节所评,Flavin和Knops网对二维位移边值问题建立了图平型衰减,而问题的圣维南型指数衰减并不存在。不必再提更多的例子，从以上实例我们知道，力学边值问题圣维南型指数衰减的存在不是图平型衰减率存在的必要条件。换句话说，图平型衰减率与圣维南型衰减无关。24.1由25.1,不存在图平型衰减率的这样的阈值，当图平型衰减率达到或超过该阈值时，图平型衰减转变为圣维南型衰减。如第11节所举，悬臂梁问题的图平型衰减率可以趋于无穷，但圣维南型衰减不成立如。24.2当泊松比u趋于1/2时，文［11］和［13］中的衰减率估计趋于零。Horgan和Payne川用有别于文［11］和［13］的加权能量泛函处理同样的问题，得到与泊松比无关的衰减率估计，提高了衰减率的数值来克服零衰减率的困难，以便为不可压缩弹性材料建立图平型衰减定理（又见18.8节）。我们看到，衰减率与能量泛函的定义有关。Knowles1231和Flavin⑶用不同的过程处理同•一个问题。Flavin。”用了更多的不等式，得到比Knowles网更大的衰减率。（又见17.1-17.2节）于是我们看到，衰减率与数学处理的过程有关。事实上，除了能量泛函的定义和数学处理的过程以外，影响衰减率估计的因素还有：作者的选择意向、论证的方法以及声明的或隐含的先验性假设等。作者们发展了各种方法，如能量法(energyprocedures),Knowles方法(Knowles'technique凸性法(convexitytechnique)>比较法或最大值法(approachesbycomparisonormaximumprinciples)、微分不等式法(differentialinequalitytechnique)以及本征函数展开法(eigenfunctionexpansion)等，来建立图平型衰减定理，其中不乏追求尽可能大的衰减率的作品，来“改进”估计结果、排除"保守的"("conservative")估计结果。然而，由25.2节,不存在由图平型衰减向圣维南型衰减转变的阈值，如果作者们讨论的是圣维南原理，再大的图平型衰减率都是没有意义的。24.3如7.1节、第8节和附录B9所述，文［11］中图平定理1的能量衰减率选择了能量衰减率连续谱中的最大值；而如第11节和附录C4所述，虽然作者声称，勿表示“最好的常数”，应该对/寻求“足够好”的下限，文［13］中/却由 42选取勿的下限的极大值和极小值之间的居中值来决定。我们看到，图平衰减率的选取很大程度上取决于作者的主观倾向或数学处理的方便性。然而，一个衰减率值是衰减率问题的一个特解。当定解问题的能量泛函定义了以后，衰减率的全体构成了问题的衰减率谱。无论是估计值还是精确值，也无论是连续的还是离散的，图平型定理中的衰减率应该取衰减率谱中的最小非负值，否则定理不真。例如，图平定理1应该为附录B的(B31)式而不是(B2)式。24.1还可以举出典型的例子说明图平型衰减的作品缺乏数学的严谨性。Horgan和Knowles”/考虑半无限长条带04网<8,0 4324.修正的圣维南原理的证明或圣维南型衰减定理的建立（本文评述）Mises⑸、Sternberg161和Toupin"皿以反例指出，波西涅克和勒夫的陈述不真。在第8节的附录B中本文否证了勒夫陈述。然而，由前面各节诸多作者的工作和本文提出的实例可以看出，通过精心地提出特殊而有利的（初）边值问题、提供先验性假设或者补充附加条件等途径（比如第13节的附录D5讨论的情况），可以建立圣维南型衰减定理。换句话说，圣维南型衰减定理是可以借助对具体问题补充附加条件而得到证明的。虽然圣维南原理充满着神秘，它仍然是可以理解的。本文把对具体问题补充了除勒夫陈述规定的条件以外的（声明的或隐含的）附加条件的、应力、应变或应变能密度作为度量的圣维南型衰减定理称为修正的圣维南原理。这种“修正”不是对勒夫陈述的修正，而是对具体问题补充不属于勒夫陈述规定的附加条件，是一种因具体问题而施行的具体的修正，因而和第3节的Mises修改不同（Mises是修改原理的陈述）。以上结论对借类比而推广的圣维南原理也成立。建立修正的圣维南原理和圣维南型衰减定理的方法有：逐点估计、形式求解、本征函数展开（半逆解法）、Phragmen-Lindelof型求解以及精确解法。每种方法都有各自的优缺点。比如,本征函数展开（例见文［14］的231-232页和文［69-71］）排除了增长，但是隐蔽了增长和衰减的条件。而且，严格而论，用于展开的本征函数族的完全性以及展开的唯一性是需要证明的。边值问题的衰减的精确解（例见第13节附录D5）是圣维南原理的最精确的表达，然而这种方法适用的边值问题需要较为严格或相对较多的附加条件，在提出边值问题时要求作者有更强的洞察力和更多的经验。Phragmen-Lindelof方法可以推得物理量衰减和递增的数学条件，但这些数学条件所表达的物理意义常常难以理解，因而难以施行物理控制。这些条件不是预设的，它们不出现在问题的定解条件中。 4424.为什么要研究圣维南原理的证明（本文评述）Truesdell从理性力学的角度对圣维南原理给出评论。他指出：“这样一个推广为'关于等效载荷的圣维南原理’的思想，对线性弹性力学带来一个重要的问题，因为如果其结果为真，它必须是…般方程的数学推论。”“3另一位对数学充满信心的是图平（R.A.Toupin）o他在对圣维南原理进行评论时指出“面临着如此多的对圣维南原理的传统陈述的反例，我们必须承认,该陈述中存在着某种错误。在力学文献中我们在这里因尊重传统而称为‘原理'（principle）的圣维南的思想有着各种不同的称谓，称为‘公理'（axiom）、'公设'（postulate）、'假设'（assumptions）或者'定律'（law）。现在需要的不是新的原理或新的假设，而是逻辑地从已经建立的弹性形变的数学理论导出的定理。”,,21两位学者实际上提出的是对圣维南原理这样一个实验规律进行数学证明的必要。弹性力学要成为严格的数学理论、可靠的力学、理性的力学u°网，就必须对经验的圣维南原理进行数学证明。通过对发展史的回顾和分析，本文现在可以原则地回答两位学者的问题了：一般的圣维南原理并不是线性弹性力学一般方程的数学推论，也不是从弹性形变的数学理论导出的定理。我们可以做到的，是对一类类具体的弹性力学边值问题导出一个个具体的修正的圣维南原理，解决这个（理性）弹性力学中长期困扰人们的理论问题。做到这一点，弹性力学就由数学理论加上圣维南原理这样一种“二元”的力学“进化”为（或“净化”为）“一元化”的、仅仅依靠数学推理来进行论证的理论，也就是理性的力学。这是我们研究圣维南原理的第一个目的。圣维南的科学工作的主要特点是具有基础性的应用价值，圣维南原理也有着重要的应用价值。但圣维南本人对他的思想的应用非常谨慎，曾经反对把他的原则应用于含有裂纹和瑕疵的梁。而现在的事实是，在弹性力学的著作中，例如文[22],圣维南原理的应用随处可见，然而大多数缺乏数学证明的根据。本文认为，修正的圣维南原理的研究可以起到填补理论空白、为原理的应用提 45供理论依据、纠偏纠错的作用。这是第二个目的。本文认为，圣维南的思想提供了一种以“类”而不是按“个”来求解边值问题的思路。把这个思路或方法推广到连续介质物理学的各个领域，建立这些领域的（修正的）圣维南原理，具有积极的理论和应用价值。这种思想对于数学物理方法的积极影响也不可低估，虽然现在还看得不太清楚。这是我们研究圣维南原理的第三个目的。事实上，圣维南原理的研究已经被认为是应用数学研究的一个分支。24.弹性通解和圣维南原理王敏中等在文［96］中综述了近30余年来弹性力学通解研究取得的成果，主要反映在三个方面。文中介绍了构造各向异性弹性力学通解的统一方法，弹性通解的完备性和不唯一性；通解应用的一些例子；弹性通解的观念和方法向一般线性微分方程组的推广。关于通解和弹性力学边值问题的关系，文中借无体力、以位移表示的线性各向异性均匀弹性静力学的方程（2.1.2）（算子方程形式）表述如下：“所谓弹性通解，即为满足齐次方程（2.1.2）的完备解。一旦找到了弹性通解，弹性力学边值问题的求解就比较容易了。弹性通解已满足弹性力学的全部方程（2.1.2）,这样弹性力学边值问题的求解，就转化为在弹性通解中寻找一个满足边界条件的解。”本文同意文［96］的这一观点，而在求解弹性力学边值问题时，经常碰到的困难是边界条件的精确满足难以实现。正是圣维南原理使得问题的“一个”精确的特解具有了普遍的意义，适合于“一类”在（相对）小边界上具有静力等效载荷边界条件（或类比条件）的弹性力学边值问题。由此可知，弹性通解的研究是对弹性力学问题“按方程归类”提供一般解；而圣维南原理的研究是对弹性力学问题“按边界条件归类”提供一般解。 4624.圣维南原理在中国大陆对于中国大陆作者的工作，除了必要的以外，本文一般只作介绍，不作评论。24.1黄乘规⑼根据数理逻辑理论，采用标准分析的方法探讨圣维南原理在线性弹性力学T(排除了圣维南原理的那部分线性弹性力学)中的地位，获得并证明了“在线性弹性力学T中加入圣维南原理所得的理论是一个不协调的理论”的结论。这个结论的必然推论是：在T中不能对圣维南原理提供有效的证明，反而可以证明该原理的否命题，换句话说，可以在T中证明圣维南原理不成立。24.2黄乘规网设半空间z>0的表面z=0上以原点为中心、以人为半径的球内作用着连续分布的平衡力系。指出，当〃-0时，半空间z>0的点(0,0,1)的平均法应力值的极限为止包，是一个大于零的常数。此例提供了圣维南原理的一个71反例。作者还把这一结果和Mises在文［5］中的结果和Sternberg在文［6］中的结果进行了对照，指出他的这一反例“似乎补充了一个罕见的例外。”24.3王敏中附对圣维南原理的发展历史作了简介，并称：“工程力学界所熟知的圣维南原理，从1885年由法国学者SaintVenant提出以来，至今已有一百多年的历史了。随后许多著名的力学家曾致力于寻求它严格的数学表达和证明。现在，这个目标大体上已经达到。”文中重要内容为圣维南和波西涅克的叙述、Mises-Sternberg定理、图平-Berdichevskii定理、Knowles对平面问题和轴对称问题的能量指数衰减。其中，对图平-Berdichevskii定理详述了定理的证明。24.4郑百哲“孙以波西涅克解为例说明了圣维南原理的近似和相对的性质。他的主要结果和观点是： 47文献［97］中所述的圣维南原理并不等价于传统叙述的圣维南原理。所谓传统叙述的圣维南原理指的是波西涅克陈述以及钱伟长和叶开源在著作“弹性力学”中的陈述，后者称：“若在物体上任意部分作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所生的应力分布只局限于平衡力系所作用的附近地区，在离该区域相当远的区域，这种影响便急剧地减少。”郑百哲说：“如果把'很小'理解成相对于载荷，而不是相对于给定的任意小£>0,那么，传统的Saint-Venant原理就并不与线性弹性力学理论相矛盾。”“传统的Saint-Venant原理的确不严格，而且，也不是单纯限制载荷的主矢和主矩的大小就能使它精确的。现在，对于圣维南原理已经有了比较精确的叙述，那就是V.Mises-Sternberg定理和Toupin-Berdichevskii定理他指出：文献［97］的例子对文献［97］所述的圣维南原理来说是反例，但对Sternberg定理来说并不构成反例。“可以认为，对一切可用椭圆型偏微分方程模拟、边界充分光滑的、函数在积分域及其边界上有充分连续的各级偏导数的问题，Saint-Venant原理或广义的类似原理都成立。”24.1孔超群综合评述有关圣维南原理的研究工作所涉及的方面及其主要进展和问题。主要内容有：1.关于原理的表达式，列举了波西涅克陈述和Mises陈述。指出对于非线性问题和动力问题“应当如何确切的表述，至今尚无明确结论。”2.关于原理的证明，大体分三个阶段：“第一阶段为二十年代到四十年代。一些学者以能量法为基础来论证圣维南原 48理，都是定性的。其中O.Zanaboni的工作最有代表性…“第二阶段为四十年代到六十年代，主要进展是提出了原理的修正表述并给出了严格的数学证明。”“第三阶段为六十年代到现在。主要特点是人们又致力于论证传统方式表述的圣维南原理，并给出定量的结果，如R.A.Toupin,J.K.Knowles和Berdichevskii等。”1.关于原理的适用范围：“随着薄壁构件被广泛采用，人们发现圣维南原理在某些弹性体系中不适用。”“B.A.Boley指出，圣维南原理是与偏微分方程的椭圆型性质相关连的。因此，对于定常热传导、静电学、静磁学和无粘性流体的流动等问题，圣维南原理都是适用的。”“圣维南原理所描述的现象在动力问题中并非完全不存在。至于什么情况下存在，还有待进一步研究来确定。过早放弃一切希望而作出否定结论是不适宜的。”29.6赵建中在文［21］中首先举出波西涅克陈述和勒夫陈述，作为讨论的前提。然后指出：“图平-Berdichevskii定理不能表达圣维南原理，理由如次：（1）就其条件而言，作者虽然按照波西涅克和勒夫陈述的要求提出了一个弹性力学边值问题，但是在推导（或证明）T-B定理的过程中原则上没有必要涉及弹性力学问题的基本方程和边界条件。因此,所得到的定理是一个过于普遍的规律。它不仅和弹性力学问题的边界条件无关，甚至和物体的物理性质（本构关系）及变形几何规律无关。这样一个事实说明T-B定理和圣维南原理没有特殊的联系,而且也是该定理能够‘推广'到固体力学的其它领域(如非线性弹性力学，粘弹体，极微弹性体力学)的本质的原因。(2)就其结论而言，T-B定理表达的是连续体中随所考虑的储能体积而变化的规律。它不是应变能密度随距离衰减的描述，从而也就不能给出应变(或应力) 49随距离衰减的规律。储能E(x)发生衰减的决定因素在于V(x)的体积发生随距离x的衰减。可见T-B定理与圣维南原理在物理意义上没有共同之处。”其后，作者举出了悬臂梁问题的解，说明既不满足勒夫陈述的条件，又得不到勒夫陈述的结论的弹性力学问题的解满足T-B定理，以此作为T-B定理不能作为圣维南原理的数学表达的例证。本文对Berdichevskii定理的评述引用了这个例证(见附录C)。29.7赵建中导出了具有分片光滑边界面和圣维南原理条件的半无限长柱和无限大体中应力分量的极限，并把其作为该两类问题的圣维南原理的数学表达，分别为做=0(i,j=1,2,3)(。为任意正实常数)(对柱体)(29.1)X3TX0IJI和lim(lo-,.|«/?ra+1)=0(j,/=1,2,3；w=0,1,2...)(29.2)或lim|o-..|=0(/?_(m+2))(ij=l,2,3；m=0,1,2...)(对无限大体)(29.3)。文中使用的方法是无限域的加权积分法。权函数形式的预设决定了应力趋于无穷小的形式或阶，而权函数的提出需要对问题的洞察和对应力衰减的预测。证明过程中需要一个数学条件，即积分运算和极限运算的次序可以交换。这个条件作者没有交代。29.8武建勋等U03T06I发表了一个系列的四篇文章讨论圣维南原理的证明问题。作者借链式模型想象长柱被分割成n个纵向配置的环节(有限单元)，讨论的是节面(有限单元分割面)上的分布面力和位移。讨论的命题是：对由〃个有限单元纵向链接构成的、近端作用着平衡力系、侧面自由、远端或自由或固定的弹性柱体，当〃-00时，有lim力(i<〃)，(29.4)limM,+1=&(z 50本文的评论是，由于讨论的两个前提没有得到证明，文［103-106］的讨论具有不确定性。这两个前提是链式结构中“超强的”节面分布力的离散圣文南型衰减和“超强的”节面位移的离散圣文南型衰减。另外，文献中的链式不等式也不成立。有关文［103-106］的评论的细节，请参考本文的附录Go30.本文的主要观点现对本文的主要观点作总陈述：(1)关于圣维南原理的陈述因为波西涅克和勒夫的陈述等价于圣维南思想，所以它们应该是圣维南原理的一般性陈述。实际应用中勒夫陈述更为方便。(见本文第2节)Mises修改的陈述(见本文第3节)引入了无限大体的小部分作用着非平衡力系的情况。这种陈述注意到了应力和应变的衰减，却没有注意到要符合圣维南原理的条件，即波西涅克和勒夫的陈述中所指出的条件。讨论已经偏离了圣维南的思想。本文认为，Mises陈述不应该考虑为圣维南原理的另一种等价的提法（2）关于圣维南原理证明的基础或前提圣维南原理的证明应建立在对圣维南原理的理解和数学逻辑基础上。关于圣维南原理的理解，本文认为，根据第2节所述的勒夫陈述阴（或波西涅克陈述⑶）,对线性弹性力学圣维南衰减应理解为在满足勒夫陈述的条件的物 51体中应变、应力和能量密度发生衰减，在距离静平衡力系无限远处这些物理量的极限为零。（非线性问题在第19节另外讨论）如果圣维南原理为真，它“必须是"线性弹性力学“一般方程的数学推论”1,01o根据上述对圣维南衰减的理解，对圣维南原理的证明应该建立在下面的公设、定义和判据之上。公设：圣维南原理是数学可证的，也就是说，圣维南原理是可以用数学证明或否证的。定义1：圣维南原理的证明是一个从弹性力学的基本方程和勒夫陈述规定的条件出发经过数学推导而达到和圣维南衰减相一致的数学表达式的过程。或者等价地，圣维南原理的证明是一个数学表达式的序列，序列中的每一个（组）数学表达式都由前一个（组）数学表达式经数学推导而来，序列的始端是弹性力学的基本方程和勒夫陈述规定的条件，序列的末端是在距离静平衡力系无限远处应变、应力或能量密度的极限为零，或者是一个应变、应力或能量密度随距离衰减的表达式。定义2：圣维南原理的数学表达是取自于圣维南原理的证明的数学表达式序列、表示出随着离开端面平衡力系的距离而衰减的应力、应变或能量密度的数学表达式。判据：如果从一个数学表达式可以导出与圣维南衰减不一致的结果，该数学表达式不是圣维南原理的数学表达。不难对应力边值问题以外的其它类问题建立类似的定义和判据。以上又见附录Bo（3）关于圣维南原理及其证明所采用的度量（measure）由（1）和（2）可知，圣维南原理及其证明应采取应力、应变、或应变能密度作为度量。在类比问题（如模型问题）中应采取应力、应变或应变能密度的类比物理量作为度量。如果采用别的度量，应该考虑其具不具备力学价值或工程学 52价值。正是选用的度量区分了三种类型的衰减定理：圣维南原理、平均值（或积分）的圣维南型衰减、图平型衰减。本文认为，图平理论采取应变能作为度量，但定理不是对等量体积中的应变能进行比较，应变能的衰减实质上由储能体积的递减引起，这种衰减不反映应力平均值的衰减，因而也就不具有力学和工程学价值。（又见附录H）由于图平理论采用的度量，图平理论没有证明圣维南原理，图平定理不是圣维南原理的数学表达。详情见第8节对图平理论的评述。（4）圣维南原理的可证性波西涅克和勒夫陈述的一般的圣维南原理不真，但修正的圣维南原理是可以证明为真的。所谓修正的圣维南原理，是指补充了波西涅克和勒夫陈述规定的条件以外的适当的条件的、应力、应变或应变能密度随离开物体小部分上的平衡力系载荷的距离而衰减的定理。这是我们可以做到的，也是只能做到的。这个结论对借类比而推广的圣维南原理也成立。详情请参考本文26节。（5）修正的圣维南原理和圣维南型衰减定理的证明方法证明修正的圣维南原理和建立圣维南型衰减定理的方法有：逐点估计、形式求解、本征函数展开（半逆解法）、Phragmen-Lindelof型求解以及精确解法。方法各有其优缺点。详情请参考本文第26节。（6）讨论圣维南原理证明问题的意义首先，圣维南原理的证明可以使弹性力学由数学理论加上圣维南原理这样一种“二元”的力学“进化”为（或“净化”为）“一元化”的、仅仅依靠数学推理来进行论证的理论，也就是理性的力学。其次，圣维南原理的研究可以起到填补理论空白、为原理的应用提供理论依据、纠偏纠错的作用。进一步，圣维南的思想提供了一种以“类”而不是按“个”来求解边值问题 53的思路。把这个思路或方法推广到连续介质物理学的各个领域，建立这些领域的（修正的）圣维南原理，具有积极的理论和应用价值。这种思想对于数学物理方法的积极影响也不可低估，虽然现在还看得不太清楚。详情请参考本文第27节。结束语本文对圣维南原理的历史作了回顾和评述，发表了一些观点。发表这些学术观点的目的在于和同行切磋，引起人们对圣维南原理这个基础性问题的关注和讨论，抛砖引玉而已。圣维南原理的历史源远流长，本文借最重要的工作和事件对圣维南原理的发展历史作了综述，便于读者掌握历史的主线。圣维南原理及其证明是一个传统的老课题，又是一个充满生机的新课题，魅力无穷。期待更多的作者对圣维南原理的奥秘进行探索，作出中国学者应有的贡献。附录A. 54Al.Zanaboni定理的前提条件根据对文［17］的理解,Zanaboni定理或其证明至少是以以下条件为先决条件的：(1)对用Zanaboni的方法构建的物体G+。2，"选取式使得变形的面加和s2精确地互相吻合，以至于G和中的质点不仅应力连续，而且位移也连续。”(见图2)(2)对用Zanaboni的方法构建的物体G+。2，“拼接的结果相当于把G和。2在自由状态下连接起来，然后对组合体孰+。2加载?平衡力系。“(见图2)(3)功能原理。(4)用Zanaboni的方法构建的物体G+。2满足使用最小余能原理的条件。A2.Zanaboni定理不成立，因为定理的证明是错误的：(1)主要的错误发生在最小余能原理的应用上。最小余能原理是虚应力原理，Zanaboni想用最小余能原理来证明(5.6)式，但实际上(5.4)式计算的却是余能的实增量，因为当R以1：(1+£)的比例增加时，形变也随之增至原值的(1+£)倍。由此可知，(5.6)式不是最小余能原理的结果。现在本文用最小余能原理来作证明(为了便于对比，此处沿用第5节的符号)。因为最小余能原理是虚应力原理，所以S面上只能发生R的变分，而S面上的位移是不能发生变分的。这样，设想R以1:(1+£)的比例增加，于是(/町和Urz分别增至(1+£)和(1+£)和Upr不变。物体6+。2的总余能为(U”2—Ur2—UpR)，当R以l：(l+£)的比例增加时，由最小余能原理跖2一4一心乜2一%£)=0(A1)应该得到3Um-£Ur,-eUR7=0.(A2)l+ZA1AZ、' 55由(A2)有，当且仅当Uri+Ur2=。(A3)时，皿+2=。♦.(A4)(A4)式意味着UK取驻值，而(A3)式是U”2取驻值的必充条件。把(A3)代入(5.2),得到驻值Ug2=Ui+UpR.(A5)(A5)式显然与(5.6)式不同，因为(5.6)式可以借(5.5)式变形为um=u\+-upr-(A6)(2)其次，Zanaboni的证明混淆了功和能。事实上,如果暂且承认Zanaboni的结果，并用U表示应变能，用卬表示力作的功，方程(5.2)应该为(A7)方程(5.6)应该为U”2=%—(%+%2)•(A8)然后应用(A8)式应给出(见图1)。1+(2+3)=%一(卬町+%(2+3))，。(1+2)+3=叱+2-(/a+2)+WR3)•(A9)Zanaboni定理应该为0 56那么，根据Zanaboni在第5节的证明，也应有叱=4,(A13)从而(5.2)式应为UM=U[+UR2(A14)((A14)式用第5节的符号)而不应该是(5.2)式原来的表达，因为q已经是G的应变能了。A3.讨论(1)本文得到的式(A3)与应力和位移连续的条件等价(见A1节前提条件(1))。分布在S两个相对面上的应力R因连续而等大反向，位移因连续而相同(图2),因而应力对一边作的功将和应力对另一边作的功反号，两个功的和为零，反之亦然。由(A3)可得Ur.=Ur.=。(A15)(沿用了第5节的符号)(2)在Zanaboni的证明中，在形成物体Ci+C2的步骤的第二步中。即是假定G处在自由状态下R对G作的功，U0口是尸对G在第二步中由R引起的位移上作的功。那么，本文认为，物体G+C2的应变能应该表为Ui*2=U、+Uri+Ur2+Upr+Urp(A16)式中Urp是在第二步中与对G由p引起的位移上作的功。为了便于对比，此处仍沿用第5节的符号。对(A16)应用最小余能原理，设想A以1:(1+£)的比例增加，得到3U1+2—sURl-sUR2—sU=0.(A17)因而驻值条件为UKi+UR2+URP=0（A18） 57代（A18）入（A16）得驻值为Ui+2=t/,+UPR（A19）该式和（A5）式一致。由以上分析可以看出，（5.2）式中的t/时是相当于（A16）式中+U即的。（5.2）式中的t/印表达的实际上并不是G处在自由状态下R对G作的功，而是G在负载状态下（P为外力）R对G作的功。这个事实提供了建立物体G+。2的合理性（见A1节前提条件（2））,也保证了界面S上应力和位移都连续，与（A3）式相容。（3）式（5.1）中Ur不为零，也就是任意想象的物体分割面上的力所做的功不为零。这就意味着，人们可以仅仅依靠想象借增加假想分割面来积累能量，能量可以靠想象创造出来，这显然是违反能量守恒定律的。附录B.对图平理论评论的数学推导和细节（第8节的附录）B1讨论的前提81.1.本文对圣维南原理的理解在对图平定理和Berdichevskii定理进行评述以前，为了避免误解，有必要明确本文对圣维南原理的理解。根据第2节所述的勒夫陈述闻（或波西涅克陈述131）,对线性弹性力学圣维南衰减应理解为在满足勒夫陈述的条件的物体中应变、应力和能量密度发生衰减，在距离静平衡力系无限远处这些物理量的极限为零。（非线性问题将在第19节另外讨论）81.2.本文讨论的基础：公设、定义及判据 58在对图平定理和Berdichevskii定理进行评述以前，为了避免误解，还有必要明确本文采取的基本公设、定义及判据。本文的讨论是以这些公设、定义及判据为前提的。如果圣维南原理为真，它“必须是"线性弹性力学“一般方程的数学推论”1,01o根据B1.1对圣维南衰减的理解，对圣维南原理的证明的讨论应该建立在下面的公设P1,定义D1和D2,以及判据C1之上。P1.圣维南原理是数学可证的，也就是说，圣维南原理是可以用数学证明或否证的。D1.圣维南原理的证明是一个从弹性力学的基本方程和勒夫陈述规定的条件出发经过数学推导而达到和圣维南衰减相一致的数学表达式的过程。或者等价地，圣维南原理的证明是一个数学表达式的序列，序列中的每一个（组）数学表达式都由前一个（组）数学表达式经数学推导而来，序列的始端是弹性力学的基本方程和勒夫陈述规定的条件，序列的末端是在距离静平衡力系无限远处应变、应力或能量密度的极限为零，或者是一个应变、应力或能量密度随距离衰减的表达式。D2.圣维南原理的数学表达是取自于圣维南原理的证明的数学表达式序列、表示出随着离开端面平衡力系的距离而衰减的应力、应变或能量密度的数学表达式。C1.如果从一个数学表达式可以导出与圣维南衰减不一致的结果，该数学表达式不是圣维南原理的数学表达。不难对应力边值问题以外的其它类问题建立和D1-C1类似的定义和判据。82.图平柱体圣维南原理证明的末端方程根据B1.1.对圣维南衰减的理解以及第B1.2.的定义D1,图平柱体圣维南原理证明的末端方程应是limUd=0(s 59维南原理证明的末端方程也可以是应变能密度随距离s衰减的表达式。82.证明序列的缺欠文［11］没有导出末端方程(B1)式，也没有导出应变能密度随距离s衰减的表达式，图平理论中的证明序列是不完整的，因而图平理论不是圣维南原理的证明。那么，是不是可以通过推论来补充证明、完成证明的序列呢？从图平定理可以推出哪些推论呢？可不可以由图平定理推出平均应力(或应变、或能量密度)的某些度量的衰减定理呢？本文下面对图平定理进行了分析。83.U(s)的意义文［11］中讨论的是任意长的柱体，我们理解为“有限长”和“无限长”两类。⑴有限长为L的柱体：图平定理1是(见第7节(7.7式)U(s)WU(O)eYi)4")(B2)由(B2)式得到U(L) 60从(B2)式得到limU(s)=O(B4)ST+OO然而该式并没有给出任何有关远处能量密度确定性的信息。对图平柱体lim(L-5)不存在，因为无限远处(L-s)可能是零，也可能是正无穷或是任意£->+ooST-KO正常数。由此(B4)式中的U(s)是没有意义的。进一步则lim④=lim"⑸(s 61是能量密度力在横截面q上的面积分，q离开近端的距离为5.由(B6)式和(B7)式有U(cs)>U(s)/sc(l).(B9)方程(B8)和(B9)给出能量密度的面平均值仁(Cs)NU(s)/as『(/)(B10)不等式(B9)和(B10)式表明，得不到任何确定的有关能量密度的横截面面积分和面平均值的衰减模式。82.分离变量的结果对能量密度函数分离变量，即Ud=UScs)U2(s)(B11)式中q(j)是q上的分布函数并与s无关，U式s)是s的函数。于是从(B8)、(B9)以及(BU)式有Ud>t/(5)t/,(c3)/A(c3)5f(/)(Bl2)其中AG)=Jq&Ma.J由(B2)式和(Bl2)式导出limUd>0(5 62|e『WK五(B14)11V(见第7节7.10)式可以进行应变的逐点估计。为了用(B14)式作估计，必须 63根据(B2)式求出能量密度的平均值，因为(B14)式中的Uo/V是球体的能量密度的平均值。于是，心(s)4U(0)eYi>4/a(L-s)(B15)式中已(s)是距离超过s的柱体中的能量密度的平均值。现在，我们必须从(B15)式导出与(B14)式中U0/V相当的量。然而，如果不附加另外的条件这是不可能做到的，原因之一是(B15)式中的句(s)是单个变量s的函数，而(B14)式中的Uo/V至少是4个变量(球体中心的3个坐标以及球的半径)的函数。因而结合(B2)式和(B14)式来作逐点估计是不可能实现的。B8能量密度平均值(1)对长度为L的有限长柱，由(B15)式中的等式得到能量密度平均值万;(s)的一阶和二阶导数为国⑹_U(0)(L-s-Sc)j，w”⑹-；€1dsa(L-s)sc和d2U^(s)_U(0)[(L-S)2/sc-2(L-s-sc)](I)&-iv•(D1/Jds-asc(L-s}从(B15)-(B17)式，当s=sm=L-sc,(Bl8)时，能量密度平均值取极小值U；(s)mm=U(O)eSi&/at.(Bl9)式(B18)中的s„,满足 64(B21)晅0)=0(B20)Z区“)>0・在区间5m 65B9能量衰减率谱、图平定理的不完备性图平定理是一个不完备的定理。图平在文［11］中推出s『(l，a)迎"+Q(s,。<0(B29)as式中a为任意正实数。不等式(B29)应给出U(s)4t,(B30)其中sc(l,a)=-［ap*+—^―］无上界。然而文［11］在导出(B2)式时却只2apco^(/)取了能量衰减率谱&(/,a).中的一个值——最小值%(/),因而图平定理只能表示能量衰减率取最大值的情况，不能覆盖能量衰减率谱所对应的所有情况，图平定理是一•个不具备完全性的定理。特别是，当,(/,a)f+oo时(此时af0或a—>+oo),U(s)4U(0),(B31)图平理论丢掉了这个重要的解。这个解的意义是，图平能量衰减的原因是距离超越s的柱体部分的体积随s增大而发生的递减，而与能量密度的变化无关。虽然表达的是另一个极端情况，但是这个解对我们理解图平衰减的原因提供了重要的依据。完全覆盖能量衰减率谱的图平定理的形式应该是(B31)式。B10圣维南原理的否证有趣的是，图平理论不但没有证明勒夫表达的圣维南原理，反而提供了一种否证圣维南原理的证据，因为(B13)式可以从图平定理1推导出来。这个否证和图平自己在文［11,12］中借用反例进行的论证是一致的。这个事实也说明，图平定理和勒夫表达的圣维南原理是不一致的，或矛盾的。B11图平柱体问题的困难、本文对圣维南原理的又一否证对图平柱体，圣维南原理的数学命题应为：对体积域为8、边界为dB、近端为C 66。、无体力的半无限长柱体,（”3=。（x.eSB-Co),(B33)Cn(B34)以及j]^aCo=0(B35)（式中（”）疗。（演£Co）），则limtu=0ST+OOJ(x,eB),(B36)lim=05—>4-00J(x,♦eB)(B37)以及limUd=0ST+O0(x,eB),(B38)如果tjjj=0(Xjg8)(B32)式中（z,j=1,2,3）,x,.是柱体内各点的坐标，（n/,.是表面力分量，da是G）的面积元，%和分别是应力和应变分量，Ud是应变能密度。从（B32）-（B35）式和平衡条件可以导出J（“"0a=0（B39）cs和「［小）孙曲=0（B4。）*式中Cs是距离C。为s的趋向自由端的横截面。设想一个Cs把柱体分割成两部分，考虑Cs以远的分柱体，并把Cs取作加载端。于是，Cs上的自平衡力系将在分柱体内产生一个应力场。如果要求这个应力场消失，C,上的力系必须消失从而该力系对分柱体作的功为零。然而发生这种情况的概率为1/00,因为g上由C。上的任意平衡力系诱发的力系也是任意分布的，存在着无穷多种分布。根据上面的分析得知，命题（B32）-（B38）式是一个悖论。本节的论证可以作为 67圣维南原理的一般形式（勒夫陈述）的一种否证。附录C对Berdichevskii定理评论的数学推导和细节(第11节的附录)Berdichevskii网研究了笛卡尔坐标系中的任意形状、儿何线形、非均匀、各向异性、物理非线性的弹性体(£,/,灯，物体x>0部分自由，xWO部分加载。他给出XE(x) 68式中E是V（尤）中的能量而£是丫，（幻中的能量⑪。然而（C2）式不一定为真，因为（C3）式是错误的。很容易证明E>E'.(C4)事实上E'=^Uddr(C5)以及E=juddrV=\uddr+\uddv(C6)VV-V'于是E-E'=juddr>0(C7)V-V,因为Ud是恒正的。由(C7)式得到(C4)式。从而有可能y 69对各向同性弹性体；120,4是一个界于1和+8之间的任意常数。由(C11)式得到limB=+oo(Cl2)于是bIB(Cl3)根据(C2)式和(C13)式给出下确界(C9)o作者为了得到能量衰减率下界的最大值，取8=4(1+2)(C14)2〃也是缺乏客观性的。对于杆Berdichevskii导出L上空±掣”+&)-"(C15)254|4九从二A一(1-7)35A2从(C15)式，打的最小值是切f0(当力-0或/jf+oo)(C16)式中打的极限与弹性模量以及杆的横截面儿何无关。由(C16)式和/的下界强[1+(1+也(也))”2「2可知，对无限高杆(C9)式成立。斗B[AeA于是，由(Cl)式和(C9)式得到，Berdichevskii定理应该表达为E(x)<£(0)(C17)这个表达和图平定理的表达(B31)式一致，不能看作是一个巧合。C4..在对衰减率y进行估计的过程中，Berdichevskii对杆给出2的下限取+言~广。“，(C18)式中m 70式得到乙上空望辿+里25AA3〃3a：A2(1_7)354所以，(C20)式的左边是以。为自变量得到的极小值。.其后，(C20)式的左边以〃为自变量极大化，变形为A/(4.(C21)ApA,因此，(C21)式的左边是--个介于或的下限(如果存在的话)的极小值和极大值之间的值。我们看出，作者在对能量衰减率作估计时，存在着相当的随意性。C5.由(10.6)式/U)£(x)+^^<0(10.6)dx有^^<-/(x)£(x)(C22)ax此式类似于附录B的(B6)式，或看作是(B6)式的更••般的形式。这样，(C22)式对B5节的论证提供了支持。反过来，由附录B的B5、B6和B10节的论证我们知道，类似于图平定理，由Berdichevskii定理(经由(C22)式)可以否证…般的圣维南原理(勒夫陈述)。附录D.对模型问题评论的数学推导和细节(第13节的附录) 71DI.Horgan和Knowles1141定义了能量泛函E(z)=Jm,,.m,(dV(DI)并得到能量衰减不等式E(z)4E(0)exp(—2依)(0 72u,3=0(onS),(D8)du/dn=O(onL),(D9)\udA=0,(DIO)St\fdA=Q.(Dll)So的形式解。设分离变量的解w(xI,x2,x3)=w3(x3)^(xpx2)(D12)方程(D6)变形为两个变量分离的方程2"。(D13)和w(x3),33-22m(x3)=0(D14)从而模型问题的形式解表达为U=缶。与+综加。+f(/4+G4_,)(4J内+纥/乩)(D15)n=l式中是Neumann问题本征值正平方根，(/)„和次“分别是与4,和-4,相关的本征函数，%是零阶本征函数。式(D15)对天求导给出〃，3=+3次“)(4/的-8/乜*).(D16)”=1考虑到边界条件(D7,D8)和(D11),要求4=0,A“-B“=Dn,Anex-'-Bne^'=0(DI7)解(D17)式，常数An=Dne^'-e<'),(D⑻B"=D"e"/e" 73其中Dn由f=£D,\Q/+G“忙力(DI9)〃=]和本征函数的正交性决定。4和纥的极限为limA„=limD„e*-e")=0,/TOO/—>00limB“=lim0“/(「"'-)=-Dn.(D20)/—>oo/—>00因而当/f8时，模型问题的形式解(D15)变为M耙+G4“)e'，(D21)”=1从而5=80%，a—f2(//“，a+G*…)e*,(D22)〃=1〃，3=tOAU."+G“忙n)e-M.(D23)n=l积分(DI3)式给出J(0，aa+2V)dV=O•(D24)R另一方面，J(O，aa+^0)dV=J(^,,.+2VMV=)„+2^]JVRRR=p,,.%dS+A2\ 74或J。0dA#0(4#0)(D27)下可以排除零阶本征函数。0,此种情况下半无限长柱域模型问题的形式解成为u=-tD^J..+GJ_n)e-^,(D28)n=lu，a=-tD.(/,4,，a+G“忙,，a)e-M,(D29)n-l%=ZBAU，取+G*_,L•(D30)n-\公式(D29)和(D30)是类比弹性柱体应变衰减的式子，可以看作是模型问题圣维南型衰减的形式解，在下列条件下成立：(1)条件(D27)式被满足；(2)半无限长柱域。.D5.方程(D10)不属勒夫陈述的圣维南原理的条件，因为模型问题中“是类比于弹性柱体的位移的。当讨论圣维南原理的时候，这是一个补充条件或附加条件。以类似的思路我们发现，在特殊的条件下，圣维南型衰减确实存在，以下例展示:把(D10)式排除在外，加上“轴对称”条件，考虑常截面圆柱域的轴对称模型问题A3h=0(onR),(D31)du/dz=f(r)(onSo),du/dz=0(onSt),(D32)du/dr=0(onL),(D33)式中(0Wr~,0 75该问题的解为\f(r)dA=0.5。(D34)u=Aa+XJa(cnr/hXAllev，h+Bne-c-z,h),(D35)«=]式中c„是贝塞耳(Bessel）函数，的第〃个正值零点，An和乩由（D18）式决定，Dn为2c/J。（，i）h\f(r)J0(cnr/h)rdr(n=1,2,...)0.(D36)于是分〃2?=—Z(c0/h)JNc“r/h)(A.eW+B.e«h),0rn=\(D37)詈4c/颂—叫(D38)对半无限长柱域，即/f8时（D35）,（D37）和（D38）式变为(0 76附录E.Knowles方法的两个实例及其评论(第15节的附录)ElKnowles和Sternberg网处理了回转体的扭转问题，Horgan和Knowles冈重述了主要的结果。现在本文对文［24］.的分析和结果给以评论。(1)文［24］对回转体轴对称扭转问题给出能量不等式：ZU⑵WU(0)exp【-2泅QMC(0 77h然Js=£冗A“c"J{c“r/h)eY"E(0 78肛=f[(2〃-1)乃-%6心心)/sin(2〃-1)犯n=l+2n^An2e2nm-Bn2e-2n,a)Dn2cos2n7iy],(El4)00uy=工[(2〃-1)1(4“修°"-8+纥避-(2"-8)21。〃(2〃一1)犯n=l-2n7c(An2e2n,a+Bn2e-2nm)Dn2sin2n^y],(E15)式中Anl=l/(2n-l)^(l-e2<2n-1)"),Bni=e2(2n-iu/(2〃一1)即(1一e2(2"T)»),1/2Dnl=2J7(y)sin(2〃-1)肛dy,-1/2A“2=1/2〃即(l-e」”"),B“[/2n7rpQ-ef,1/22,2=2j/(y)cos2n7iydy,(n=1,2,3•••).(El6)-1/2于是，圣维南型衰减和图平型衰减之间的不一致性一目了然：由(E14)-(E16)式忆和uy并不单减，而由(E11)式能量”是单减的。附录F.有关两个二维问题的评述(第17节的附录)F1.(第17.1节的附录)Fl.lKnowles。"用他的方法处理一个线性弹性力学二维问题，Horgan和Knowles""重述了主要的结果。Horgan和Knowles""表达的问题是△△0=0onR(Fl)边界R的远区C0自由，以至于。=0onC0(F2)式中。是Airy应力函数。令1=maxx,,h=maxCoC°/(F3)和E(z)=\^aPKpdA(0 79式中=£V2-Ji/2^L4h2h(F6)第14节介绍了用Knowles方法求得能量衰减(F5)式的方法。FL2现在本文试图对问题寻求圣维南型衰减。设°=02(》2)广如.(F7)如果该解存在，则根据(F1)式，当/foo时应取形式(/)=(4。尤；++Cq%2+)CD+Z(A〃sink”/+cosknx2+Cnx2sinknx2+Dltx2cosknx2)e~knXi(F8)rt=l然而，在条件(F2)下，A.=B(j=C0=DQ=An=B„=Cn=Dn=0,(n=1,2,3-)(F9)因为C。上有无限多个点，对一个点求得的由(F2)式决定的非零本征值((如果存在的话)，对其他点一般不成立。换句话说，至多只存在零本征值。而四个常数要满足为无限多个点建立的无限多个齐次方程，只能为零。由式(F9)得到。=0.(F10)然而(F10)式是和加载的G(边界R的近区)上的非零边界条件矛盾的，因而所设的解(F7)不存在，我们建立问题的圣维南型指数衰减的尝试失败，然而由(F5)式图平型衰减是成立的。.F2.（第17.4节的附录）F2.1Flavin与Knops1281研究了二维位移边值问题。在结束评语（ClosingComments）中，作者举出一个例子来对“估计的"衰减常数（estimateddecayconstant.）和"实际的"衰减常数（"actual"decayconstant.）（即解的衰减常数）进行比较。 80F2.2本文分析，如果边界占=0上设定的位移非零，该例无实数解，因为有关A的正确的方程应该是sinA=-a+//）（2+3//）-'A,（F.11）而不是文［28］中所给。而A是一个实数，由（F.11）式它只有零解，这就意味着u,=«2=0.（F.12）式（F.12）和边界々=0上非零的位移边界条件矛盾，这意味着文中所设例子无解，圣维南型衰减并不存在。然而图平型能量衰减是成立的。附录G有关武建勋等四篇文章的评述（第29.8节的附录）1.有限单元节面分布力和节面位移的离散圣维南型衰减的命题文献［103-106］］的链式模型想象长柱被分割成〃个纵向配置的环节（有限单元）,讨论的是节面（有限单元分割面）上的分布面力，因而实质上只讨论节面上的三个应力分量而不是讨论柱体内各点的六个应力分量。基于文献［103-106］的链式离散化，借用文中对极限使用的语言，根据勒夫对圣维南原理的一般性陈述，节面分布力的离散圣维南型衰减的命题应为：命题1：对由〃个有限单元纵向链接构成的、近端作用着平衡力系、侧面和远端自由的弹性柱体，当〃―8时，有lim九=3(i<〃)，(Gl)其中力+i为文献［103-106］中第i+1个节面上的分布力，19为零函数。对远端固定的混合边值问题，一类节面位移的离散圣维南型衰减的命题为： 81命题2：对由〃个有限单元纵向链接构成的、近端作用着平衡力系、侧面自由、远端固定的弹性柱体，当〃->8时，有=&(j 82两式和limW,=lim(U户-UQ=O(G9)等价(但(G7)式和(G8)式中的i应理解为i+1),证明中引用了链式不等式(G3)式和(G5)式。这就表明，等价关系的成立是以“超强的”节面分布力的离散圣维南型衰减和“超强的”节面位移的离散圣维南型衰减为前提条件的。3.文献［103］至文献［106］讨论的离散混合圣维南型衰减的命题基于等价关系，文献［103-106］实际上讨论了以下命题：命题3：对由〃个有限单元纵向链接构成的、近端作用着平衡力系、侧面自由、远端或自由或固定的弹性柱体，当"f8时，有lim//+I=6«(/ 83立山冈。也就是说，圣维南原理（按勒夫的陈述）不真。所以，文献［103-106］中节面分布力的离散圣维南型衰减（命题1）不真，或不可能证明为真。3.结论由以上讨论可知：（1）文献［103-106］没有证明节面分布力的离散圣维南型衰减（命题1）,更谈不上对“圣文南原理”的“一般证明”进行讨论。事实上，节面分布力的离散圣维南型衰减（命题1）不真。（2）文献［103-106］对所设离散混合圣维南型衰减的命题（命题3）的讨论不具确定性，因而讨论不成立或讨论没有意义。（3）因而，文献［106］所谓“关于圣文南原理的一般证明”的提法失之偏颇。4.讨论甚至文献［103-106］中的链式不等式也不成立。文献［103］没有证明链式不等式，因为从文献［103］引理一推不出（G3）式和（G5）式。于是文献［106］又来用变分原理补证。补证存在的问题是：（1）文献［106］用了最小功原理（文献口06］作者称最小余能原理）“证明”（G3）式，因而（G3）式中的U.表达的是物体的余能。对线性弹性体，余能和势能只在“真实状态”下才相等,在发生变分的状态下不一定相等，所以余能取最小并不意味着势能取最小。也就是说，如果U.是物体的势能，（G3）式中的不等式不一定成立。对所论远端自由的应力边值问题,有理由采用最小势能原理。根据最小势能原理，总势能（物体势能与外力势能之和）取最小而不是物体势能取最小，这再一次说明(G3)式中的U户是物体的势能是没有根据的。(2)对远端固定的混合边值问题，应采用广义变分原理广义变分原理 84是泛函驻值原理而不是势能的极值原理，因而对此类问题，不可能证得如(G5)式一类的不等式。附录H.在“体积能量衰减”背景下讨论图平型衰减(第30节的附录)为了进一步揭示图平型衰减的本质，本文考虑半无限长柱体R={(x,,x2,x3)|(^1,x2)eD,x3>0),(H.l)式中。表示柱体R的有界横截面。定义能量泛函E(z)=]7(外心|公2公3(H.2)式中R(z)是部分柱体R(z)={(X1,七,七)|(xpx2)eD,x3>z},(H.3)/(x)表示“能量密度函数”(一个定义在/?的、可积的、正定的函数)。.令-史@Nk⑺E「G)(H.4)az式中Mz)是自变量z的非负的函数，p为实数，E(z)随z单调递减(容易提出二维条带的类比方程)。式(H.4)是关于体积能量的变化和体积能量自身的关系的假设，根据这个假设可以导出无穷多类有关体积能量E(z)衰减的定理，每一个定理都与“能量密度函数”的衰减无关，也就是与圣维南型衰减无关，而图平型衰减只不过是(H.4)式的一个特例(p=l,以往的结果中常常设k为正常数)。图平型衰减定理的建立实质上是在假设(H.4)的前提下，取p=l,然后对人进行估计。由此还可以看出，图平型衰减和应力分析相去甚远，和圣维南重视工程应用的思想和初衷gg也相去甚远。参考文献[1]A-J-CBdeSaint-Venant.Memoiresurlatorsiondesprismes.Memoirespresentes 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95proofhasbeenanimportantsubjectofelasticstudy.InthisarticlethehistoryofdevelopmentofSaint-Venant'sPrincipleisreviewed,referringtothemostimportanteventsconcerningtheprincipleasthehistoricalclue,andtheimportantworksandresultsareevaluated;theview-pointsthatToupinTheoremcannotbeconsideredasamathematicalexpressionofSaint-Venant9sPrincipleandthatthegeneralSaint-Venant'sPrincipledoesnotstand,butmodifiedSaint-Venant'sprinciplescanbeprovedtruearepublishedandexplained;themathematicalapproachesforeslablishingmodifiedSaint-Venanfsprinciplesaresummarized;thesignificanceofprovingtheprincipleisexpounded;inordertobringthoseessentialissuesanddiscussionsconcerningtheprincipletoattentionandtopromoteboominganddevelopmentofSaint-Venant'sPrinciple.KEYWORDS:Saint-Venant'sPrinciple,history,ToupinTheorem,proof,disproof,formulation,modification,significance
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