江苏省淮安市高中校协作体2021-2022学年高二上学期期中联考数学Word版含解析

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淮安市高中校协作体2021-2022学年高二第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可求解.【详解】直线即的倾斜角为，故选：C.2.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据方程，先判定顶点位置和开口方向，利用公式写出准线方程即可.【详解】解：抛物线是顶点在原点，开口向下的抛物线，,准线方程为，故选：D.【点睛】根据抛物线的标准方程的四种形式求出准线方程和焦点坐标是基本功，一定要结合顶点，对称轴，开口方向熟练掌握.3.已知过点和点的直线为，直线为，直线为，若，，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】

1【分析】设直线，，的斜率分别为，，，由题意可得，，列出关于的方程，解方程可得的值即可求解.【详解】由题意可得直线，，的斜率存在，可分别设为，，，因为，所以，即，解得：，因为，所以，即，解得：，所以，故选：A.4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（）A.1B.－1C.2D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】＝＝＝1.故选：A.5.若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式即得解.【详解】解：由题得圆心坐标为半径为，所以或.

2所以实数a的取值范围是.故选：C6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经,,动点满足,则动点轨迹与圆的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D【解析】【分析】求阿波罗尼斯圆后判断两圆的位置关系.【详解】由已知动点满足，得即动点轨迹为圆：，，两圆外切.故选:D.7.斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,…,数列满足，，设，则（）A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】D【解析】【分析】根据满足，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，即得结果．【详解】因为斐波那契数列满足，，则和式中，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，则

3，则．故选：D8.过椭圆右焦点作轴的垂线，交于A，B两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线过的左焦点和上顶点写出直线的方程，再根据过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点，得到以为直径的圆的圆心和半径为，然后再根据为直径的圆与存在公共点，由圆心到直线的距离不大于半径求解.【详解】由题意得：左焦点上顶点，所以直线l的方程为，即，因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点，所以以为直径圆的圆心为右焦点，半径为，因为以为直径的圆与存在公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，即，所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.9.椭圆的焦距为，则的值为（）A.9B.23C.D.【答案】AB【解析】【分析】分焦点在轴上和在轴上两种情况讨论求解即可得答案.【详解】解：椭圆的焦距为，即得.依题意当焦点在轴上时，则，解得；当焦点在轴上时，则，解得，∴的值为9或23.故选：AB.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，是基础题.10.若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（）A.若，则曲线为椭圆B.若曲线椭圆，且长轴在轴上，则C.若曲线双曲线，则或D.曲线可能是圆.【答案】BCD【解析】【分析】利用椭圆，双曲线和圆的方程特征求解判断.【详解】A.若方程表示椭圆，则，解得且，故错误；B.若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，故正确；C.若曲线为双曲线，则，解得或，故正确；

5D.曲线是圆，则，解得，故正确；故选：BCD11.以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据条件求抛物线的焦点坐标，再求抛物线的标准方程.【详解】直线与轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程，与轴的交点坐标是，抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程是.故选：AC12.已知抛物线：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A.B.为中点C.D.【答案】ABC【解析】【分析】结合已知条件求出的纵坐标为，横坐标为，进而将的坐标代入抛物线方程即可求出的，进而联立即可求出相关点的坐标，然后逐项分析判断即可得出结果.【详解】因为直线的斜率为，且，所以的纵坐标为，横坐标为，所以，因为，解得，故A正确；因为，所以直线：，令，所以，则，又因为

6，则的中点为即为，故B正确；，解得或,即，则，，因此，故C正确；D错误，故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分.13.①在数列中，若是常数，，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若，则；③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；④若数列是等差数列，则，…也成等差数列，上述命题中，其中正确的命题的序号为________.【答案】①②③④【解析】【分析】对于①：利用等差数列的定义直接判断；对于②：利用通项公式分别计算出左、右两边，即可证明；对于③：由等差中项的定义进行判断；对于④：利用等差数列的定义直接证明.【详解】对于①：根据等差数列的定义，后一项与前一项的差为同一个常数，即是常数，，故①正确；对于②：若数列是等差数列，则，所以，，，所以，.因为，所以.故②正确；对于③：由等差中项的定义可知：数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有；故③正确；

7对于④：若数列是等差数列，则.令，则，，所以为同一个常数，所以是等差数列，所以，…也成等差数列.故④正确.故答案为：①②③④.14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则线段的长为________【答案】12【解析】【分析】由抛物线定义得，，代入即可得解.【详解】由抛物线定义得，，所以.故答案为：12【点睛】本题考查抛物线的定义，属于基础题.15.已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.【答案】【解析】【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值．【详解】解：设点，，，，线段的中点，，由，得（判别式△，，，，点，在圆上，则，故.

8故答案为：16.已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）的值为________；（2）若，且的面积为，求b的值为________．【答案】①.20②.8【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由知，，（2）设，，可得，所以，所以，所以，故答案为：（1）20；（2）8.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及相应的的值.【答案】（1）

9（2）当或时，有最大值是20【解析】【分析】（1）用等差数列的通项公式即可.（2）用等差数列的求和公式即可.【小问1详解】在等差数列中，∵,∴，解得，∴；【小问2详解】∵，∴，∴当或时，有最大值是2018.已知双曲线的离心率为，抛物线（）的焦点为，准线为，交双曲线的两条渐近线于、两点，的面积为8.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）求抛物线的方程.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】小问1：根据双曲线的离心率，求得，进而求得渐近线方程；小问2：求得抛物线的准线方程，联立解得点的坐标，结合面积公式求得的值，即可求解．【小问1详解】由题意，双曲线的离心率为，

10可得，解得，可得，所以双曲线的渐近线方程为；【小问2详解】由抛物线，可得其准线方程为，代入双曲线渐近线方程得，，所以，则，解得，所以抛物线的方程为．19.在①；②；③轴时，这三个条件中任选个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______.（1）求抛物线的标准方程.（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案见解析;（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）若选①，则又抛物线焦半径公式可得，即可求出，即可得解；若选②，则，，由点在抛物线上，代入解析式，即可求出，即可得解；若③则即可求出，即可得解；（2）设，，联立直线与抛物线，消元列出韦达定理，求出弦的长与点到直线的距离，即可求出三角形的面积；【小问1详解】解：选择条件①.由抛物线的定义可得.

11因为，所以，解得.故抛物线的标准方程为.选择条件②.因为，所以，，因为点在抛物线上，所以，即，解得，所以抛物线的标准方程为.选择条件③.当轴时，，所以.故抛物线的标准方程为.【小问2详解】解：设，，由（1）可知.由，消去得，则，，所以，又，，所以，故.因为点到直线的距离，所以的面积为.20.（1）在平面直角坐标系中，直线与圆相切于点，圆心在直线上.求圆的方程；（2）已知圆与圆：相交，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）

12【解析】【分析】(1)根据给定条件设圆心，再借助切线性质求出a值，进而求出半径即可得解.(2)求出圆与圆半径，利用两圆相交列式求解即得.【小问1详解】因圆心在直线上，则设圆心，半径是，于是得圆方程是，而圆与直线相切于点，即与直线垂直，则有直线CA斜率，解得，因此，圆心，，所以圆的方程是：.【小问2详解】圆：化为，圆心，半径，而圆的圆心，半径，则，因圆与圆相交，于是有，即，解得，即，所以实数的取值范围是.21.已知椭圆：过点，长轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程.【答案】（1）（2）

13【解析】【分析】（1）椭圆基本量计算.（2）点差法求斜率即可.【小问1详解】因为椭圆的长轴长为，所以，得，又椭圆过点，所以，得.所以椭圆的标准方程为:.【小问2详解】直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为：此时线段中点为，不合题意.所以直线的斜率必存在，设其为，，，因为为的中点，则，所以，将、坐标代入椭圆的标准方程为得，，两式相减得：，整理得：，所以，，所以.所以直线的方程为，即.因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求.22.如图，椭圆经过点，且离心率为.

14（1）求椭圆的方程；（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，结合即得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，设，，用点坐标表示，韦达定理代入即得解.【详解】（1）由题设知，，结合，解得.所以椭圆的方程为.（2）由题设知，直线的方程为，代入，得.由已知，设，，，则，，从而直线斜率之和

15.所以直线斜率之和为定值2.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.