2019年二轮理数（教）专题六

《2019年二轮理数（教）专题六》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

（这是边文,请据需要手工删加）名师导学•高考二轮总复习•理科数学r、®®適卷（这是边文,请据需要手工删加）

1专题六解析几何®®®®,…（这是边文,请据需要手工删加）解析几何知识网络L［倾斜角、斜率I厢析儿何〕岡的方程-｛平行］——［距离］——点斜式卜-C斜宮ス1T两点式］T載距，VI-（一般式（-rC垂直H"交一［点到!f线的距离］-I标准方閏ー吒・般方程I-I圖的性质Lp?点n―|性质|—れ线与阿的位置关系!标准方程性点点率松心对焦顶离电线サ椭圆的位置关系!J标准方程对渐焦顶高称进心性性点点率q代线与双曲线的位置关系卩イ化线与抛物线的位置关系b

2点点性絞称焦顶对准标准方程

3年份卷别题号考查内容命题规律2018I8，11，19直线与抛物线（双曲线、椭圆）位置关系，椭圆、双曲线的几何性质;直线的斜率、方程II5，12，19双曲线、椭圆、抛物线的几何性质，圆的方程，点到直线的距离公式III6，11，20直线方程、圆的方程，点到直线距离公式，双曲线几何性质，直线与椭圆位置关系2017I10，15，20双曲线的几何性质，直线与抛物线、与椭圆位置关系I定点问题II9，16，20双曲线的几何性质，抛物线的方程与几何性质，直线与圆的位置关系，轨迹方程求法III5，10，20双曲线、椭圆几何性质，直线与抛物线位置关系，直线与圆的方程2016I5，10，20双曲线方程及性质:抛物线方程及性质:轨迹方程求法;直线与椭圆位置关系114，11，20圆的方程及点到直线距离、双曲线的几何性质;直线与椭圆位置关系及参数取值范围III11，16，20直线与圆，点到直线的距离公式，直线与椭圆（抛物线）的位置关系，轨迹方程求法考查题型是两个小题（两选择或ー选择ー填空）和一个大题.小题以考查圆锥曲线的几何性质（尤其是双曲线）和方程为主，也涉及直线与圆的方程、点到直线的距离公式，大题以考查直线与考情分析【P46】

4椭圆，直线与抛物线的位置关系为主，涉及轨迹问题、范围问题，定点、定值、最值问题和探究性问题，难度较大，有一定的运算量.第12讲直线与圆的方程上~）专题採无[p461【命题趋势】直线与圆、圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点内容之一，通常以选择填空题形式呈现，主要考查:（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断;（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围;（3）利用相切或相交求圆的切线方程或弦长.【备考建议】本节内容应结合平面几何知识，从“形”的角度把握直线和圆的位置关系，重点解决直线与圆、圆与圆的位置关系以及圆的综合问题.探究一直线方程和两条直线的位置关系例1⑴两直线3ax-y-2=O和ax+y—a+3=0分别过定点A、B，则|AB|=.【解析】取直线3ax—y—2=0恒过定点A（0，-2），直线ax+y-a+3=0恒过定点B（l，-3），则|AB|=y（0-1）コ+（-2+3）』車.（2）“m=ード是“直线mx+（2m-l）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）A・充分而不必要条件B•必要而不充分条件C•充要条件D・既不充分也不必要条件【解析】选ん若m=—I，则两直线的斜率乘积为ー;X3=—I，所以两直线垂直，则充分性满足.若两直线垂直，则有3m+m（2m—1）=0,得m=0»或m=—1，所以不一定得m=—1，则必要性不满足,综上知选A.

5探究二圆的方程及直线与圆的位置关系例2⑴若圆C与直线x-y=O及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=O上，则圆C的方程为()A.(x+1)+(y—1)=28.(x-1)+(y—1)=2C.(x—1)+(y+l)=2£>.(x+l)+(y+l)=2【解析】选C直线x—y=0与x—y—4=0的距离为さ=2蛆，因为圆与两直线相切，所以2r=2g，|qaゝ!即圆的半径为r=\2.因圆心在x+y=0上»所以设圆心为(a，—a)»则gJr1>即|a|=|a-2|，解得a=l，即圆心为(1，-1)，所以圆的标准方程为任一1尸イ2+(y+1)2=2，选C.(2)若直线y=kx与圆(x—2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为()A•k=2，b=-4B-k=I，b=4C-k=J，b=4D-k=—；，b=-4【解析】选A.因为直线y=kx与圆(x—2『+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则y=kx与直线2x+y+b=0垂直，且2x+y+b=0过圆心»所以解得k=；，b=-4，选A.(3)已知直线x+y—k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点»且有|6X+的ユ坐而，那么k的取值范围是()A.(小，+8)B.1^2，+°°)C.[^2，2^2)Dm，2y[2)

6【解析】选c.当|OA+丽尸岸|AB|时，〇，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA=OB，NAOB=120°，从而圆心〇到直线x+y-k=O（k>O）的距离为1，此时k=a;当k»れ时|OA+而|>坐|届|，又直线与圆x?+y2=4存在两不同交点，故k<2，5，综上k的取值范围为［啦，2小），故选C.探究三对称问题例3（1）直线2x+lly+l6=0关于点P（0，1）对称的直线方程是（）4•2x+lly+38=OB-2x+lly-38=OC-2x-lly-38=OD-2x-lly+16=0【解析】选8.（2）一条光线从点（一2，一3谢出，经y轴反射后与圆（x+3/+（y—2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A•ー黑ー,---或喊域---BCD【解析】选D利用直线与圆的位置关系建立等式求解.|-3k-2-2k-3|由已知，得点（一2，-3）关于y轴的对称点为（2，-3），由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（2，-3）,设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y+3=k（x—2），即kx—y—2k—3=0.由反射光线与圆相切，则有d=解得k=ーラ或k=ース，故选D.探究四直线与圆的综合问题7）（tGR-rWO）为圆心的圆与x轴交于点〇、A，与y轴交于点〇、B'其中0为坐标原点.(1)求证:△048的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若，求圆C的方程.(3)若r>0I当圆C的半径最小时,圆C上至少有三个不同的点到直线Z：y—y[2=k(x一3

7一啦)的距离为ヨ，求直线/的斜率k的取值范围.【解析】⑴;圆C过原点0’.•.0ピ=*+怖'则圆C的方程为(X-ガ+Q一存)=*+('令x=0'得ji=0，〉2=7;令y=0得X]=0'X2=2z,即A(2t'0)'B(0'y)'114：.S^OAB=yDAX08=习スX|2/|=4.即△048的面积为定值.(2Y：\OM\=\ON\-\CM\=\CN\，.•.〇C垂直平分线段MN.■:kMN=—2，:・koc=]..*.y=2z»解得(=2或•=—2.当r=2时，圆心C的坐标为(2-1)-半径OC=ホ，此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=宝く木，即圆C与直线y=—2x+4相交于两点.当t=~2时，圆心C的坐标为(一2，-I)，半径OC=小.此时圆心到直线y=—2x+4的距离メ=左，即圆C与直线y=-2x+4不相交，：.t=~2不合题意，舍去..,.圆C的方程为(スー2)2+。ー1)2=5.(3)半径。C=ヘル2+彩帀=2.当且仅当时取等号，"〇,;」=帀.此时圆心坐标为C(V2，啦)，半径为2.若圆C上至少有三个不同的点到直线ハy-&=A(x—3一6)的距离为当3则圆心C到直线的距离d/.【P48】对称问题是近几年高考中的热点，它主要分为中心对称和轴对称两种.解此类问题要把握对称的实质，掌握其解题方法，提高解题准确性和解题的速度.常见的对称问题有:(1)中心对称|x=2a-X\①若点”但，シ)与点N(x，y)关于点P(a，の对称，则由中点坐标公式得へ,[y=2b-y]②直线关于点的对称，其主要方法是:在已知直线上取两点，利用中点坐标公式分别求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出ー个对称点，再利用ム〃ん，由点斜式得到所求直线方程:或利用点尸到直线ム、ム的距离相等求解.（2）轴对称①点关于直线对称

8若两点自⑺，%）与点P2（x2，竺）关于直线Z：Ar+By+C=O对称，则线段P,P2的中点在对称轴/上，而且连接修、P2的直线垂直于对称轴，，由方程组A-+8」］ベ:+c=o_,ー,」,,22可得到点Pl关于，对称的点P!的坐标（应づ2）（其中AWO，由ゝA（yi-=B（xi-x2）②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况:ー是已知直线与对称轴相交，可先求出已知直线和对称轴的交点A，然后再求出已知直线上任意一点（4点除外）关于对称轴的对称点B，最后用两点式由A、B两点求出对称直线:二是已知直线与对称轴平行，利用所求直线与已知直线平行，可先设出直线方程，再利用两直线到对称轴的距离相等确定所求直线.

9ゆつ.高考回眸【P48】考题1[2018•全国卷HI]直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，则4ABP面积的取值范围是（）4•[2,6]B.[4>8]C-[y[2'3烟D.[2也>3^2]【解析】选A.•.•直线x+y+2=0分别与x轴，y轴分别交于A>B两点，，A（-2，0）>B（0，-2），，|AB|=26，•.•点P在圆（x-2-+y2=2上，.•.圆心为（2，〇），设圆心到直线的距离为山，12+0+21则5=ユー近_[=2也，故点P到直线x+y+2=0的距离d2的范围是[啦，36]，则S^bp=||AB|d2G[2>6J.【命题立意】本题主要考查圆的几何性质，点到直线的距离公式，三角形面积公式的应用.考题2[2018•全国卷H]设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线1与C交于A，B两点，|AB|=8.（1）求1的方程;（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.【解析】⑴由题意得F（1，0）-1的方程为y=k（x-l）（k>0）.设A（xi，y。，B（x2，y2）.y=k(X-1)CCCrッ，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.ジ=4x2,,.2k2+4△=16k-+16>0，故xi+x2=k2.4k〜+4所以|AB|=|AF|+|BF|=(Xi+1)+(X2+1)=-^—.4k2+4由题设知ピ=8，解得k=-l（舍去），k=l.因此1的方程为y=x—1.（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=x+5.设所求圆的圆心坐标为（Xo，yo），则，yo=_x（）+5，

10(Xo+1)2(yo-xo+i)2一+16，解得,x0=3，yo=2，或,Xo=ll'ゝyo=-6'因此所求圆的方程为（x—3）2+（y—2-=16或（x-1l）"+（y+6）2=144.【命题立意】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系，意在考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力及方程思想的应用，考量的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.‘ル）考点限时训练"133】A组基础演练1.设直线厶:2x—my—1=0，厶:（小一l）x—y+1=0，则“m=2"是'’厶〃，2”的（）A•充分不必要条件B•必要不充分条件C•充要条件D•既不充分也不必要条件【解析】选C.由于两直线方程中的常数项之比为ーI，所以两直线平行的充要条件是上マ=牛ナ一1.由泳二TT得m（m—1）=2，解得m=2或m=-1.当m=-i时»两直线重合，所以机W-1.故“机=2”是“ム〃ら”的充要条件.2・[2018•北京卷]在平面直角坐标系中，记d为点尸（cos9，sinの到直线スーのー2=0的距离，当ク，机变化时，d的最大值为（）A-1B.2C-3D.4【解析】选C.Vcos20+sin20=}>：.P为单位圆上一点，而直线x~my~2=0，过点A（2，0）•所以イ的最大值为04+1=2+1=3，选C.3•已知圆x2+y2—2%+小ー4=0上两点M，N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（）A-9B.3C.2小D.2【解析】选B.根据圆的几何特征，可知直线2x+y=0经过圆的圆心（1，ー?,将圆心坐标代入直线方程解得m=4，即圆的方程为x2+y2—2x+4y-4=0，配方得（x-D2+（y+2尸=9，故圆的半径为3.

114若圆x2+y2—4x—4y-10=0上至少有三个不同的点到直线/：ax+勿=0的距离为26，则直线/的倾斜角的取值范围是（）A.五，彳B.庁ミ

12【解析】选B.圆j^+y2—4x-4y—10=0整理为（a-2）2+0-2）2=（3陋）2，ユ圆心坐标为（2，2）•半径为3&，要求圆上至少有三个不同的点到直线八以+处=0的距离为2啦，则圆心到直线的距离应小于等于啦，エワ;苗訳ヤ，二（f）+4（§+lW0，.•.一2ー/W修）W-2+小，k=—（ミ），.ゝ2一くえく2+小,直线，的倾斜角的取值范围是»ポ"，选B.5•已知点A（2，3）-B（—3，-2），若直线，过点P（1，1）与线段AB相交，则直线/的斜率人的取值范围是（）A・42ぷBス《セW23C•女22或えWスD.kW2【解析】选C.3-46,两条平行直线1\：3x+4y—4=0与る:nx+8y+2=0之间的距离是【解析】1由直线厶:3x+4y—4=0与/2：or+8y+2=0平行可得。=6，所以ら的方程为3x+4y+l=0，故两条直线间的距离J=.5,=1.a/32+427•若PQ是圆x2+y2=9的弦，且PQ的中点是（1，2）-则直线PQ的方程是.【解析】x+2y-5=0.jx2+y2=9，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=H+b，联立1[y=kx+h，整理得（1+ド）/+2助i+辰一9=0.设尸（即,yD，0（x2，ア2），財+26=4，解得ス=ー与，故直线PQ的方程是y—2=—[。ー1），即x+2y—5=0.8•[2017•江苏卷]在平面直角坐标系xの中，4（一12，0）-8（0，6）点尸在圆〇:X^+y2=50上.若皮•丽ぐ20，则点P的横坐标的取值范围是【解析】[-5也＜1]设P(x，y).因为むく20，所以(-12-x>(-x)+(-y>(6-y)W20，化简得(x+6『+U

13一3尸〈65.又ア+》2=5〇，所以i2x-6y+30<〇，故点P的轨迹为劣弧CE，由图可知，点P的横坐标的取值范围为い。，Xc].f2x—y+5=0，联立〈2,2消去y，得ド+4x—5=0»解得ス=—5或ス=l，即紀=1，は+y=50»又因为ゆ=一56，所以点P的横坐标的取值范围是[-5蛆'1].9•在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为26，在y轴上截得线段长为2小.(1)求圆心户的轨迹方程;(2)若点P到直线y=x的距离为ザ，求圆P的方程.【解析】⑴设尸(x，y)，圆P的半径为r.则メ+2=ノ，f+3=J..,.ア+2=f+3，即-ーイ=1.点的轨迹方程为>2ーメ=1.(2)设P的坐标为(即，州)，n.ko—yolV2.,则スす=ケ,即は)一兆l=l..*.y0-x0=±l・即兆=即±1.(i)当y0=x0+1时，由yl~x^=1得(x()+l)2ー君=1.|Xo=O>.•・くユノ=3.l.vo=1'.•.圓尸的方程为f+u—1)2=3.(ii)当yo=xo—1时，由ぜー/=1得(沏ー1尸ー君=1.fxo=O，.,・イAr=3.lyo=-1，.•・圆户的方程为メ+(y+l)2=3.综上所述，圆P的方程为ズ+0±1)2=3.10•已知两圆G：x2+y2+4x-4y-5=0，C2：x2+y2—8x+4y+7=0.(1)证明此两圆相切:(2)求过点P(2，3)-且与两圆相切于点711,0)的圆的方程.【解析】(1)两圆的方程可分别化为C,:(x+2)2+(y-2)2=13，G(一2，2)，り=回;C2：(x-4)2+(y+2)2=13，C2(4，-2)，セ=43.

14...圆心距|C|C2l=2回=り+r2，即两圆外切.⑵设所求圆的方程为C3:(x-a)2+(y-b)2=n.V7I1'〇)在G，C2，C3上,/.圆心(な，わ)在直线GG：y=—§(x—1)上，•・,み=-g(q—1).①又由|。3尸l=IG7b得(〃一2)'+(とー3尸=(〃ー1)?+/.②由方程①②，解得a=-4，〃=毕，rj=(a-l)2-bb2=^~，故所求圆的方程为(x+4『+(y-果=笋.B组能力提升11.已知直线x+y—1=0与圆$+ザ=。交于A，8两点，。是原点，C是圆上一点.若OA+OB=OC，则”的值为.【解析】2由4，B，C均在圆上，且OA+OB=OC，知四边形04cB为菱形.又|灰:卜如，所以圆心到直线x+y—1=0的距离等于年，即ホ=坐，解得a=2.12•已知圆(x+1)+デ=4的圆心为c，点P是直线ム小ーy—5ル+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得/CPQ=30°，则实数m的取值范围为.r121【解析】［。，5.因为圆(/+1)2+y2=4的圆心为C(一1，0)，半径为2、若点尸是直线，:"优ーy—5"?+4I—m—5〃エ+4|12=0上的点，在该圆上存在点。使得/CPQ=30°，所以ーー尸耳一〈4，解得。く加くマ，ヽ!『浦+1J故实数m的取值范围为［〇，y.13•设ワ，〃CR，若直线/:〃!x+〃y—1=0与x轴相交于点4，与y轴相交于点B，且/与圆f+y2=4相交所得弦的长为2，0为坐标原点，则△408面积的最小值为.【解析】3利用半径、弦长的一半及弦心距的关系求解.由题意知，A(~'0在直线的距离为小，，圆的半径为2，且，与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所

15且S-=鼎開=|靑卩靑7=3,即△408面积的最小值为3.1472。17・浙江卷］如图，已知抛物线ス2=y，点A（ーき，，8（|，f），抛物线上的点P（x-y）'ーテ5ラ过点B作直线AP的垂线»垂足为Q.（1）求直线AP斜率的取值范围;⑵求解|・|PQ啲最大值.41【解析】（1）设直线4P的斜率为k»则k=j"=xーテx+^因为ーデなラ，所以直线AP斜率的取值范围是（一1»1）.（2）联立直线AP与BQ的方程解得点。的横坐标ヤ=火9-41-43-2ーK+4什32（卩+1）因为1必|=71+バ（*+9=71+ズ（&+1）,|PQ|=Y1+バ（ス〇一め=（k—1）（ん+1）所以|以卜|尸。1=ー伏ー1）伏+I）3.令/（4=一（ん-1）（ん+1）3，因为/（%）=一（4ん一2）伙+1尸，所以ズん）在区间（一1，号上单调递增，在区间（ラ，り上单调递减»因此当ん=ス时，|啊・|尸。|取得最大值正.第13讲圆锥曲线方程及几何性质眇コ专题探究【P49]【命题趋势】圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇在ー起进行命题，综合性强，体现了在知识的交汇点处命题的原则，新课标全国卷有关圆锥曲线模块的命题一般是“一大两小”，以2道小题考查圆锥曲线的定义，离心率，标准方程以及几何性质，其中有关双曲线的考查大都是客观题，以一道解答题（大题）的某小问在直线与圆锥曲线位置

16关系的情境中考查圆锥曲线方程的求法.而解答题一般涉及椭圆或抛物线.预计高考对本节知识的考查体现在:圆锥曲线内部综合，即以选择题、填空题的形式考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，特别是求圏心率、焦点关系等.以解答题形式考查主要是解答题的第一问，求最值及过定点问题.【备考建议】圆锥曲线的几何性质一直是高考命题的热点内容之一，小题与解答题均有考查，往往具有信息量大、思维量大、运算量大的特点.复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握ー些解方程（组）的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;而且要求考生要有不怕困难的精神，良好的心理品质，细心认真的态度，有较强的运算能力.要善于观察、发现题目的特点，根据圆锥曲线各基本量的几何特征，运用数形结合，分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化等思想方法简化计算.探究ー圆锥曲线的定义及应用例1⑴已知点P是抛物线y?=2x上的ー个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）8.3C.y[5【解析】选A.依题设P在抛物线准线的射影为P'，抛物线的焦点为F，则F（|>0）'依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离|PP，|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PH+|PA|2|AF|='Je）+22=平.故选4.

17(2)已知椭圆う■+誉=l(00，b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2，焦距为2c，直线y=当(x+c)与双曲线的ー个交点P满足/PF2Fi=2NPFF2，则该双曲线的离心率为()A.巾B.小C,+10.^3+1【解析】选D易知/PFF2=30°，ZPF2F)=60o•AZF1PF2=90">.-.|PF2|=c>|PFi|=，§c.由双曲线定义知2a=|PF||一|PF2|=(小一l)c，.ゝe=小+1.故选。.【点评】涉及到圆锥曲线上的点与焦点的距离一般用定义转化化简，最值问题须充分注意动点坐标的取值范围.探究二圆锥曲线标准方程及应用例2⑴[2017.天津卷]已知双曲线、一七=l(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐dD近线上，4OAF是边长为2的等边三角形(〇为原点)，则双曲线的方程为()*一わ=1吟一y2=l宀=1"1241D.x-3=,a=1>b=小，【解析】选D由题意得双曲线的渐近线方程为y=±V§x，c=2，(b=小a»メ―5解得.[c=W+ビ=2，...双曲线的方程为x2—¥=1.故选D(2)如图，椭圆ヨ+F=l(a>b>0)的左、右焦点分别为B，F2，过Fユ的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ丄PFi.(i)若|PF||=2+啦，|PF2|=2-<2，求椭圆的标准方程;（ii）若IPFQIPQI，求椭圆的离心率e.【解析】（i）由椭圆的定义，2a=|PF||+|PF2|=（2+熄）+（2一黄）=4，故a=2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF,±PF2>因此2c=|F,F2|=^|PF||2+|PF2p

187（2+72）2+（2一也）’=2小.即c=小»从而b=，a"一c〜=]，故所求椭圆的标准方程为ラ+y2=l.（ii）方法一:连接FQ，如图，设点P（xo，yo）在椭圆上，且PF|丄PF?，则孝+第=1'Xo+yo=c2'求得x（）=瑜a—-2b"yo=±".由|PFi|=|PQ|>|PF2|得x（）>0，从而|PF『=g£エ述+cj+，=2（a2—b?）+2ayaユー2b'=（a+^a^—2bつシ由椭圆的定义»|PF1|+|PF2|=2a，|QFイ+|QF2l=2a.从而由|PF]|=|PQ|=|PF2l+|QF2l，有IQFil=4a—2叫，又由PF|±PF2，|PF]|=|PQ|，知|QF]|=巾|PFi|，因此（2+陋）|PFJ=4a，即（2+巾）（a+-\Ja5-2b"）=4a»于是(2+啦)(1+/1-1)=4，解得।+烏Fリ]=加ー4方法二:连接F|Q，如图，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a-|QF||+|QF2|=2a.从而由|pFi|=|pqi=|pf2|+iqfイ，有|QF||=4a-2|PFi|.又由PF,±PQ'|PF||=|PQ|>知|QF[|=0]PF||，因此，4a—2喇=ヴ叫，得|PFi|=2(2ー出)a，从而|PF2|=2a_|PFi|=2a-2(2一班)a=2(，^-l)a.由PF|丄PF2，知|PF/+|PF2|2=|FiF2/=(2c)2，由ルc亚PF/+IPF/因此e=-=a2a7(272)2+(a/2-1)2=79_6也=#一小.

19探究三圆锥曲线几何性质及应用例3(1)设A，B是椭圆C：长轴的两个端点.若C上存在点M满足/AMB=120°，则m的取值范围是()A-(0-1]U[9>+0°)B.(0-a/3]U[9>+°°)C-(0-1]U[4-+~)。.(〇，木]U[4，+8)【解析】选A.若椭圆的焦点在x轴上，则有a2=3，b2=m(0则有a2=m(m>3)>b'=3，同理可得m>9.故选A.(2)[2018•全国卷H]已知R，F2是椭圆C：氏+g=l(a>b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为手的直线上，△PFF2为等腰三角形，NFF2P=120°，则C的离心率为()42ハ1G八1AラB，2ハ;【解析】选D因为△PFF2为等腰三角形，NFF2P=120°，所以PF?=FF2=2c，由AP斜率为晋得，MNPAF2=*，.ス加/PAF2cosNPAF2=V12V13由正弦定理得二sinNPAFっsinZAPF2例4已知椭圆C：&+E=l(a>b>0)的离心率ヒ=哗，原点到过点A(a，〇)，B(0，—b)dDZ的直线的距离是竽.(1)求椭圆C的方程:(2)若椭圆C上ー动点P(xo，yo)关于直线y=2x的对称点为P/X|，y。，求x；+yキ的取值范围.(3)如果直线丫=1«+1低会())交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值.ab+b-，解得a=4»b=2.【解析】(1)因班=当，a2-b2=c2，所以a=2b.因为原点到直线AB:乂ーミ=1的距离d=ad故所求椭圆C的方程为蛋+チ=1.（2）因为点P（xo，yo）关于直线y=2x的对称点为PG，y。，供宀2=-1，

20Ix0—X|“4y0—3x0所以《解得X|=亠^—，yp+yit^xq+xi3I2-2•3y（i+4x0y尸5•所以x,4-yi=xo+yo.22e2因为点P（x°，yo）在椭圆C:篇+,=1上，所以xi+y?=xo+yo=4+^.因为ー4くX。く4,所以4くx：+y彳W16.所以x；+y:的取值范围为[4，16].y=kx+l，（3）由题意《乂ユy2消去y，整理得（l+4k2*+8kx—12=0.可知△>0.『4=1设E（x2，y2），F（X3，y3），EF的中点是M（xm•圆锥曲线的定义是ー个重要考点，在解答题中有广泛的应用，对圆锥曲线定义的理解注意以下几点:①定义中对常数2a是有范围要求的，椭圆中要求2a>|FF2|，而双曲线中则要求2a<|BF2l.②抛物线定义中，定点F不能在定直线1上.③利用抛物线的定义解题是ー种重要题型，其实质是通过抛物线的定义实现ー种转化，即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化.④用圆锥曲线的定义求轨迹方程是ー种重要的方法.2・圆锥曲线标准方程及应用①求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定位，后定量”.所谓“定位”，是指确定类型，也就是确定焦点所在的坐标轴，从而设出相应的标准方程的形式：“定量”就是指利用待定系数法求出方程中的a\b\p的值，最后代入所设的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.②根据圆锥曲线的方程求基本量时必须先把方程化为标准方程的形式再进行求解计算.Ym）,…X2+X3—4k・・・1则Xm—2一]+4k2,丫乂ーkxM+1-]+4居所以kBM=,：：2=-±所以xM+kyM+2k=O.-4kk1\[2区1+4ピ+1+4ゼ+【点评】圆锥曲线的几何性质是指:范围、对称性、顶点坐标、"a，b，c，p”的几何意义及相互关系.

21③椭圆的标准方程中aWb，应特别注意这ー条件，若a=b，则方程表示圆.3•椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开放程度，求解圆锥曲线离心率是高考的热点.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题设结合椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参量c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.4•与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种方法:（1）利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围;（2）把参数作为一个函数，求出函数解析式，通过讨论函数的值域求参数的范围.5•解决圆锥曲线的最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.若题目的条件和结论能体现ー种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.考题1[2018•全国卷I]已知双曲线C：j-y2=l，0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若AOMN为直角三角形，则|MN|=（）3从ん【解析】选8因为双曲线,ーブ=1的渐近线方程为y=q，x，所以/MON=60°.不妨设过点F的直小线与直线丫=争交于点M，由ふOMN为直角三角形，不妨设/OMN=90°，则/MFO=60°，又直线MN过点F（2，0），所以直线MN的方程为y=ー小（x-3），所以|OM|=所以|MN|=小|OM|=3，故选B.【命题立意】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与直线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.考题2[2018•全国卷1H]设F|，F2是双曲线C:キーぎ=l（a>0，b>0）的左，右焦点，〇是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线唾足为P.若|PB尸&|OP|，则C的离心率为（）A.小B.2C.ホD.y[2【解析】选C.V|PF2|=b-|OF2|=c，二|PO|=a.在/?rAPOF2中，cos9~|ofj=c:

22,.,在APFiF2中，cos6='|PF2|2+|F1F2|2~|PF1|2b2•IPF2卜IFRIcb2+4c2—(#a):2b•2c【命题立意】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.女ン考点限时训练【P135】A组基础演练1.[2017•天津卷]已知双曲线ラー卓=l（a>0，い0）的左焦点为ド，离心率为啦.若经过F和尸（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）r2V2DピーJD8厂】【解析】选B.由离心率为贬知该双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为y=ir.又・.•过ド和P（0，4）的直线与双曲线的渐近线平行，，c=4，a=b=2、[5.故选B.2•已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则れPF。的面积为（0为坐标原点）（）A-8B.4C-2D.1【解析】选C.由抛物线定义知，点尸（4，±4）-则△PFO的面积为2.故选C.3•椭圆E:5+キ=1的右焦点为ド，直线尸x+机与椭圆E交于A，8两点.若△"8周长的最大值是8，则相的值等于（）A-0B.1C.小D.2【解析】选B.设椭圆的左焦点F，则△硼B周长=ん/+8尸+ム8くんド+8尸+ん尸+8尸’=4。=8，所以a=2，当直线AB过焦点尸（一1，〇）时，△布8周长取得最大值，所以0=-1+胆，所以1.故选B.4・对于抛物线y2=4x上任意一点。，点P（a，〇）都满足|尸Q|力同，则a的取值范围是（）A•（一8，〇）B.（一8，2]C・[0,2]D.（0-2）【解析】选B.设点Q的坐标为（ナ，レ））.由|PQ|2|a|，得|PQ|22メ，即髭+（ヨーJ2a2，整理，得%尻+16—8〃）2〇.•./2〇,.•・す+16一8心〇,即aW2+で恒成立,而2+当的最小值为2，.•.a<2，故应选B.

235•双曲线ラーレ1（40）的一条渐近线方程为尸合，则。=..【解析】5令ラーう=0,得双曲线的渐近线方程为y=±^x,•.,双曲线タ一"]=l（a>0）的一条渐近线3方程为y=fx».\a=5.6•若F（c，0）为椭圆C:チ+*=1（。>み>0）的右焦点,椭圆C与直线、+チ=1交于A,B两点，线段A3的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为.【解析】1•.,直线二+尸1在X，y轴上的截距分别为3，〇），（0，6），所以ん（a，0）>8（0，か，又线nc段A8的中点在直线x=c上，所以c=]即e=-=ス.7抛物线メ=2pH）>0）的焦点为ド，其准线与双曲线"ーM=1相交于AB两点若△48尸为等边三角形，则p=.【解析】6由x2=2py（p>0）得焦点F（0,2）,准线/为y=-2,所以可求得抛物线的准线与双曲线苧ー号=1的交点A（ー卫与卫",一回，バ1乎2,一§,所以|AB|=S2+p",则|Afl=|AB|=，T2+p2，所以聶=siny’即石春ス=乎’解得P=6.8•已知P是椭圆・+]=1上一点,O、R分别是圆（x+4）?+y2=ラ和。ー4）2+ブ=（上的点，贝リIPQI+IPR啲最小值是.【解析】9设8、ド2为椭圆的左右焦点，则ん、ド2分别为两已知圆的圆心，则|尸0+阀|乂1尸尸11一号+（附21ーり=呻+附21—1=9，故应填9.9・设ド1，尸2分别是椭圆C:5+齐=1（。メジ0）的左，右焦点，”是C上一点且M&与x轴垂直，直线MF｛与C的另ー个交点为N.（1）若直线MN的斜率为ス，求C的离心率;

24（2）若直线MN在），轴上的截距为2，且|MM=5|QN，求。，ん【解析】（1）根据c=11一あ及题设知»今）,由h/N=ス得2b-=3ac.将h2=a1-c2代入2ど=3〃c，解得，ラ。=一2（舍去），故c的离心率为;.（2）由题意，原点0为ド|ド2的中点，ル尸2〃メ轴，所以直线MFi与y轴的交点£）（0，2）是线段M人的中点，12故一=4，即kr=4a.①由|M/V|=5|QM得|QQ|=2尸iM.I2（—c—X\）——c，设M'i，乃），由题意知为＜0，则イしVi=-L代入C的方程，得若+表=1.②将①及c-g2代入②得9（“4ゴ"）+亲=1，解得a=7，b2=4a=2S，故a=7，b=2币.10•已知抛物线C：/=2px过点P（1-1）,过点（0，タ作直线I与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线。尸，ON交于点A，B，其中。为原点.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程:（2）求证:A为线段8M的中点.【解析】⑴由抛物线C:ブ=2川过点p（l，ロ，得p=］，所以抛物线C的方程为y2=x，抛物线C的焦点坐标为《，〇），准线方程为x=—（2）证明:由题意，设直线，的方程为丁=に+/&W0），，与抛物线。的交点为M（jq，乃），N（x2，"）•一12得4必メ+（软ー4）x+1=0，.y2=x则X\+X2=\-k

25因为点尸的坐标为（1，1），所以直线。尸的方程为），=ス，点A的坐标为（曲，曲）.直线ON的方程为了=さ,点、B的坐标为（国，サ”）因为カ+型!—应+)2屈—2X]X2X21X2(2k—2)え]应+1(m+xDX2\—k⑵—2)x4p+-2p-=0>ス2所以m+第=2xi.故A为线段的中点.B组能力提升11.若双曲线メーI=1的离心率为小，则实数/n=【解析】2因为a=11b=＞/m'所以c=*\/l+m，所以ピ=：=5+加=巾，解得m=2.12•[2018•北京卷]已知椭圆M:ち+/=l（a＞比＞0），双曲线N:今ー当=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为ー个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为.双曲线N的离心率为【解析】小ー1，2由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+yfic,再根据椭圆定义得c+yf3c=2.（i,所以椭圆M的离心率为ー=]।—1.双曲线N的渐近线方程为y=Jx，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为£，ユ生tan司=3〃ブ+ガノガ+3ノガ13•已知点4（1，1），点E（-2，〇），点尸是圆F：（x-2）2+y2=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交ド尸于点M，点M的轨迹记作曲线C，N为曲线C上任意一点，则|NA|+|NP|的最大值为.【解析】皿+12由题意得曲线C方程为う+モ=1，故点E（—2，0）为曲线C的左焦点，|NA|+|NP|W|M4|+|NF|+6=|M4|+6-|NE|+6く|£4|+12=恒+12.14•定义:若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆G与椭

26圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆G:も+か=13>。>0）的长轴长是4>椭圆C2:涼+ラ=1（胆>〃>0）短轴长是1，点~，ユ分别是椭圆G的左焦点与右焦点.（1）求椭圆G，C2的方程;（2）过Fi的直线交椭圆C2于点M，N，求△&"ル面积的最大值.【解析】（1）设椭圆C[的半焦距为c，椭圆的半焦距为d.由已知a=2>b=m<〃=]ゝ・椭圆Ci与椭圆CZ的离心率相等，即ラ=*，.ー旅、/"ーガy/m2.\-=»bm=b1=an=\，.•・人=〃7=1，atn：.椭圆G的方程是ラ+/=1，椭圆C2的方程是y2+y=1:4（2）显然直线的斜率不为。，故可设直线的方程为:x=my一事.联立:，得y?+4（めー由）2—1=0，l>r+4x=1即（1+4〃/）/-8ホめ+11=0，エ』=192オー44（1+4疗）=16オ-44>0，设M（X|，yi），N（X2fJ2）*nl丄8也〃，11则州+竺=]+4才，弘力=中常’hj3-0*"?十卡|s+胆♦♦|MN=2Y1+〃バ]+4オ,△F?MN的高即为点ド2到直线Z:x—my+小=0的距离h=ハ,ムテ‘1ryJ4m：.△RMN的面积S=RMNlh=2F-ハ2z1"r4tn•・・木〃/-11+マアテ=22叶菱=4小，等号成立当且仅当マ4〃?二"H==，即m=：，即△尸ユA/N的面积的最大值为ヨ.

27V*第14讲直线与圆锥曲线的位置关系题探究(psJ【命题趋势】1•本部分考查的知识点主要是直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦、弦中点、直线与曲线的切线等问题，有些问题还涉及到代数、几何、三角函数、平面向量等多方面的知识.2・题型多以解答题为主，由于考查的知识点较综合，所以难度也较大.3•预计在今年的高考中，对本节的考査仍是热点.主要以解答题形式综合考查直线与圆锥曲线位置关系的判定、求参数取值范围及求最值等问题，难度较大.【备考建议】1•复习直线与圆锥曲线公共点个数的问题，ー是转化为直线方程与圆锥曲线方程的方程组的解的个数:二是数形结合.在用方程组解的个数问题研究曲线交点个数时，应注意分类讨论的数学思想的应用，如对直线的斜率是否存在，方程中二次项系数是否为。，方程根的符号问题等.2・直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看，可以分为三类:无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(1)复习直线与圆锥曲线的相离关系时，常通过求曲线上的点到已知直线的距离的最大值和最小值来解决.(2)直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切;对于双曲线，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线平行;对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行.(3)直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.探究一直线与圆锥曲线位置关系的判定与应用例・!⑴直线y=kx—k+1与椭圆，+ラ=1的位置关系是.【解析】相交由于直线y=kx-k+l=k(x-l)+l过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.(2)直线1；y=k(x—出)与曲线x2—y2=l(x>0)相交于A、B两点，则直线1倾斜角的取值范围是()

28A.[0，")【解析】选A因为曲线x?—y2=l(x>0)的渐近线方程为y=±x'若直线1:y=k(x—陋)与曲线x2—y2=l(x>0)相交于A、B两点，则k<—1或k>1，而直线1的斜率存在»所以(/»-y-^U(f’汩，故选B.【点评】一般遇到直线与双曲线的位置关系时，注意结合其渐近线分析求解.x2导例2(1)已知直线1和双曲线年ーケ=1相交于A，B两点，线段AB的中点为M.设直线1的斜率为k|(k仔〇)，直线OM的斜率为k2，则k,k2=()-C-&A【解析】选。.由题意可设A(xi，yウ、B(X2*y2)»则点M的坐标为トヨ二,一.ハ)♦又点A在双曲线上,又由创甘=[,得y仁和ー9),同理イ=双—9),因为k尸告ポ,k2ザ烹,I22q(X2—9)—Q(X1—9)X+XiY2~yi.9、,9ゝ!4,=FJ=22=a,故选Dx2+xiX2—XiX2—Xi9⑵直线3x-4y+4=0与抛物线x?=4y和圆x?+(y—1)2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则懈的值为()IしA-16B.rrC.4D.tlo4【解析】选A[3x—4y+4=0，由イつ得x2—3x—4=0'[x,=4y・・・Xa=-1，xd=4'直线3x—4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0'1)»/.|AF|=yA+l=!?|DF|=yD+l=5，.|AB|_|AF|-1_1・「CD厂|DFL「16.收心匕探究二中点弦问题22匹例3已知椭圆ス+9=l（a>b>0）的ー个顶点为B（0，4），离心率e=与，直线1交椭圆于a.DJM、N两点.

29（1）若直线1的方程为y=x-4，求弦MN的长;（2）如果ふBNIN的重心恰好为椭圆的右焦点F）求直线1方程的一般式.【解析】（1）由已知b=4>且m=專，即ヨ=J,a2—r2122~~=ミ，解得22=20，エ椭圆方程为ラ;+ヒ=1；ajzuio由4x2+5y2=8O与y=x—4联立，消去y得9x2—40x=0'.*.xi=0，x.=g，.••所求弦长|MN|=.1+12|X2—xi|=（2）椭圆右焦点F的坐标为（2，0）>设线段MN的中点为Q（x0>y0）'由三角形重心的性质知BF=2而，又B（0，4），•*•（21—4）=2（x0—2，yo），故得x0=3>y0=—2，求得Q的坐标为（3，-2）;设M（xj»yi）»N（X2，、が则xi+x2=6，yi+y2=—4»唸+涉1I計3ー以上两式相减得（X|+X2）2O（XLX2）+W+y2）］6（yLy2）=0,..yi-y24X|+x24_66••kMN=xI-x2="5^="5^4=5,故直线MN的方程为y+2=|（x-3）-即6x~5y-28=0.【点评】中点弦问题求解有两种方法，一是联立方程组，利用根与系数的关系求解;二是“点差法”.本题用的是第一种.探究三弦长问题例4在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和.⑴求点P的轨迹C；（2）设过点F的直线1与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值.【解析】（1）设点P的坐标为（x，y），则d=4Q（x—3）2+y2+3|x—2|=x+18,①由题设当x>2时，由①缺/（X—3）?+y2=6一，②化简得证+台=1.当xく2时由①得（3-X）2+y2=3+x，③

30化简得y2=12x，故点P的轨迹C是椭圆Ci：氏+多=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1.B（2，-2乖），直线AF，BF的斜率分别为kAF=-2^/6，kw=2y［（>.当点P在Ci上时，由②知|PF|=6一夕.④当点P在Q上时，由③知|PF|=3+x.⑤若直线1的斜率k存在，则直线1的方程为y=k（x-3），（i）当kWkAF，或k》kBF，即k《一2黄或k22加时，直线1与轨迹C的两个交点M（x〕，y,）>N（x2，y2）都在CI上，此时由④知|MF|=6ーも，|NF|=6-1x2，

31从而|MN|=|ME+|NF|=（6—|x,+（6—%2）=12—ミ（x,+x2）»y=k（x—3）由,vy•关于相交弦的中点问题，常用到一元二次方程根与系数的关系，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用点差法找到两点坐标之和，直接与中点建立联系.得（3+4k2）x?-24k2x+36k?-108=0，则X）»xa是这个方程的两根，所区+27=1以27X]+X2=a,，，|MN|=12—｝（X|+X2）=12—さ、，因为kW—2加或k22加时*k2^24，门ハリハ12k2…121100MNI=12ー帀L一エアT当且仅当k=±2*\/^时，等号成立.（而）当kAF

322«弦长公式:lyi—y2l,结合根与系数的关系和一元二次方程根的判别式，与焦点弦长有关问题，要注意应用圆锥曲线的定义，如抛物线焦点弦长公式为X|+xz+p.3・直线与圆锥曲线的位置关系是高考热点，在解决有关中点、弦长、垂直、对称等问题时，常用到数形结合思想，设而不求法，弦长公式及根与系数的关系.高考回眸【P52】考题1[2018•全国卷I]设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（一2，0）且斜率为う的直线与C交于M，N两点，则FM・FN=（）A-5B.6C.7D.8【解析】选D'2ヽ22y=W（x+2），,通解:过点（一2，〇）且斜率为净的直线的方程为y=糸x+2），由，3得x2_»2=4x，fx=l»fx=4，5x+4=0，解得x=l或x=4，所以《或く不妨设M（1，2），N（4，4），易知F（1，レ=2ly=4，0）-所以FM=（O，2）-FN=（3，4），所以FM-FN=8.故选D.'222y=Q（x+2）’,优解:过点（一2，〇）且斜率为号的直线的方程为y=糸x+2），由イ,得x2-»2=4x，5x+4=0，设M（x：，y。，N（X2*yz）,则y）>0，y2>。，根据根与系数的关系，得x1+x2=5，X]X2=4.易知F（1，0），所以FM=（xl1，yi），FN=（X2—1，y2），所以FM-FN=（X]—1>（X2一l）+yiy2=X|X2-（x1+x2）+l+4^xp^=4-5+14-8=8-故选。.【命题立意】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积运算，考查数形结合能力、运算求解能力、考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.考题2[2018•全国卷IH]已知斜率为k的直线1与椭圆C:ラ+3=1交于A，B两点.线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.（1）证明:k<—I；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且邪+ホ+而=0.证明:|兩，|曲，|施|成等差数列，并求该数列的公差.[解析]⑴设A（xi»yi）»B（x2»y2）1则おヤ1'4+f=L

33ッギ妬・田ル刀ー也.須X|+x2丄yi+”.两式相威»并由J=k何-z-+J•k=0.X|一X2つb由题设知^^=1，"^=m，于是k=ー肃.①由题设得0|FP|=|.于是Iホ1=7（X|—1）2ヤオ=ヽ!（X|—1）ユ+3。ーm=2一年.同理|奇|=2一号.所以FA+FB=4—]（xi+x2）=3.故2|FP|=|FA|+|FB|>即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列.设该数列的公差为d，则2|d|=||FB|-|FA||=||x1-x2|=対（X|+X2）考点限时训练[P137]A组基础演练1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于4，8两点，且依阴=4，则这样的直线（）A♦有且仅有一条B,有两条C・有无穷多条D.不存在【解析】选A.•若双曲线をーさ=1（〃>0，シ>0）与直线产木x无交点，则离心率e的取值范围是（）A-（1'2）B.（1-2]C•（1，而D.（1'小]【解析】选B.因为双曲线的渐近线为y=Lx，要使直线y=小x与双曲线无交点，则直线y=小x应在—4X|X2.②将m=ス代入①得k=—1.所以1的方程为y=-x+1，代入C的方程中，并整理得7x?—14x+w=0.

34故X|+x2=2，X|X2=白»代入②解得13=所以该数列的公差为嶠或ー嚟.ZoZo【命题立意】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及等差数列的证明，考查数形结合思想，考査的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.

35两渐近线之间，所以有纟W#-即bW木a，所以ビく3巒•c2-a2^3a2，即c2W4a2，e2<4，所以l0）的焦点ド作斜率为ー1的直线,该直线与双曲线ラーア=l（a>0，b>0）的两条渐近线的交点分别为B、C，若な是XB与X/的等比中项，则双曲线的离心率等于（）A.小B.华C-2^2D栃【解析】选D.抛物线ザ=40¥（。>0）的焦点为F（a、0），双曲线的渐近线方程为y=±-x.b由题意,•Xf'即,解得セ=力,y=一（Xーの）4’解得X产由7a整理得a(a+b)=(a—b)，即b=3a所以c=e=：=qiO.故选D.4•过抛物线メ=2Pス。>0）的焦点ド的直线交抛物线于4，8两点，点。是原点，如果出冃=3»\BF]>\AF]，ZBFO=—，那么い冃的值为（）3C，2D,2【解析】选A.如图所示，令|AF]=x，由抛物线的定义知|8E|=3-x，所以，3r01-=cos60=z»3+x2解得ス=l.故选A.5•椭圆ax2+by2=!与直线x+y=l相交于A山两点，。是A3的中点，。为坐标原点，0C的斜率为四，则沙.

36【解析】当(点差法)令A(xi-yi)18(x2>y2),C(x0づ〇)，混+6裝=1，作差有a(xt—x2)(xi+X2)=-b(y\-y2)(yi+j2)'♦ー”a(m+x2)（2）存在符合题意的点.证明如下:设P（0，か为符合题意的点，Mg，凶），N（x2，”），直线PM，PN的斜率分别为ん，k2.将y=Ax+a代入C的方程，得x?—4ほ-4a=0.故X\+x2=4k»X\X2=—4a.,,yi—b,y2~b从而k\+k2=^—+ン一xX\x22kX]X2+（a-b）（x1+x?）k（a+fe）X]X2a当b=-a时，有鬲+k=0I则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，设40PM=4OPN，所以点P（0，一a）符合题意.8•已知曲线G上任意一点M到直线Z：x=4的距离是它到点尺1，〇）距离的2倍:曲线C2是以原点为顶点，ド为焦点的抛物线.（1）求Ci，C2的方程:（2）过F作两条互相垂直的直线厶，/2，其中ZI与G相交于点A，8，ん与C2相交于点C-D，求四边形4CB。面积的取值范围.【解析】⑴设M（x，y），则由题意有2ヽZ。ー1）—+メ=レー4|，化简得:；+?=1.故G的方程为ラ+餐=1，易知Q的方程为ザ=4工（2）由题意可设ん的方程为ス=妙+1，代入ア=4ズ得メー4"一4=0，设。（え】，M），。（工2，丫2），则乃+>2=4&，所以|CD|=|C/?|+|DF|=X]+1+汹+1=ん3+y2）+4=4（F+1）.因为ム丄ム,故可设ム的方程为y=—ん。ー1），代入]+==1得（4必+3）/—8ぜi+4ビー12=0，设A（%3，乃），8（必，%），则わ+ス4=4ズ+3，耐4=花+3，\AB\=yfT-H?yl~（用+工4）2—4即4=必ゝ+3），故四边形ACB。的面积为:s=M.m=斗詔1=含=如1+昌+2）=芥+チ+2）,（其中，=ゼ+121，s=4i—123）.11$2—1设“s）=s+ア$23），则/（s）=l—了=-l>0，故ズs）在[3»+8）单调递增»因此5=謳+チ+2）2

37謳+J+2）=8,当且仅当s=3即k=0等号成立.故四边彫AC8O面积的取值范围为[8，+8）.8•在平面直角坐标系xOy中，ー动圆经过点R，0）且与直线ス=ーヨ相切，设该动圆圆

38心的轨迹为曲线£（1）求曲线E的方程:⑵设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x-l尸+尸=1，求ふPBC面积的最小值.【解析】（1）由题意可知圆心至リ点6，0）的距离等于点到直线ズ=一ヨ的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为ザ=〃（2）解法一:设P（xo，%），B（0，か，C（0，c），直线PB的方程为:（比一6）x—x（）y+xめ=0，又圆心（1，〇）到PB的距离为1，的...\y\-b+xM{（yo-b'）丄+拓,整理得:（沏-2）b2+2y（）bー沏=0»同理可得:（沏ー2）J+2y（）c—沏=0，所以/;，c是方程（沏-2）ス2+2y0¥ー沏=0的两根，所以"c=言，い下依题意bc<0，即xq>2，则（b—c尸=4%+4）レ8ス0（的ー2）2所以|6-c|=沏ーZ14所以5=テ也ーcは）=（沏ー2）+^+428，乙ス〇ーz当x（）=4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.解法二:设尸（xo，加，直线PB：y—yo=k（x—xo）,由题知尸8与圆（スー1尸+ブ=1相切，则|Z:+yn—fcr（）|整理得:（京一九）ド+2（1—xo）y（）A+%—1=0，,,,_,2_（1ーM）_vo,,一-yo-lki+ki——2_9„，*^2—，依题意X（）>2，则网-yd=13）一品劭）-3）-&2沏）1=I舟ーな岛»又必一あ尸记二目,则晓一川=Iパ,所以5=う|・%一川区1=（沏ー2）+二三+428，当且仅当沏=4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.B组能力提升

398.直线尸%H与曲线・%=1的公共点个数为（）A•1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.数形结合法.9•已知点4一ヤ，0）点8（&，0）-且动点尸满足|别ー俨8|=2，则动点P的轨迹与直线y=©x-2）有两个交点的充要条件为ke.【解析】（-8,—1）U（1，+°°）由已知得动点P的轨迹为ー双曲线的右支且2a—2，c=j）则b=-\jc1—a2=l，所以尸点的轨迹方程为X2—y2=l（x>0））其一条渐近线方程为y=x.若尸点的轨迹与直线y=k（x—2）有两个交点，则需ス¢（一8，-1）U（1>4-0°）.10•已知动圆C过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）点A为直线Z：x-y-2=Q上任意一点，过4作曲线C的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标.【解析】（1）设动圆圆心坐标为C（x1y）,根据题意得イズユ+（y—2），=不ユ+4<化简得x2=4y.广=4y（2）解法一:设直线尸。的方程为ぎ=ほ+6,由'',消去y得ピ-4H—46=0.y=kx+b［xi+x2=4k设P（xi»yi）»Q（X2，丫2），则｛，且』=16ヒ+16人»ム1即=-4み以点P为切点的切线的斜率为ヅ=5|，其切线方程为yード［=ジ］（スー即），即%れ同理过点Q的切线的方程为y~X2X-^，设两条切线的交点为4ウ，丫ん）在直线スーy—2=0上，解得,X\+.V2あー［X\X2ルー4=2k，即A(2k，-b)1则:2た+b—2=0，即b=2-2k、-b代入［=16ど+166=16必+32—322=16伏ー1)2+16X)，P。1=マ1+ズは1ー对=441+プイズ+わ»［り»2।!।A(2k»—b)到直线PQ的距离为d=115.，・・・S/MPQ=』PQ|♦イ=4k+加，？+み=4(K+〃)g»

40当ん=1时，$△”0最小，其最小值为4，此时点A的坐标为（2ゝ0）.解法二:设ACx（），yo）在直线x—y—2=0上，点P（xj»力），QSり2）在抛物线メ=4y上，则以点P为切点的切线的斜率为ブ=&i，其切线方程为y—yi=5i（x—制），即），=スえ］ズー乃，同理以点Q为切点的方程为ア=ヨ必スーカ，{%=ジ阂ーyI，点尸，Q的坐标均满足方程先=产;〇ー%=夕2沏ー儿1うっy,即直线PQ的方程为:），=デメー为代人抛物线方程メ=4y，消去ザ可得:广ーカ冰+4），〇=0.・・・伊。テ1+;私।-x2|A（XoTo）到直线PQ的距离为d=，Saapq=う屮。卜d=1|髙一4y()|•4yo=1(xo-4y0)|=|(xo-4x0+8)|=|［（x0-2）2+4］1所以当№=2时，弘”。最小，其最小值为4，此时点A的坐标为（2，0）.

41第15讲直线与圆锥曲线的综合问题专题探究【P5』【命题趋势】有关圆锥曲线的轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、参变量范围问题和探究性问题是髙考命题的常见题型和基本问题，主要考查转化化归能力、推理论证能力、运算求解能力以及创新意识和应用意识，充分体现了数形结合思想，函数与方程思想.可以预测2018年的高考命题，有关解析几何的综合性问题仍将是轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、参变量范围问题、探究性问题和恒等证明问题中的两个或三个问题组合构建而成.’典例割析【P53】探究ー轨迹问题例1如图，已知两点A（ー小，0）、B（小，0）-AABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动.（I）求点C的轨迹方程；（2）过点M（2，0）作两条射线，分别交（I）中所求轨迹于P、Q两点，且而5•曲=0，求证:直线PQ必过定点，并求出定点坐标.【解析】（I）设れABC的内切圆切AB边于点D，则|CA|-|CB|=|AD|-|BD|=（V5+2）-（V5-2）=4<2a/5.所以，点C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点），其方程为ス-y2=l（x>2）.（2）设PQ:x=my+a（a>2），代入ラ-y2=l，得（m2—4）y2+2amy+a2—4=0.设Pg，yO、Q（X2，y2）,则yi+y2=_m2_4，yiy2=mi_4.因为MP-MQ=(X|—2)(X2—2)+y1y2=(myi+a—2)(my2+a—2)+yiy2=(m2+l)yiy2+m(a—2)(y,+y2)+(a—2)2=0所以，(m2+l)(a2-4)2am2(a-2)m2—4m-4F(a—2)2=0

42化简得3a2—16a+20=0＞解得a=2(舍去)或a=y.【点评】轨迹问题讨论的方法有很多，学习中要重视总结各种方法适用的条件特征，以便解题中灵活选用，解题中要注意避免轨迹方程不满足纯粹性与完备性的错误.探究二圆锥曲线中的定点、定值问题例2抛物线C：y2=2px经过点M(4•一4)，(1)不过点M的直线1分别交抛物线于A、B两点，当直线1的斜率为ラ时，求证:直线MA与直线MB的倾斜角互补.(2)不经过点M的动直线1交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线1是否过定点?如果是，求定点的坐标;如果不是，说明理由.【解析】(1)抛物线方程为y2=4x»设A(x)，yi)，B(x2»y2),.1,y="+m,[yi+y2=8'设直线1的方程是y=zx+m，由，2，得y~—8y+8m=0，く1[y2=4x[yiy2=8m，..,yi+4,y2+4444_(yi+y2-8)AMBMxl4X2—4y|—4y2—4(yj—4)(y2—4)'直线MA与直线MB的倾斜角互补.(2)设P(x,-y,)-Q(x2，y2)，以PQ为直径的圆过点M，则(xi-4)(X2-4)+(yi+4)(y2+4)=0'即惇一4)(亨一4)+(力+4)依+4)=0，化简，得y»2-4(yi+y2)+32=0，过PQ的直线为y=彳%(x+牛)卜4(yi+y?)-32、■(x-8)+4，恒过(8，4)点.【点评】定点问题实质上是ー个恒成立问题，解题中有可能先根据条件求出曲线的方程然后变量分离确定定点坐标，也可能先根据特殊情况求出定点位置，再证该定点符合普通情况.例3[2018•北京卷]已知抛物线C：y2=2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线1与抛物线C有两个不同的交点A>B-且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线1的斜率的取值范围;(2)设〇为原点，QM=XQO，QN=nQO，求证:卄;为定值.【解析】(1)因为抛物线y2=2px经过点P(1，2)•所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线1的斜率存在且不为〇，设直线1的方程为y=kx+l(kWO).シ=4x..由I得l?x2+(2k—4)x+l=0.ly=kx+l依题意A=(2k—4ア-4Xl?Xl>0，解得k<0或0

43从而kW-3.所以直线1斜率的取值范围是(一8，-3)U(-3，0)U(0-1).⑵设A(X|>y1)»B(x2»y2).,,.2k—41由(1)知，X|+X2=-k2，X1X2=p.直线PA的方程为y—2="~(x—1).X]-1—Vi+2-kxi+l令x=0，得点M的纵坐标为yM=へ+2=++2.ノX|-1X]-1—1同理得点N的纵坐标为yN=-+2.ノx2-1由QM=入QO，—y^i，|i=1—y^.所以丄+丄[,]XL1x2-1]2x]X2-(x]+x2)入M1-Ym1-Yn(k-1)Xj(k-1)x2k-1xjx22丄2k-41kユ十プ所以］+!为定值.【点评】解析几何中的定值问题是指某些几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关不依参数的变化而变化，而始终是ー个确定的值.)求定值问题常见的方法有两种:①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.探究三圆锥曲线中的最值问题、范围问题例4已知椭圆C:チ+g=l(a>b>0)，F|(一1，0)，F2(l，0)分别是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆C上，且/PF2F|=90°，△PFzFi的面积为ラ(1)求椭圆C的方程;(2)Q为椭圆C上异于左、右顶点的动点，4QF2F|的内切圆面积为Si，外接圆面积为$2，当Q在C上运动时，求ぎ的最小值.

441335【解析】(1)注意到c=l*SAPF2Fi=2F,F2•F2P=^=>PF2=2，故PFi=]<从而2a=PF|+PF2=a=2，因此b=小，椭圆方程为キ+'=1.(2)设/FiQF2=20，内切圆半径为r，外接圆半径为R._QF|+QF2-F|F22•tan6—tan0，R=FR2sin20sin20zR：1177r2Tar?0"sir?204szn40注意到cos20=QF；+QF：-FI盛2QB•QF212-2QF,•QF,62QF!-QFj=Qf77QF2_1>24(QB+QF2)即1一25泞02;nsi"20，从而学=4」e24，当且仅当QF|=QF2时取最小值.【点评】圆雑曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:ー是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.例5已知椭圆Ci:壬+E=l(a>b>0)的离心率为孚，P(一2，〇)是它的ー个顶点.过点PdDZ作圆C2：x2+y2=r2的切线PT，T为切点，且|PT|=啦.(1)求椭圆G及圆じ2的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线h，12，其中h与椭圆的另ー交点为D，12与圆交于A，B两点，求4ABD面积的最大值.【解析】⑴由a=21e=；=容得c=也，1b=ヤ，故所求椭圆方程为、+ミ=1.由已知有r=^/|PO|2-|PT|2=V2，圆C2的方程为C2:x2+y2=2.(2)设直线h的方程为y=k(x+2)，y=k(x+2)由%2y2得(l+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0，ほ+ケ=1.,_一8k2.2-4k2,・Xp+xD=]+2k2'乂Xp=-2'.ゝXD=]+2k2'I~~54\/1+k-|DP|=W+k2|xD-xp|=レ2k2,直线12的方程为y=-r（x+2）»即x+ky+2=0，IAB尸やーひ充尸^雷.11/2k2—2471+ビX/2k2~~2\l2k2—2.•.Saabd=2IAB||PD|=2X2^-[TF-下后=4黑中・=4ポーa+3=

454——0~.ヽ2k2-2+/、:vy/2k2~2当且仅当、2k2—2=也言ニラ，k=土乎时取等号.因此れabd面积的最大值为尊士【点评】求解参变量取值范围问题的常用方法:（1）构造不等式法:根据题设条件以及曲线的几何性质（如：曲线的范围、对称性、位置关系等），建立关于特定字母的不等式（或不等式组），然后解不等式（或不等式组），求得特定字母的取值范围.（2）构造函数法:根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围.（3）数形结合法:研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.探究四圆锥曲线中的存在性问题例6如图，直线1：y=x+b（b>0）-抛物线C：y2=2px（p>0）>已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线c上的点到直线1的距离的最小值为手.（1）求直线1及抛物线C的方程;（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线1相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为ki，k2，k3.问：是否存在实数X，使得し+k2=Xk3?若存在，试求出入的值;若不存在，请说明理由.【解析】（1）解法一:•.•点P（2，2）在抛物线C上，.，.p=l.设与直线1平行且与抛物线C相切的直线1，方程为y=x+m，|y=x+m，,，由イつ得x~+（2m—2）x+m〜=0，y=2xVA=（2m-2）2-4m2=4-8m，

46由A=0，得m=T，则直线1，方程为y=x+；.•.•两直线1、1，间的距离即为抛物线C上的点到直线1的最短距离，有得b=2或b=—1(舍去).••・直线I的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2—4k设点A、B的坐标分别为A(jq，yつ、B(x2，竺)，则ド1+九=ス，あ"=~マー=2x.解法二:••・点P(2，2)在抛物线C上，・・・p=l，抛物线C的方程为y2=2x.设N&，t)(tGR)为抛物线C上的任意一点，点N到直线，的距离为d=^—t+b2根据图象，有チーr+か＞0，.•.イ=志［(Ll)2+2b—1］，ーム母—心2みー1,2/?-13a/2•'GR'..”的双小值为寸’由ぷラ=4,解得b=2.因此，直线，的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x.(2),..直线AB的斜率存在且不等于。，ユ设直线AB的方程为y—l=A(x-2)，即y=日ー2A+1，(y=kx—2k+1»・k\一yi-2yi—22Ji+2由j2_ユ得如2—2y—4A+2=0，

477J2~2V2-222-初_2_区_-力+22/••k\+ん2='2(yi+.V2)+8力+2yz+2M及+2(yi+y2)+4,卢84)1+2丁+饭+4,\y=kx-2k+\>_2k+l4k-\由v=r+2付如=ぷ'加==4k-\2k+l3k-\-,マ2ん+[k-1••.ん+セ=2国因此，存在实数ス，使得ん+女2=乂3成立，且ス=2.【点评】解决存在性问题的解题步骤:第一步:先假设存在，引入参变量，根据题目条

48件列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）;第二步:解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在;第三步:得出结论.於つ一^规律总結【P55]1•解答有关轨迹问题时，关键是对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，将动点的几何特性用数学语言表述.求轨迹方程常用的方法有:①直译法;②定义法:③代入法;④参数法;⑤交轨法等.在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线的方程后应仔细地检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”逍遥法外，将其捉回.即整体部分问题探究.2"解析几何定值包括几何量的定值和曲线系（直线系）过定点等问题，处理时可以直接计算推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后再进行一般性证明.对于客观试题，通过特值法探求定值更能达到事半功倍的效果.3•求解最值问题常用方法是按条件建立目标函数，应用函数思想与方法求得目标函数的最值，同时也要注意运用“数形结合”及“几何法”求解某些最值问题.4・对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质（曲线的范围、对称性、位置关系等）构造参数满足的不等式，通过解不等式（组）求得参数的取值范围，或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域求解.5•存在性问题一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决.另外，有一种重要思维方式是解决本类问题的重要方法，即;先用特殊情况或特殊位置得到所求的值，再进行ー般性证明.高考回眸【P56】考题1[2018•全国卷【]设椭圆C:方+丫2=1的右焦点为F，过F的直线1与C交于A，B两点，点M的坐标为（210）.（1）当1与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设〇为坐标原点，证明;ZOMA=ZOMB.【解析】⑴由已知得F（1，0），1的方程为x=l.所以AM的方程为y=—或y=-y[2.（2）当1与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°.当1与x轴垂直时，〇M为AB的垂线平分线，所以NOMA=NOMB.当1与x轴不重合也不垂直时，设1的方程为y=k（x—l）（kWO），A（x）'yi）'B（x2，y2），则x,<<2>x2

49将y=k(x—1)代入さ+y2=l得(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0.4k22k2—2所以，X|+X2=^甲,X凶=吸甲.贝リ2kxiX23k(xI+X2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2kTl从而kMA+kMB=O，故MA，MB的倾斜角互补.所以/0MA=NOMB.综上，ZOMA=ZOMB.【命题立意】本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质、直线与椭圆的位置关系、证明等角，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.考题2[2018.浙江卷]如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A-B满足PA，PB的中点均在C上.（1）设AB中点为M，证明:PM垂直于y轴;2（2）若P是半椭圆x2+^=l（x<0）上的动点，求4PAB面积的取值范围.【解析】⑴设P（x（）’yo），A（！y：，yj，B（|y；，y2）.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以yi，y2为方程か+X0,即y?-2yoy+8x（）—y：=0的两个不同的实数根.所以yi+y2=2y（）.因此，PM垂直于y轴.（2）由（1）可知jyi+y2=2y0>lyiy2=8x0—yo*所以|PM|=g(y；+y；)—xo=¥-3xo，ly「y2|=2，i(yo-4xo).因此，APAB的面积I3Sapab=2lPM|-|y1-yzl=4(yL4x())5.因为x"ヨ=l(x()v0)，所以yo—4xo=-4xo~4x0+4e[4»5].因此，Z\PAB面积的取值范围是[砧，22ドJ【命题立意】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

50療3‘2考点限时训练"139】A组基础演练1.已知Q，尸2分别为椭圆C：，+W=l的左、右焦点，点尸为椭圆C上的动点，则△PQF2的重心G的轨迹方程为（）A.^+ぞ=l（y#O）B.寺+ブ=1。之0）C.告+3y2=l（y#O）D.f+チ=lgo）【解析】选C.依题意知F,（-l，0）-&（1，〇），设尸（沏，先），G（x，田，由三角形重心坐标关系可得（_xp-1+_1IX—3，（Xo=3x922q2く即｛"代入ヨ+ヰ=1，得重心G的轨迹方程为*+3ブ=10ホ0）.选_laUo=3y，4'4U-3'C.2•过ザ=2px⑦＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点、，则磊+焉为定值，这个\iVIr\|/vrI定值是（）A•pB.2pC，2d]【解析】选D.取特殊位置验证即可知.•双曲线ラー5二心。，比⑼的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A（1,+°°）B,（l,ホ）C.0，5）D.（4，+°°）【解析】选B.•已知椭圆Ci:富+方=1（〃]＞加＞0）与双曲线Q:セーキ=1（の＞。，岳＞0）有相同的焦点R，B，点P是两曲线的ー个公共点，白，の分别是两曲线的离心率，若PQ丄尸&，则4と+/的最小值为（）59A，2B.4C，2D.9【解析】选c.由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为26，双曲线实轴为2a2，令尸在双曲线的右支上，由双曲

51线的定义|尸死|ー仍尸2|=な2，①由椭圆定义俨アバ+|P尸2尸加1，②又・.■尸ド1丄2ド2，.•.|Pド『+|。ド2|2=4。2，③①2+②2,得『居『+『&|2=2决+2裙，@将④代入③，得/+诏=2,2，2I2_4c2C2_4（后+。今df4-612..4约十/一瓦十る一2庫+2aT5,2。，居、5,…盛点97-2+方+应る+2y苕•秋一2・选仁5•M是椭圆キ+才=1上的任意一点，Q、b是椭圆的左、右焦点，则眼品|•|MF2|的最大值是.【解析】9方法一:设M（xo，加，由焦半径公式得附ド1|財ユ1=（。+的）（。一甑）=メーeユ焉く整=9.方法二:|“ス|+財产21=2。，w理+IMBI丫ー2_o\MFi\♦|A/F2|^r2J=a-9.6•已知ド为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2（其中。为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是.レ化;【解析】3设直线的方程为ス=〃y+m（如图），ん（两，乃），Bルつ2）&2＜。勺1），・•・〇AO8=2，••・え］应+丫げ2=2.又,£=ス2'•・・丫ば2=-2.（y2=x»联立，得yーり一m=0，［x=ny+m，・・・yげ2=一か=一2，•••加=2，即点MQ，0）.又Sz\46o=SziAMo+S48Mo=引OMIyil+/|OMIy2l=yi—y2,S△"0=す。FHy|=尹］，

52••.5刖8。+5ム"。=乃一"+物=對+ユフ2マ菊|•エ=3'当且仅当あ=ヲ时，等号成立，7•如图，抛物线E:メ=2〇山け＞〇）与圆〇:d+y2=8相交于ス，8两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P（x0，州）作圆〇的切线交抛物线E于C，0两点，分别以C，。为切点作抛物线E的切线厶、ち，ム与厶相交于点M-（1）求p的值:（2）求动点M的轨迹方程.【解析】（1）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2）-代入y2=2px,解得p=l.⑵设翁,州）,力や0,ツ手0・切线厶:y=lL号）+»，代入y2=2x得ぜ-2y+2yI一匹=0，由J=0解得ん=丄，y\:.lA方程为y=*+，，同理，2方程为产わ+校，レーダ+号产テ联立〈・，解得〈,‘I尸ダ+チ［尸ザ・:CD方程为为r+y（）y=8，其中即，为满足/+協=8，沏£［2，2啦］，..j/=2x-2'+”一部联立方程イ得的ア+2v〇リー16=0,则く［耐+9=8，-^乎,代入〈x—2可知M（x，y）满足代入君+诏=8得る-ブ=］，考虑到的£［2，2例，知冋ー4，一2例.2・，・动点M的轨迹方程为^-ザ=1，ス£［—4，一2ヤ］.8•已知椭圆さ+メ=1，Q,ユ分别是椭圆的左右焦点，c为半焦距，P为直线x=2上一点，直线尸Q，PF2与圆ス2+メ=1的另外一个交点分别为M，N两点.（1）椭圆上是否存在一点。，使得な?若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由:（2）求证:直线MN恒过一定点.

53【解析】⑴存在，设。点坐标为（沏，先），由酝1•qf2=o，故（一1ー沏»—yo）-（l-x0»—yo）=O，得An+yo=1，又。在橢圆上»解得x（）=0，№=±1，故。（〇»±1）.（2）设P（2，。，直线PR:y=*+l）,由I§得:（9+广X^+Z/x+r2—9=0.f+ブ=1ム9一・/9-f26tヽ故s甲マお，布丿，同理M存［,布丿’.レ__4/_•2，故直线MN方程为メ=+』+1'故直线MN恒过一定点,〇）.9•设抛物线C的方程为メ=4y，M为直线Z：y=—皿か＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线AM，MB，切点分别为A，B.（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，8三点的圆的标准方程，并判断直线，与此圆的位置关系;（2）当m变化时试探究直线，上是否存在点Mイ吏MA丄MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由.【解析】⑴当M的坐标为（0•一1）时，设过M点的切线方程为y=依ー1，代入f=4y，整理得x?—4ほ+4=0，①令』=（4k）2—4X4=0，解得ん=±l，代人方程①得ス=±2，故得4（2»1）»3（—2,1）.因为A/到A8的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，5三点的圆的标准方程为メ+&-1）2=4.易知此圆与直线y=-1相切.（2）设切点分别为A3，め）、B（x2つ2），直线，上的点为A/（x0，加，过抛物线上点A。1，力）的切线方程为y—y\=k（x—x｝）»因为x彳=4y］，k=彳，从而过抛物线上点A。［，m）的切线方程为y—y］=^2（x—x\）»又切线过点A/（x0，加，2所以得先=*0一手’即X；—2xg+4yo=〇.同理可得过点8（X2，丫2）的切线方程为JV2-2X（^2+4y0=01

54因为kMA=^'且ゐ’X2是方程メーさメ+4yo=0的两实根,（xt+x2=2xo•y.r,从而，イ所以如4.如产づXゴ=泗,当yo=-1，即机=1时，直线，上任意一点M均有MA丄M8，当为ナー1，即，"W1时，M4与MB不垂直.综上所述，当山=1时，直线/上存在无穷多个点M，使AM丄MB，当m^X时，直线/上不存在满足条件的点M.B组能力提升10.设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，M是线段Pド上的点，且|PM=2|M冃，则直线OM的斜率的最大值为（）Aセ展「立D1【解析】选C.11•已知为、尸2分别是双曲线/ーア=1的左、右焦点だ为双曲线上一点过F|作/吊尸尸2的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（）A•椭圆B,双曲线C•圆D.抛物线【解析】选C如图，过ル作/尸，尸2的平分线的垂线，垂足为，，交PFa的延长线于G，则PF\=PG，FiH=GH，而PF「PF?=PG-PF?=F2G=2a，，G点的轨迹是以ド2为圆心，以2a为半径的圆.因此代为定点，G为动点，QG的中点”亦为动点，设”点的坐标为（x，y），ヌム，刀）.’-c+x\x2(X]=2x+c»则m即vv_li,3=2y，1y-2*而(即一cy+y；=4t?，/.(2x+c-c)2+(2y)2=4a2即f+y2=a2为圆，故选C.12•抛物线y2=4x的焦点为ド，点尸为抛物线上的动点，若4(一1，0)，则闇的最小值为.【解析】噂由题意可知，抛物线的准线方程为X=-1，4(一1，0)，过P作PN垂直直线X=-1于N，由抛物线的定义可知尸ド=PN，连结附，当网是抛物线的切线时，总有最小值.y=k(x+1)

55设在以的方程为:y=A(x+l)，所以イ2，[y=4x解得:ゼズ+(2炉ー4)x+ド=0，所以/=(2好一4)2-4&4=0，解得k=+l，所以/NB4=45°，\PF]ハ皿一出解厂cosNNハー2-13•如图，已知椭圆ヨ+£=1(“»>0)过点(1，乎)，离心率为坐，左、右焦点分别为居、F2.点尸为直线ムx+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PQ和尸尸2与椭圆的交点分别为4、8和C、。，0为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程:(2)设直线尸ス、Pユ的斜线分别为舟、6⑴证明:(ii)问直线/上是否存在点P，使得直线04、OB、OC、OD的斜率kOA.kOB.koc.kOD满足kOA+kOB+koc+koD=0^若存在，求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，说明理由.【解析】⑴椭圆方程为ミ+y2=l.(2)⑴设点尸的坐标为(沏，儿)，沏+死=2，

56rtl13xo+13（劭ー1）4—2xo2（2—xo）则丁ー1=-===k\k2yoyoyoyo（ii）设A（x]»yi）»B（x2，竺），C（x3つ3）‘り（々つ4），2后ー2め-1+2片\y=k\（x+1）へ,r,—4后由イ2I2得，（1+2后）f+4后工+2居ー2=0»X|+x2=,1o/2，X\[x+2y=21+2畐力”ki（X］+D鬲（应+1）2kl七十Mx\x21ー后0-3.V4b（X3—1）,k2（x4—1）2k2冋理ユ+Q=+=・一，X3x4x3x41-后由koA+kon~^~koc~^~koD=0，p2ki2b2_（舟+た）（1ー攵法2）n仔,］一后十］一后一（1ー给（Lゐー。,••・e+ル2=0或1一舟ん2=。.当鬲+%=。时，点P的坐标为（0，2）;13当1—え水2=0时，结合厂一厂=2得ん2=3或ん2=—1（舍），K\K2此时点尸的坐标为综上，点尸的坐标为（0，AB-xi~x2—-b(乃+")'又X|4-x2=2xo-y\+y2=ly0，岫c=乎，.函,q_¥)、区byobxq26•在直线y=-2上任取一点Q，过。作抛物线メ=4y的切线，切点分别为4、B，则直线AB恒过定点.【解析】(0，2)设Q(f»-2)，Ag，力)，B(x2'y2)'抛物线方程变为y=1x2***67，则y=%，则在点A处的切线方程为y—yi=p：i(x—X|),化简得，y=；xix一力，同理，在点8处的切线方程为y=^x2x~y2.又点Q"，一2)的坐标满足这两个方程，代人得:-2=ジイーあ,—2=ら2，ーゝ2，则说明A。]，力)，8(X2つ2)都满足方程ー2=&f—y，即直线AB的方程为:y—2=^tx，故直线A8恒过定点(0，2).2

577•在直角坐标系ズの中，曲线C：y=ポ与直线ムy=Jtx+a(a>0)交于M，N两点.(1)当と=0时，分别求曲线C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P，使得当セ变动时，总有/OPM=NOPN?说明理由.【解析】(1)由题设可得M(2-\[a,a)'N(-2y[a，0)，或M(-2y[a，a)1N(2y[a，a).又ブ=さ，故y=，在ス=2ル处的导数值为W»曲线C在点(23，の处的切线方程为y^a=y/ci(x-2\[a)»即W%-y-a=0.在ス=—26处的导数值为ーg，曲线C在点(一2g，々)处的切线方程为y^a=-y[a(x+2\[a)»即Wx+y+〃=O.故所求切线方程为或ズーy—。=0^y[ax+y+a=O.