数模讲稿刘畅[1]

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数学模型概述第一页，共六十五页。

1提纲什么是数学模型数学建模比赛数学模型的分类如何建立数学模型北京诺亚数模公司第三页，共六十五页。

2什么是数学模型简单的说，数学模型就是将实际事物抽象到一种数学形态。北京诺亚数模公司数学形态？公式、算法、决策方案等等枯燥？第四页，共六十五页。

3什么是数学模型生活中的数学模型例子：北京诺亚数模公司恩，我去找你吧，半小时到你楼下我们出去吃饭吧？半小时从何而来？因为你的大脑为此建立了一个简单的数学模型，告诉你需要半小时T=Tdota+Dota还要10分钟结束T电梯+T走路坐电梯需要约5分钟，并是个随机函数走路需要约15分钟，由速度估算得到数学模型第五页，共六十五页。

4什么是数学模型生活中的数学模型例子：北京诺亚数模公司结果，你40分钟才到，迟到了10分钟模型存在误差！！！Why？误差分析：误差在10分钟之内的概率为95%！数学形式：P(20

5什么是数学模型北京诺亚数模公司生活中的一个很简单的例子告诉我们，其实模型离我们并不遥远。我们的大脑本身就是一个建模机器，它会将一些事物进行抽象处理，并以模型的形式求解，只是平时我们并没有意思到这个过程罢了。第七页，共六十五页。

6数学建模比赛北京诺亚数模公司2005年:(A)长江水质的评价与预测问题(B)DVD在线租赁问题(C)雨量预报方法的评价问题2006年:(A)出版社的资源管理问题(B)艾滋病疗法的评价及预测问题(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题2007年:(A)中国人口增长预测(B)乘公交，看奥运，公交线路选择问题(C)移动公司收费方案问题(D)体能测试时间安排问题2008年:(A)数码相机定位问题(B)高等教育收费问题(C)地面搜索问题(D)NBA赛程的分析与评价问题2009年:(A)制动器试验台的控制方法分析(B)眼科病床的合理安排(C)卫星和飞船的跟踪测控(D)会议筹备中国数模赛近年赛题（CUMCM）：这些都是生活中的实际问题，看似和数学关系不大，但实际却需要建立精密的数学模型进行求解。第八页，共六十五页。

7数学建模比赛北京诺亚数模公司为什么要讲建模比赛呢？其次，因为各种数学建模比赛对模型的需求不同！我们需要找准评委的胃口。首先，很多人是冲着比赛来的，毕竟比赛有不错的奖励措施。第九页，共六十五页。

8数学建模比赛北京诺亚数模公司美赛：也就是美国大学生数学建模竞赛，分为MCM和ICM。MCM偏应用，ICM偏数学。这基本是我们能够参加最高级别的比赛了。时间约在春节左右。美赛虽说是美国比赛，其实参赛的80%是中国学生，不过论文还是必须要用英文的。第十页，共六十五页。

9数学建模比赛北京诺亚数模公司美赛：美国人的特点：注重创新性！！！新颖的模型、新颖的思路更容易获奖。重点！赛题往往没有明显的现成模型！如：登机、数独绝对不能抄袭！引用必须明确注明！第十一页，共六十五页。

10数学建模比赛北京诺亚数模公司国内赛：全国大学生数学建模竞赛（高教杯，CUMCM）全国大学生电工数学建模竞赛苏北赛、数学中国杯等。高教杯是国内最高赛事，获全国奖难度和美赛差不多，认可度很高。时间大概是9~10月。电工赛认可度稍微低一点，主要因为获奖难度偏低。时间大概是11月。其它比赛虽然为全国范围，但学校并不认可，奖基本没啥用，可以当练习赛。第十二页，共六十五页。

11数学建模比赛北京诺亚数模公司国内赛：原来国内赛的评委手中都会有所谓的标准答案，评奖比较机械。近些年不再有所谓的标准答案，但是其实评奖性质还是大同小异。经典模型容易获奖，创新模型则可能被一审就刷掉。原因：赛题会有较为固定的经典模型；注重考察学生对知识的掌握和应用，而非创新性。第十三页，共六十五页。

12数学建模比赛北京诺亚数模公司校赛：北京交通大学内部比赛。跳板类比赛，训练类比赛。主要是为了选拔参加全国赛的队伍，一二等奖能够公费参加高级别比赛。时间大概是4~5月。注重考察学生数学建模基本知识。基本上可以说是有固定模型的，就看大家如何使用模型、如何写论文。选对模型+标准论文格式=获奖。第十四页，共六十五页。

13数学建模比赛北京诺亚数模公司近几年赛题特点：(1)综合性：一题多解，方法融合，结果多样，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学科交叉。(2)开放性：题意的开放性，思路的开放性，方法的开放性，结果的开放性。(3)实用性：问题和数据来自于实际，解决方法切合于实际，模型和结果可以应用于实际。(4)即时性：国内外的大事，社会的热点，生活的焦点，近期发生和即将发生被关注的问题。(5)数据结构的复杂性：数据的真实性，数据的海量性，数据不完备性，数据的冗余性。第十五页，共六十五页。

14幽默时间北京诺亚数模公司我们该如何组队呢？古人云：男女搭配，干活不累！三男生？半小时后数模Dota三女生？半小时后数模八卦第十六页，共六十五页。

15幽默时间北京诺亚数模公司强烈建议：男女混合搭配！！！尤其是男生组，就算女生在队里是负责搞笑的，也最好有这么一个人。但是，绝对不要是男女朋友！！！切记！以上组队意见仅供参考，此建议还未通过理论证明…..第十七页，共六十五页。

16数学建模分类北京诺亚数模公司我们先来看看历年赛题分类！36个问题的从实际意义分析大体上可分为：工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。工业类：电子通信、机械加工与制造、机械设计与控制等行业,共有9个题，占25%。农业类：１个题，占2.8%。工程设计类:4个题，占11.1%。交通运输类：4个题，占11.1%经济管理类：5个题，占13.9%生物医学类：6个题，占16.7%社会事业类:7个题，占19.4%第十八页，共六十五页。

17数学建模分类北京诺亚数模公司从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法：几何理论、概率、统计(回归)分析、优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价等方法。第十九页，共六十五页。

18数学建模分类北京诺亚数模公司常见的模型（后续课程详细介绍）：初等模型；简单的优化模型；数学规划模型；微分方程模型；稳定性模型；差分方程模型；离散模型；概率模型；统计回归模型；马氏链模型；动态优化模型；第二十页，共六十五页。

19数学建模分类北京诺亚数模公司初等模型：如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能够达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构建和求解模型。衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。第二十一页，共六十五页。

20数学建模分类北京诺亚数模公司初等模型：其实数学建模并不需要多么高深的数学知识，而是注重我们的数学思维，将实际问题抽象成数学形式的数学思维能力。中学生一样能够建数学模型，而且并不一定就会比我们差多少。多数数学建模题目都可以通过初等模型来解决，只是遇到负载问题效果较差罢了。第二十二页，共六十五页。

21数学建模分类北京诺亚数模公司简单的优化模型：优化问题是我们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中，最常见的一类问题。比如：利润最大、效率最高、花费最低、风险最小……第二十三页，共六十五页。

22数学建模分类北京诺亚数模公司简单的优化模型：首先要有优化目标，我们称为目标函数；其次是决策方案有哪些，简单的说就是什么可变，什么不可变；最后是决策受到哪些条件的限制，我们称为约束条件。第二十四页，共六十五页。

23数学建模分类北京诺亚数模公司数学规划模型：稍微复杂一点的优化问题。决策变量更多；可行域更复杂；约束条件更多。第二十五页，共六十五页。

24数学建模分类北京诺亚数模公司微分方程模型：当我们在研究某些对象随时间（或空间）的演变过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时，通常需要建立对象的动态模型。微分方程主要就是列出当前的微分形式，用微分来表示对象的实时变化，从而达到推算未来形态的目的。也就是递推思想。第二十六页，共六十五页。

25数学建模分类北京诺亚数模公司微分方程模型：首先要根据建模目的和对象做出简化假设；其次根据对象的发展规律列出微分方程；然后求解微分方程；最后要将求解结果返回到实际问题之中，变成预测、分析、控制等。第二十七页，共六十五页。

26数学建模分类北京诺亚数模公司稳定性模型：对于某些实际问题，建模的主要目的并不是寻求动态过程每个瞬时的形态，而是研究某种意义下的稳定状态的特性。如：均值、相互依存等等。在万变中寻不变！！！第二十八页，共六十五页。

27数学建模分类北京诺亚数模公司差分方程模型：动态连续模型我们选择用微分方程方法建立，而当时间变量离散化后，则可以用差分方程建立动态离散模型。基本方法和微分方程类似。第二十九页，共六十五页。

28数学建模分类北京诺亚数模公司离散模型：确定性离散模型包括的范围很广，除差分方程模型外，用整数规划、图论、对策论、网络流等数学工具都可以建立离散模型。典型的如：排序问题、图论问题等。第三十页，共六十五页。

29数学建模分类北京诺亚数模公司概率模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型。通过使用随机变量和概率分布描述随机因素的影响。需要涉及分布密度、期望、方差等概率学基本知识。第三十一页，共六十五页。

30数学建模分类北京诺亚数模公司统计回归模型：如果客观事物内部规律复杂或人们的认识程度限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。典型：黑箱子！！！第三十二页，共六十五页。

31数学建模分类北京诺亚数模公司统计回归模型：有输入，有输出，但不知道中间是如何工作的。建立统计回归模型，分析输入和输出的关系。第三十三页，共六十五页。

32数学建模分类北京诺亚数模公司马氏链模型：已知现在，将来与历史无关，具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程，通常用马氏链模型。如：健康与疾病，基因遗传等第三十四页，共六十五页。

33数学建模分类北京诺亚数模公司马氏链模型：已知当前状态；状态间存在转移概率；下一时刻状态仅和当前状态和转移概率有关；第三十五页，共六十五页。

34数学建模分类北京诺亚数模公司动态优化模型：一种更复杂的优化问题，其优化目标仍然是一个数值，而优化策略是函数。随着时间或状态的变化，优化策略也将发生改变。比如：跑步的速度。第三十六页，共六十五页。

35数学建模分类北京诺亚数模公司模型按照形式的分类：理论推导模型，或叫公式形式模型仿真形式模型第三十七页，共六十五页。

36数学建模分类北京诺亚数模公司公式形式模型：我们一提到数学，往往首先想到的就是公式。复杂的公式推导、公式求解…..我们一提到数学模型，往往首先想到的也就是这种公式形式的数学模型。第三十八页，共六十五页。

37数学建模分类北京诺亚数模公司公式形式模型：比如：跑步模型：优化模型：第三十九页，共六十五页。

38数学建模分类北京诺亚数模公司公式形式模型：比如：跑步模型：优化模型：第四十页，共六十五页。

39数学建模分类北京诺亚数模公司公式形式模型特点：理论性强，由较为严格的推导得出认可度高实用性较低。因为理论推导过程中，需要做很多假设，需要忽略很多实际因素可扩展性较低。每次改变条件，需要重新做推导通常我们建的模型都是这种模型，书上讲的也多数是这种模型，评委认可的还是这种模型。第四十一页，共六十五页。

40数学建模分类北京诺亚数模公司仿真形式模型：仿真就是指模仿真实情况！仿真形式的模型，就是建立一个模型来模拟真实的情况，然后通过分析模型的输入输出，得出结论。第四十二页，共六十五页。

41数学建模分类北京诺亚数模公司仿真形式模型：在科技论文中，如果没有实测或仿真，论文就基本等于废纸。因为理论可行不等于实际可行！Why？仿真在高水平的研究中，地位很高，只有实测或仿真得到的结果，才会被认可。第四十三页，共六十五页。

42数学建模分类北京诺亚数模公司仿真形式模型：如何用模型模拟实际情况呢？将实际状态抽象成数学符号进行存储、运算、变更。比如：用经纬度坐标来标记位置；用数字来标记人的状态（0代表停留，1代表走路，2代表坐车等）。第四十四页，共六十五页。

43数学建模分类北京诺亚数模公司仿真形式模型：如何使用仿真形式模型呢？通过大量的数据输入，在模型中得到对应的数据输出，分析输入和输出的关系，分析模型的性质。比如对一个交叉路口仿真模型，输入100辆汽车，就可以得到这100量汽车通过路口的时间；如果分别输入200，300，400，500辆汽车，就分析路口的承受能力。第四十五页，共六十五页。

44数学建模分类北京诺亚数模公司仿真形式模型特点：实际性强，能很好的反应实际情况可扩展性强，添加、修改仿真条件都很容易理论性低，没有严格的理论推导，但是实际情况往往更能说明问题对模型的要求极高，仿真的结果完全取决于模型本身。如果模型偏差大，则所有结果将毫无意义公认度有待考证。往往专家们仅认可公认的仿真工具，会对你的仿真真实性产生质疑。第四十六页，共六十五页。

45数学建模分类北京诺亚数模公司公式形式模型和仿真形式模型：跑步：公式形式：v(t)与道路、风速等相关第四十七页，共六十五页。

46数学建模分类北京诺亚数模公司公式形式模型和仿真形式模型：仿真形式：使用矩阵表示位置和状态坐标时间速度阻力体能……第四十八页，共六十五页。

47数学建模分类北京诺亚数模公司公式形式模型和仿真形式模型：仿真形式：我们可以建立50名运动员的矩阵，模拟一次长跑比赛。公式形式模型很难做到这一点。在模拟比赛的同时，我们甚至可以分析战术，根据运动员特点制定不同的策略。但是，如果仿真模型存在漏洞，则所有的仿真结果都将没有意义。第四十九页，共六十五页。

48如何建立数学模型北京诺亚数模公司问题分析：将实际问题抽象，转化为可以表示的数学形式。模型的一些前提假设。假设会让模型变得简单化，建模往往就是一个将复杂问题简单化的过程；分析问题的目标。将问题的目标明确化、可视化。分析各种因素对问题的影响。抓住主要的影响因素，适当的忽略一些非主要因素，我们才能建立出模型。第五十页，共六十五页。

49如何建立数学模型北京诺亚数模公司模型建立：使用数学形式概括的来表达模型。模型就是某类实际问题的一种通解形式。因此，模型建立往往需要我们将实际问题高度抽象化。第五十一页，共六十五页。

50如何建立数学模型北京诺亚数模公司模型求解：将具体的问题带入带模型之中进行求解。模型的求解是一个将抽象模型应用于实际问题的过程。可以进一步为求解做适当的问题简化。很多实际问题是完全无法求解的，要通过假设使问题逐步可解。比如：忽略异常事件、使用简单函数等等。第五十二页，共六十五页。

51如何建立数学模型北京诺亚数模公司模型评价：分析模型的性能和优劣势。模型算法的复杂度；模型算法的稳定性；模型结果的可信性；模型的可扩展性；……第五十三页，共六十五页。

52如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：在不平的地面上，是否能够通过挪动将桌子放平。问题分析——假设：桌子四条腿一样长，桌腿与地面的接触可视为一个点，4点的连线呈正方形；地面的高度是连续变化的；地面相对平坦，桌子在任何位置至少有3个腿同时着地。第五十四页，共六十五页。

53如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：问题分析——抽象化：我们将问题抽象为，对任意的角度θ，ABCD四个点到地面的距离至少有3个为0，但是能否通过改变角度θ，使四个点到地面的距离都是0呢？第五十五页，共六十五页。

54如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：模型建立：我们用f(θ)表示A、C两点到地面的距离之和；用g(θ)表示B、D两点到地面的距离之和。f(θ)g(θ)为非负的连续函数。f(θ)和g(θ)至少有一个为0f(θ)•g(θ)=0初始状态f(0)=0,g(0)>0需证明θ,使得f(θ)=g(θ)=0第五十六页，共六十五页。

55如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：模型求解：f(0)=0,g(0)>0g(π/2)=0,f(π/2)>0f(θ)•g(θ)=0令h(θ)=f(θ)-g(θ)，则h(0)<0,h(π/2)>0，且h(θ)为连续函数。0~π/2之间存在θ0使得h(θ0)=0，即f(θ0)=g(θ0)又因为f(θ0)•g(θ0)=0，因此f(θ0)=g(θ0)=0第五十七页，共六十五页。

56如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：图形化直观解：第五十八页，共六十五页。

57如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：另一种模型：我们是否可以通过变换，将崎岖的地面看成平面，而将桌腿的长度看成变量呢？我们用符号来表示4角地面高度：可以认为3条桌腿是定长的，一条桌腿是变长的。变长桌腿的长度由地面决定，如果某个位置4条腿一样长，则说明放平了。第五十九页，共六十五页。

58如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：存在三种变换形式：固定一点的变换：固定对角的变换：固定三点的变换：桌腿长不变桌腿长不变D桌腿减少△x第六十页，共六十五页。

59如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：地面平面化：A点桌腿长L-A-C+B+D第六十一页，共六十五页。

60如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：地面平面化：B点桌腿长L+A+C-B-D第六十二页，共六十五页。

61如何建立数学模型北京诺亚数模公司经典模型实例：因此，当变长桌腿在A点时，其长度为L-A-C+B+D;而当变长桌腿旋转到B点时，其长度为L+A+C-B-D；所以，在旋转过程中，其长度必然有某时刻为标准长度L，此时桌子可以放平。所以，只要你敢想，就会有很多种模型！！！第六十三页，共六十五页。

62北京诺亚数模公司谢谢第六十四页，共六十五页。

63内容总结数学模型概述。主要是为了选拔参加全国赛的队伍，一二等奖能够公费参加高级别比赛。基本上可以说是有固定模型的，就看大家如何使用模型、如何写论文。与制造、机械设计与。优化问题是我们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中，最常见的一类问题。首先要有优化目标，我们称为目标函数。典型的如：排序问题、图论问题等。因为理论可行不等于实际可行。很多实际问题是完全无法求解的，要通过假设使问题逐步可解。问题分析——抽象化：。谢谢第六十五页，共六十五页。