黑龙江省大庆中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）Word版含答案

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2020-2021学年度高二下学期期中考试理科数学试题考试时间：120分钟；试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2..请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分）1．已知复数，则下列说法正确的是（）A．复数的共轭复数为B．复数的模为5C．复数部虚部为D．复数的实部为32．若复数z的共轭复数满足：，则复数z对应的点在（）A．第二象限B．第一象限C．第三象D．第四象限3．展开式中第6项的二项式系数为（）A．B．C．D．4．利用定积分的的几何意义，可得=A．B．C．D．5．衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为A．152B．128C．134D．1026．用反证法证明命题“设为实数，则方程至多有一个实根”时，要做的假设是A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根

17．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A．B．C．D．8．已知函数，则的单调减区间是（）A．B．C．D．9．的二项式系数之和为（）．A．B．27C．16D．10．个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为（）A．B．960C．720D．11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（）A．B．C．D．12．已知函数，则函数的零点个数是（）A．B．C．5D．4二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x2lnx+x，则f(x)在点处的切线方程为___________.14．定积分=__________.15．用长为24的钢条围成一个长方体框架，要求长方体的长与宽之比为31，则长方体的宽为____时，其体积最大.16．观察下面数阵：135791113

21517192123252729……………………则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是          三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22题，每题12分，共70分）17．选修4—4：坐标系与参数方程选讲已知直线的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线被曲线C截得的弦长．18．三棱柱中，是直二面角，，，且，为的中点．（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．我校对我们高二文科学生的记忆力和判断力进行统计分析，得如表数据．6810122356（1）请画出如表数据的散点图；（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为16的学生的判断力．

3参考公式：线性回归方程中，．20．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服药的共有55个样本，服药但患病的仍有10个样本，没有服药且未患病的有30个样本.（1）根据所给样本数据完成列联表中的数据；（2）请问能有多大把握认为药物有效？(参考公式：独立性检验临界值表概率0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828患病不患病合计服药没服药合计21．已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

422．已知函数.（1）若存在极值，求的取值范围；（2）当时，证明：.

5参考答案1．A【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2．B【分析】根据虚数单位的幂的运算化简后，根据共轭复数的概念写出z的结果，进而判定对应点所在的象限.【详解】，故z对应的点在第一象限.故选:B【点睛】本题考查虚数单位的幂的运算，共轭复数的概念，复数的几何意义，属基础题.3．C【分析】写出展开式的通项，然后将代入通项即可．【详解】由已知得通项为：，，故第六项的二项式系数为：．

6故选：．【点睛】本题考查二项式展开式的通项，二项式系数的求法．属于基础题．4．C【分析】由函数在区间上的图象是圆在第一象限部分的四分之一圆，再利用圆面积以及定积分的性质得出的值.【详解】由，两边平方得，即，所以，函数在区间上的图象是圆在第一象限部分的四分之一圆，由定积分的几何意义可得，故选C.【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分的值，解题的关键在于确定函数图象的形状，结合图形的面积来进行计算，考查分析问题的能力与计算能力，属于中等题.5．B【分析】根据数据找出规律,依次写出来即可.【详解】前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式:.所以该数列第16项为.故选:B【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6．D【分析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立.【详解】

7命题“设为实数，则方程至多有一个实根”的否定为“设为实数，则方程恰好有两个实根”；因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程恰好有两个实根.故选D【点睛】本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型.7．D【分析】写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【详解】解：∵时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，∴从到，等式左边需要添加的项为一项为故选D．【点睛】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．8．C【分析】对函数求导得，由即可求单调减区间.【详解】由题意，得：，∴：即，单调递减；故选：C.9．C【详解】由题意得二项式系数和为．选C10．B【详解】

8试题分析：两个女生必须相邻，捆绑，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，，所以不同的排法种数为：．考点：排列的应用．11．D【分析】取的中点，连接，可证平面，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的体积．【详解】解：取的中点，连接，因为，，所以，.因为平面平面，所以平面.设，所以，所以球的体积为.故选：【点睛】

9本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．12．C【分析】令，利用代数式法结合零点存在定理得出函数的零点，，，然后作出函数，直线、、的图象，观察三条直线、、与函数的图象的交点个数，由此可得出结论.【详解】令.①当时，，则函数在上单调递增，由于，，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得，.作出函数，直线、、的图象如下图所示：

10由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点.综上所述，函数的零点个数为.故选：C【点睛】思路点睛：求解复合函数的零点个数，步骤如下：（1）确定内层函数与外层函数；（2）求出外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数的交点个数，由此可得到原函数的零点个数为.13．【分析】根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可.【详解】，∴，又f（1）=1，∴f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为，故答案为：14．【解析】分析：先化简，再求定积分得解.详解：由题得=.所以.

11故填.点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函数.15．1【分析】设长方体的宽为，高为，则该长方体的长为，得出长方体的体积为，【详解】设长方体的宽为，高为，则该长方体的长为，所以有，则，即，因此该长方体的体积为，所以，当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；所以，即长方体的宽为时，其体积最大.故答案为：.【点睛】思路点睛：利用导数的方法求解函数最值问题时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性，求出最值，即可求解.16．549本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第9行有28个数，分别求出左起第1个数的规律，按照此规律，求出答案即可．【解答】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22−1第三行

124=22个数，且第1个数是7=23−1第四行8=23个数，且第1个数是15=24−1   …第9行有28个数，且第1个数是29−1=511，第2个数为513，第3个数为515，第20个数是511+2×(20−1)=549，故答案为549．17．（1）（2）【解析】试题分析：解：（1）由曲线得化成普通方程①5分（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程（为参数）②把②代入①得：整理，得设其两根为，则8分从而弦长为10分考点：参数方程，极坐标方程与直线与圆的位置关系点评：解决该试题的关键是将参数方程和极坐标方程化为普通方程，结合直线与圆的位置关系来求解，属于基础题．

1318．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）是的中点，就是和的交点，也为的中点，而是中点，因此由中位线定理有，这正是我们要证明线面平行所需的线线平行，由此得证；（Ⅱ）求二面角，一般用空间向量法，为此需要找到两两垂直的三条直线，从已知条件可证明两两垂直，以他们为轴可建立空间直角坐标系，由题设给出的线段长度写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，再求得两法向量的夹角的余弦，注意题中二面角是钝角，因此我们所求的余弦值就为负的．试题解析：（Ⅰ）证明：连接和，则也是的中点.∵为的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（Ⅱ）连接和.∵，∴.∵是直二面角，∴平面.∵，为的中点，∴,∴两两垂直，如图以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

14则，∴.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，则.同理，平面的一个法向量为.∴，结合图形可知，二面角的平面角是钝角，∴二面角的余弦值为.考点：线面平行的判断，用向量法求二面角．19．（1）散点图见解析；（2）；（3）8.9．【分析】（1）建立平面直角坐标系，描出各点即可；（2）利用题目所给公式代值求解；（3）将代入，求出的值.【详解】解：（1）散点图如图，

15（2）因为，，所以，则，所以关于的线性回归方程为；（3）由（2）可知当，得．所以预测记忆力为的学生的判断力为．【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解及应用，较简单.解答时，利用公式准确求解回归系数和即可.20．(1)患病不患病合计服药104555没服药203050合计3075105(2)97.5%.【解析】分析：(1)由所给数据可得服药但没有病的人，没有服药且患病的，从而可得到联表；（2）利用公式求得，与邻界值比较，即可得到结论.

16详解：(1)解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列联表（2）假设服药和患病没有关系，则的观测值应该很小，而由独立性检验临界值表可以得出，由97.5%的把握药物有效；点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）21．（1）；（2）存在；．【分析】（1）由椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求得，进而得到，确定定点，②当直线的斜率不存在时，验证成立，即可得到结论.【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切，可得，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，

17由，且，，假设轴上存在定点，使得为定值，则，要使得为定值，则的值与无关，所以，解得，此时为定值，定点，②当直线的斜率不存在时，，，，则，，可得，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值．【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22．（1）；（2）证明见解析.【分析】

18（1）先求导函数，再按和分类讨论即可.（2）先把要证明的不等式转化为，再构造函数，用导数探究函数的最小值大于0即可.【详解】（1），，当时，，则在上单调递增，无极值；当时，由，得.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.即在时取得极小值，所以若存在极值，则的取值范围为.（2）要证明，即证，由于当时，，只要证.设，则，设，则，所以在上是增函数.

19又，，所以存在，使得，即，.所以当时，；当时，，因此在上是减函数，在上是增函数，所以有极小值，也是最小值，且最小值为，因此，即.综上，当时，.【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.