曾谨严量子力学习题第九章

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1、第九章：定态微扰论[1]设非简谐振子的哈密顿量为：（为常数）取，，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。（解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式，从§3.3知道一维谐振子波函数是：，但（1）（2）但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而必定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：一级波函数修正值：据§9.1公式[12b]（3）微扰矩阵元要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于的一个递推公式（，问题2）：

2、（4）将此式遍乘，再重复使用（4）再将此式遍乘，重复使用（4）式=（6）利用公式（6）来计算微扰矩阵元：将（6）式中的换成代入前一式，并注意是正交归一化的，即是固定指标，故只有当取下述四值时不为零，即但要注意，当取用一个值时，就不能再取其他值，所以取定后的非零值是（7）式中某个的系数。（3）的求和是式只有四项。有：，，，（9）将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）二能级量本征值修正量：按二级近似式是（11）其中，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项：[2]一维无限深势阱（）

3、中的粒子受到微扰：的作用，求基态能量的一级修正。图345（解）本题是一维无简并问题，无微扰时的能量本征函数（1）能量本征值（2）对基态，计算能量的一级修正量时，因微扰是分段连续的，因而要求两个积分式的和利用定积分公式：（4）代入（3）；得附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K个激发态的一级修正：#[3]设有一个三维转子处于基态，转动惯量I，它沿转轴方向有一个电偶极矩现加上一个外电场，可以视作微扰，试用微扰论求能量二级修正值。图347（解）三维转子可看作哑铃

4、状或棒状体，回绕其中点0作三维的转动，位置由球极座标决定。由于点（棒一端）的矢径是常量，哈密顿符是：式中是转子轴长度之半，I是转动惯量（关于与棒身垂直的转轴），角动量平方算符，按，公式（29）（2）因此无微扰时，势能为零，而能量本征方程式是：（3）它的解是球谐函数：能量本征值是：（4）假定转子是电偶极子，电矩是D，则D=（电荷），同时加上沿方向的电场后，转子获得附加的偶矩电势能，作为微扰看待：（5）本题限于基态能量，但最低的能级相当于，当不存在微扰时，基态能量本征值二能量修正值：可以利用球谐函数的

5、递推公式在计算时可在上式中令得：（9）计算时，可在（8）式中，令得：（11）（球谐函数正交性）同理可证，等都是零。零阶能量代入（7）式（仅有一项）：本题中的球谐函数的递推公式（8）可参看课本附录四（）公式（37）、（38）等。#[4]平面内的转子，除了受到沿方向的均匀电场的作用外，还受到沿轴方向的均匀磁场的作用，试用微扰理论计算转子的能量。（解）平面转子可看作绕一固定点0转动的棒，可用棒与0轴间夹角定位，哈氏算符：（1）无微扰能量本征函数：（2）图350转子是一偶极子，它具有电偶极矩D，因而在平行

6、于0轴的电场作用下具有偶极势能：转子又在平行于轴的匀强磁场中运动，由于电荷的运动相当于园电流，而电流在磁场中具有磁势能，磁势能由磁距决定，磁距又与角动量成正比：磁距附加磁势能：（4）微扰算符（5）当微扰未加上时，转子的本征方程式如下：（6）从这里得到能量的本征函数：（7）本征值是：（8）由此可知不论磁量子数是何值，能量总是二度简并的，但能证明，在考虑能量一级修正量时，使用非简并微扰法和使用有简并微扰法二者的结果，对同一值是相同的，用非简并微扰法，先求矩阵元：这个式子可以用来计算一级和二级能量修正值

7、。对一级能量修正：（10）对二级能量修正值：从（9）式知道，只有二种值对于有贡献，即，（讨论）本题按照原理应当作为有简并的微扰问题处理，从（7）式可知相应于同一能级，对应于两个不同的本征函数：因此在考虑微扰时，正确的零级波函数应表示作：（11）代入有微扰的能量本征方程式以后，知道的非平凡解要求下述久期方程式成立：从矩阵元计算式（9），将代入，得又将代入，得要求另两个矩阵元，可以计算第一指标为-m的矩阵元，它可以从（9）式推得：此式中分别代入，得，久期方程式是其中与m对应的能量一级修正值是与非简并法

8、结果相同的。但是用非简并法未能得到与－m对应的一级修正值。#[5]一维谐振子的哈密顿为假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H’=1/2bx2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。[解]用非简并微扰法，计算微扰矩阵元：（质量记作μ）已知，能级本题中，（1）引用习题（1）所用的谐振子递推公式：(2)代入（1），再利用正交归一性。（3）再计算能量二级修正量，为此要计算指标不同的矩阵元，用（2）式：再利用谐振子零能级本征值公式（但）（4）因此用微扰法算得的，正确到二级修正