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长沙市一中2023届高三月考试卷(二)数学试卷时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则A.B.C.D.2.一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2,4,5,,11,14,15,39,4150,已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5,则的值是A.6B.7C.8D.93.设非零复数在复平面内分别对应向量为原点,则的充要条件是A.B.C.为实数D.为纯虚数4.如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和16,则容器内液体的体积是A.B.C.D.5.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有眼,阴鱼的头部有个阳殿,表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形,其中,则以下结论错误的是
1A.B.C.D.在方向上的投影向量为6.已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数,则的取值范围为A.B.C.D.7.设,则A.B.C.D.8.截角八面体是由正四面体经过适当的截角,即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体.如图所示,有一个所有棱长均为的截角八面体石材,现将此石材切削、打磨、加工成球,则加工后球的最大表面积为A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在正方体中,下列几种说法正确的有A.为异面直线B.C.与平面所成的角为D.二面角的正切值为10.已知函数,则A.函数的最小正周期为B.为函数的一条对称轴
2C.函数的最小值为1,最大值为2D.函数在上单调递减11.已知是抛物线的焦点,是抛物线上的两点,为坐标原点,则A.曲线的准线方程为B.若,则的面积为C.若,则D.若的中点在的准线上的投影为,则12.设定义在上的函数与的导函数分别为和,若,且为奇函数,则下列说法中一定正确的是A.函数的图象关于对称B.C.D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设多项式,则_____.14.与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是_____.15.用符号表示不超过的最大整数(称为的整数部分),如,已知函数有两个不同的零点,若,则实数的取值范围是_____.16.为双曲线的左、右焦点,过点且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点,若为双曲线上一点,的内切圆圆心为,过作,垂足为,则_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知的内角的对边分别为,满足(1)求角;(2)是的角平分线,若的面积为,求的值.
318.(本小题满分12分)设数列满足,且.(1)求证:数列为等差数列,并求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,.(1)求证:;(2)若为的中点,三棱锥的体积为,线段上是否存在点,使得二面角的大小为,若存在,求的值,若不存在,请说明理由.20.（本小题满分12分）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.(1)在试产初期,该款芯片的批次生产前三道工序的次品率分别为.①求批次芯片的次品率;②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进人流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为98%,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率;(2)该企业改进生产工艺后生产了批次的芯片.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片,并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访,对开机速度进行满意度调查.据统计,回访的100名用户中,安装批次有40部,其中对开机速度满意的有30人;安装批次有60部,其中对开机速度满意的有58人.依据的独立性检验,能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?附:0.100.050.0100.0050.001
42.7063.8416.6357.87910.82821.(本小题满分12分)已知椭圆过点,点为其左顶点,且的斜率为.(1)求的方程;(2)为椭圆上两个动点,且直线与的斜率之积为为垂足.求的最大值.22.（本小题满分12分)已知函数.(1)若的极小值为0,求实数的值;(2)当时,证明:存在唯一极值点,且.长沙市一中2023届高三月考试卷(二)
5数学参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACDBCBAB二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.题号9101112答案ABDBCBCDAC三、填空题13.54414.15.16.2四、解答题17.【解析】(1)由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,又,则;(2)由面积公式得,解得,又是的角平分线,则,故.,则.
618.【解析】(1)由已知得,即,是以4为首项,2为公差的等差数列.,当时，当时，也满足上式，所以(2).当为偶数时,当为奇数时,所以19.【解析】(1)三棱柱为直棱柱,平面.又平面平面,平面,所以.(2)平面,两两垂直,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系,设.
7,所以.易知平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,,所以,设,,则令,得,所以,二面角的大小为,则,所以(负值舍去),所以存在点,当时,二面角的大小为.20【【解析】(1)①批次芯片的次品率为②设批次的芯片智能自功检测合格为事件,人工抽检合格为事件,由已知得,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品为事件,.(2)零假设为:芯片批次与用户对开机速度满意度无关联.由数据可建立列联表如下:(单位:人)开机速度满意度芯片批次合计不满意10212满意305888
8合计4060100根据列联表得因此，依据的独立性检验，我们推断此推断不成立，即认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005.21.【解析】(1)由题意可知直线的方程为:,即,当时,解得,所以,椭圆过点,可得,解得,所以的方程:.(2)证明:设,由题意得直线斜率不为零,设,代入到椭圆,由得，即所以由,得,即,所以,所以,所以,化简得,所以或(舍去),所以过定点,
9为垂足,在以为直径的圆上,的中点为,又,所以的最大值为.即的最大值为.22.【解析】(1)的定义域为,当时,无极值.故.设的极值点为,则,易知为极小值点,且.则,令,设,则单调递减,且,故,解得.经检验,时满足题意,即实数的值为1.(2)的定义域为,当时,由(1)知,则,当时，单调递增，且，设，则,故在单调递减,即,所以,根据零点存在性定理,知存在唯一的.此时,,设单调递增,,则
10当时,单调递增,且,根据零点存在性定理,存在唯一的,此时有,由,可得:,所以时,,综上,当时,存在唯一极值点,为极小值点,且.
