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《选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用 同步练习（Word版含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
人教A版（2019）选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用一、单选题1．定义在上的函数其导函数恒成立，且，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．2．函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．3．函数在上的最大值与最小值分别为（ ）A．B．C．D．4．已知为自然对数的底数，为函数的导数.函数满足，且对任意的都有，，则下列一定判断正确的是（ ）A．B．C．D．5．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．6．已知，下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．试卷第4页，共4页
17．已知函数在上有两个零点，则a的取值范是（ ）A．B．C．D．8．函数y＝的最大值为（ ）A．e－1B．eC．e2D．109．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．10．若对任意的，且，则m的最小值是（ ）A．B．C．D．11．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）A．在内是增函数B．在内是增函数C．在时取得极大值D．在时取得极小值12．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）试卷第4页，共4页
2A．0B．1C．2D．313．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．14．函数在上的最小值为（ ）A．B．-1C．0D．15．若函数的极大值点与极大值分别为a，b，则（ ）A．B．C．D．二、填空题16．设函数，已知，且，若的最小值为e，则a的值为______.17．写出一个定义在上且使得命题“若，则1为函数的极值点”为假命题的函数__________．18．函数的单调递减区间为___________．三、解答题19．已知函数，其中.（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；20．已知，.（1）讨论单调性；（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.21．已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．22．已知函数.试卷第4页，共4页
3(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：.试卷第4页，共4页
4参考答案：1．C根据题意，设g（x）＝f（x）−3x，求出其导数，分析可得g′（x）<0，则g（x）在R上为减函数，又由f（1）＝3，则g（1）＝0，⇒⇒，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】解：设g（x）＝f（x）−3x，则g′（x）＝f′（x）−3，又由f′（x）<3，则g′（x）<0，则g（x）在R上为减函数，又由f（1）＝3，则g（1）＝f（1）−3＝0，则g（x）过点，且在R上为减函数，由得即，由于过点，且在R上为增函数，则必有故选：C2．A求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.【详解】由题意可知，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，.故选：A.3．A答案第15页，共15页
5利用导数法求解.【详解】解：因为函数，所以，令，得，当或时，，当时，，又，所以在上的最大值与最小值分别为，故选：A4．B构造函数，根据导数判断函数在上单调递增，根据得到函数关于对称，得出，，以及，进而可得结果.【详解】设，则，∵对任意的都有，∴，则在上单调递增，，，∵，∴，∴，∴，∴关于对称，则，答案第15页，共15页
6∵在上单调递增，∴，即，∴；即成立，故D错误；∵，，∴，，即，，故A，C均错误；∵，∴，故B正确；故选：B.破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下：1.对于不等式，构造函数；2.对于不等式，构造函数；3.对于不等式，构造函数；4.对于不等式，构造函数；5.对于不等式，构造函数；5．C由已知条件推导出，，令，利用导数求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．【详解】解：对恒成立，，，令，答案第15页，共15页
7则，当时，，当时，，∴函数在上递减，在上递增，所以．实数的取值范围是，．故选：C．6．D利用幂函数单调性可比较的大小，构造函数，利用单调性可比较的大小.【详解】解：幂函数在上单调递增，又，，即，构造，则，当时，；在上单调递减，，，即，，，即，综上，，故选：D.关键点点睛：构造函数，利用单调性比较的大小是本题的解题关键.7．C答案第15页，共15页
8根据解析式可得，原题转化为求在上有一个零点，当时，求导可得的单调性，分析不符合题意；当时，令，解得，分别讨论、和三种情况下的单调性，结合题意，即可求得a的范围.【详解】由题意得：，，所以原题转化为求在上有一个零点，，当时，，则在上单调递减，且，不符合题意，当时，令，解得， 当，即时，，此时在上单调递减，且，不符合题意， 当，即时，，此时在上单调递增，且，不符合题意， 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上有一个零点，所以，解得，所以.综上：a的取值范是故选：C解题的关键是当时，进行分段讨论，结合函数的单调性及零点的定义，分析求解，考查分析理解，分段讨论的思想，属中档题.8．A答案第15页，共15页
9先求导找极大值，再得最大值.【详解】令当时，；当时，所以函数得极大值为，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.9．C根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.【详解】令，所以所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C10．B根据已知条件，构造函数，利用导数求其单调区间，再结合题意即可求得的最小值.【详解】因为，故可得，即，，令，则上式等价于，又，答案第15页，共15页
10根据题意，在单调递减；又，令，解得，即的单调减区间为，要满足题意，只需，即的最小值为.故选：B.11．B根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上递增.所以不是的极值点，是的极大值点.所以ACD选项错误，B选项正确.故选：B12．B通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【详解】由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，知在，上，所以此时函数在，上单调递增，在上，，此时在上单调递减，答案第15页，共15页
11所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．则函数的极小值点的个数为1．故选:B本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．13．D根据在上单调速增，由在上恒成立求解.【详解】因为函数在上单调速增，所以在上恒成立，即所以在上恒成立，因为，所以，经检验等号成立，所以实数a的取值范围是，故选：D方法点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．14．B求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：B.答案第15页，共15页
1215．C对函数求导得，从而求出，比较三个数的大小，即可得到答案；【详解】，或，，或，在单调递增，在单调递减，为极大值点，且，，，，故选：C.16．##令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得.【详解】令，由图象如图所示可知．因为，则，，得，即．答案第15页，共15页
13令，则，∴当时，即时，，则在上单调递减，所以，解得（不满足，舍去）；∴当时，即时，，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，解得满足题意．综上可得，．故答案为：.17．答案不唯一)根据题意，得且在处不存在变号零点，写出符合的函数解析式即可.【详解】由题意，且在处不存在变号零点，例如，则，所以，且，符合题意.故答案为：答案不唯一)18．首先求出导函数，令，解不等式即可.【详解】令，解得，所以函数的单调递减区间为．故答案为：19．（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；答案第15页，共15页
14（Ⅰ）由题知，，进而解方程即可得答案；（Ⅱ）方法一：，再分和两种情况讨论求解即可得答案.方法二：求导得，再讨论的符号进而求解.【详解】（Ⅰ），∵曲线在处的切线与直线平行，∴，即，故；（Ⅱ）函数的定义域为.当时，恒成立，故在上单调递增；当时，，令，得.∵，∴方程有两不等实根.∵，，∴.令，得或；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 方法二：（常规方法）：讨论的符号.当，即时，恒成立，则，在上递增；当，即或时，方程有两不等实根.答案第15页，共15页
15（i）当时，由知，则恒成立，故在上递增；（ii）当时，由知，令，得或；令，得. 故在、上递增，在上递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.本题考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论思想，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于，进而分和两种情况讨论求解.20．（1）答案见解析；（2）.（1）求出导函数，对m讨论，得到单调性；（2）当时，先求出，由题意，原不等式等价于，，利用导数求出，进而求出m的范围.【详解】（1），所以当时，有恒成立，在单调递增，当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减；（2）当时，，根据题意，不等式等价于，，答案第15页，共15页
16对于，，，所以在上单增，所以，则有，设，则，在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)恒（能）成立问题求参数的范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.21．（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.（1）对函数求导，进而讨论a的符号，进而得到函数的单调区间；（2）由（1）可以判断，根据（1）可知，进而根据零点存在定理结合放缩法得到答案.【详解】答案第15页，共15页
17（1）的定义域为R，，①当时，恒成立，所以在R上单调递增；②当时，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，时，在R上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意.时，在上单调递减，在上单调递增，因为函数有2个零点，所以，且.记，则，所以时，，单调递减，所以，则，于是，则x<0时，.所以当x<0时，，限定，则，所以当且时，.于是，若函数有2个零点，则.在“，且”这一步之后，另一个特值不太好找，这时候需要利用得到，进而根据放缩法得到结论.22．(1)答案见解析.(2)证明见解析.（1）求导函数，分和讨论导函数的符号，由此可得出原函数的单调性；答案第15页，共15页
18（2）由（1）知，当时，在取得最大值，将原不等式等价于.设，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由此可得证.，(1)解：的定义域为，，当时，则当时，，故的单调增区间是；当时，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.所以时，的单调增区间是；时，在单调递增，在单调递减.(2)解：由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为，所以等价于，即证.设，则，当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.故当时，.从而当时，，即得证.答案第15页，共15页
