2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷

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2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷　一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分，共36分。）1．（3分）2018的相反数是（　　）A．﹣2018B．C．2018D．﹣2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2+x2=2x4B．x2•x3=x6C．（x2）3=x6D．（2x2）3=6x64．（3分）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（　　）A．16.2×108B．1.62×108C．1.62×109D．1.62×10105．（3分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（　　）A．B．C．D．6．（3分）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（　　）第31页（共31页）

1A．B．C．D．7．（3分）代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（　　）A．B．C．D．8．（3分）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（　　）A．30°B．35°C．40°D．45°9．（3分）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（　　）第31页（共31页）

2A．B．C．D．110．（3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）A．x（x﹣1）=380B．x（x﹣1）=380C．x（x+1）=380D．x（x+1）=38011．（3分）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（　　）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（3分）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）A．5B．10C．15D．20　二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2﹣8b2=　　．14．（3分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是　　．第31页（共31页）

315．（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　　cm．16．（3分）如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是　　．17．（3分）如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是　　cm2．18．（3分）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是　　．　三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）19．（10分）先化简，再求值：﹣x+1，其中x=﹣（）﹣1﹣|1﹣|．20．（10分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．第31页（共31页）

421．（12分）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题：（1）将图1补充完整；（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是　　；（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．22．（12分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A商品数量（件）购买B商品数量（件）消费金额（元）第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：第31页（共31页）

5（1）第　　次购买有折扣；（2）求A、B两种商品的原价；（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）24．（12分）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sinB=∴AD=c•sinB∴S△ABC=a•AD=acsinB同理：S△ABC=absinCS△ABC=bcsinA∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA（1）通过上述材料证明：==（2）运用（1）中的结论解决问题：第31页（共31页）

6如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）25．（14分）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm．（1）求GC的长；（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．26．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　　．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．第31页（共31页）

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82018年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分，共36分。）1．（3分）2018的相反数是（　　）A．﹣2018B．C．2018D．﹣【分析】根据相反数的意义，可得答案．【解答】解：2018的相反数是﹣2018，故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．　2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．【解答】解：轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合故选：D．【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．　3．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2+x2=2x4B．x2•x3=x6C．（x2）3=x6D．（2x2）3=6x6【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和幂的乘方法则计算，判断即可．第31页（共31页）

9【解答】解：A、x2+x2=2x2，故本选项不符合题意；B、x2•x3=x5，故本选项不符合题意；C、（x2）3=x6，故本选项符合题意；D、（2x2）3=8x6，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．　4．（3分）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（　　）A．16.2×108B．1.62×108C．1.62×109D．1.62×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：16.2亿=1620000000=1.62×109．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　5．（3分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（　　）A．B．C．D．第31页（共31页）

10【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．　6．（3分）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（　　）A．B．C．D．【分析】根据题意得出兔子和乌龟的图象进行解答即可．【解答】解：乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短，故选：D．【点评】此题考查函数图象问题，本题需先读懂题意，根据实际情况找出正确函数图象即可．　7．（3分）代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（　　）A．B．第31页（共31页）

11C．D．【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意，得3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得x≤3且x≠1，在数轴上表示如图，故选：A．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．　8．（3分）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（　　）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】依据AB∥CD，可得∠EHD=∠EGB=25°，再根据∠PHD=60°，即可得到∠PHG=60°﹣25°=35°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EHD=∠EGB=25°，又∵∠PHD=60°，∴∠PHG=60°﹣25°=35°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．第31页（共31页）

12　9．（3分）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（　　）A．B．C．D．1【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假，根据概率公式计算即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，①是真命题；对称轴为直线x=1，②是真命题；当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；∴真命题的概率=，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．　10．（3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）A．x（x﹣1）=380B．x（x﹣1）=380C．x（x+1）=380D．x（x+1）=380第31页（共31页）

13【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【解答】解：设参赛队伍有x支，则x（x﹣1）=380．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．　11．（3分）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（　　）A．50°B．60°C．25°D．30°【分析】根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：∵∠AOD=130°，∴∠C=90°﹣，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．　12．（3分）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）第31页（共31页）

14A．5B．10C．15D．20【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．∵C（﹣1，0），直线AB的解析式为y=﹣x+3，∴直线CH的解析式为y=x+，由解得，∴H（，），∴CH==3，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，∴EH=3﹣1=2，当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=×5×2=5，故选：A．【点评】第31页（共31页）

15本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．　二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2﹣8b2=　2（a﹣2b）（a+2b）　．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣8b2，=2（a2﹣4b2），=2（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．　14．（3分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是　3　．【分析】先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．【解答】解：∵一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，∴x=3，∴此组数据为﹣1，2，3，3，5，∴这组数据的中位数为3，故答案为3．【点评】此题主要考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解本题的关键．　15．（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　5　cm．【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．第31页（共31页）

16【解答】解：∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，∴圆锥的母线l=10cm，圆锥底面半径r=5cm，∴圆锥的高h==5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．　16．（3分）如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是　x1=1，x2=2　．【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．【解答】解：由图象，得y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P（1，2），把P点坐标带入函数解析式，得﹣1+b=2，k=1×2=2，解得b=3，k=2关于x的方程﹣x+b=，即﹣x+3=，解得x1=1，x2=2，故答案为：x1=1，x2=2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出k，b的值是解题关键．　第31页（共31页）

1717．（3分）如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是　2　cm2．【分析】先根据S▱ABCD=16cm2知S△PBC=S▱ABCD=8，再证△PEF∽△PBC得=（）2，即=，据此可得答案．【解答】解：∵▱ABCD的面积为16cm2，∴S△PBC=S▱ABCD=8，∵E、F分别是PB、PC的中点，∴EF∥BC，且EF=BC，∴△PEF∽△PBC，∴=（）2，即=，∴S△PEF=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质．　18．（3分）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是　n2+n+2　．【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×第31页（共31页）

184=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个，第二个图形有2+2×3=8个，第三个图形有2+3×4=14个，第四个图形有2+4×5=22个，…∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．故答案为：n2+n+2．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．　三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）19．（10分）先化简，再求值：﹣x+1，其中x=﹣（）﹣1﹣|1﹣|．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负整数指数幂及绝对值性质计算出x的值，最后代入计算可得．【解答】解：原式=﹣（x﹣1）=﹣=，∵x=2﹣2﹣（﹣1）=2﹣2﹣+1=﹣1，∴原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及负整数指数幂、绝对值性质、二次根式的性质．　20．（10分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．第31页（共31页）

19【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线BE；（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．【解答】（1）解：如图，（2）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．　21．（12分）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．第31页（共31页）

20根据以上信息，解答下列问题：（1）将图1补充完整；（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是　95%　；（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．【分析】（1）先由A类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得C的数量即可补全图形；（2）用A、B、C户数和除以总户数即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵被调查的总户数为60÷60%=100，∴C类别户数为100﹣（60+20+5）=15，补全图形如下：第31页（共31页）

21（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是×100%=95%，故答案为：95%；（3）画树状图如下：由树状图知共有20种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果，所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为=．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．　22．（12分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A商品数量（件）购买B商品数量（件）消费金额（元）第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：（1）第　三　次购买有折扣；（2）求A、B两种商品的原价；（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；第31页（共31页）

22（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价=单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，∴第三次购买有折扣．故答案为：三．（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据题意得：，解得：．答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．（3）设折扣数为z，根据题意得：5×30×+7×40×=258，解得：z=6．答：折扣数为6．（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据题意得：30×m+40×（10﹣m）≤200，解得：m≥，∵m为整数，∴m的最小值为7．答：至少购买A商品7件．【点评】第31页（共31页）

23本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．　23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：（1）连接OD．、∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．第31页（共31页）

24（2）连接OE，OE交AD于K．∵=，∴OE⊥AD，∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×22=﹣．【点评】本题考查切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．　24．（12分）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sinB=∴AD=c•sinB∴S△ABC=a•AD=acsinB同理：S△ABC=absinCS△ABC=bcsinA∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA（1）通过上述材料证明：==（2）运用（1）中的结论解决问题：第31页（共31页）

25如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）【分析】（1）根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA，化为比例式可得结论；（2）根据公式，直接代入可得结论；（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论．【解答】解：（1）∵absinC=acsinB，∴bsinC=csinB，∴=，：同理得：=，∴==；（4分）（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，∴，即，∴，∴AC=40×0.3=12；（8分）（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，第31页（共31页）

26由==得：=，∴AC=6，∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38．（12分）【点评】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA解决问题．　25．（14分）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm．（1）求GC的长；（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．【分析】（1）解直角三角形求出AC、AG即可解决问题；（2）由△AHM∽△CBN，可得=①，由△DHM∽△CDN，可得=②由①②可得AM•BN=DN•DM，即=，推出=，推出=，由AD=BD，可得AM=DN，由此即可解决问题；（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．求出AK的值即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，第31页（共31页）

27在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，∴AC=BC•tan60°=6，AB=2BC=4，在Rt△ADG中，AG==4，∴CG=AC=AG=6﹣4=2．（2）如图2中，结论：DM+DN=2或DM=DN．理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，∴∠AMH=∠DMH=∠CNB=∠CND=90°，∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BCN=90°，∴∠A=∠BCN．∴△AHM∽△CBN，∴=①，同法可证：△DHM∽△CDN，∴=②由①②可得AM•BN=DN•DM，∴=，∴=，∴=，第31页（共31页）

28∵AD=BD，∴AM=DN，∴DM+DN=AM+DM=AD=2．或∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴CD=BD=AD．又∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB=60°．又∠EDF=90°，∴∠MDA=30°．∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，又HM⊥AD，∴MD=．在等边三角形BCD中，CN⊥BD，∴ND=NB．又AD=BD，∴MD=ND．（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．则AH=AG•cos30°=2，可得AK=2AH=4，此时K与B重合．∴DD′=DB=2．【点评】本题考查几何变换综合题、旋转变换平移变换、相似三角形的判定和性质、比例的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用比例式证明线段相等，属于中考压轴题．　26．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：第31页（共31页）

29（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　y=﹣x2﹣x+2　．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）将该抛物线向上平移2个单位，得y=﹣x2﹣x+2，故答案为：y=﹣x2﹣x+2；（2）当y=0时，﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．当x=0时，y=2，即C（0，2）．AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）y=﹣x2﹣x+2的对称轴是x=﹣，设P（﹣，n），AP2=（1+）2+n2=+n2，CP2=+（2﹣n）2，AC2=12+22=5第31页（共31页）

30当AP=AC时，AP2=AC2，+n2=5，方程无解；当AP=CP时，AP2=CP2，+n2=+（2﹣n）2，解得n=0，即P1（﹣，0），当AC=CP时AC2=CP2，+（2﹣n）2=5，解得n1=2+，n2=2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．　第31页（共31页）