1.1 集合的概念(两课时)-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)

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1复习引入我们知道方程�2=2在有理数范围内无解，但在实数范围内有解.在平面内，所有到定点距离等于定长的点组成了一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成了一个球面.因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具.在小学和初中，我们已经接触过一些集合.例如，自然数（0,1,2,3，……）的集合，同一平面内到定点的距离等于定长的点（圆）的集合等.为了有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识.下面从集合的含义开始.

2探索新知思考1：看下面的例1——例6，哪些例子可以组成集合？集合里面的元素分别是什么？（日常生活实例）（1）1~10之间的所有偶数；可以，2,4,6,8,10.（2）立德中学今年入学的全体高一学生；可以，立德中学今年入学的全体高一学生.（3）地球上的四大洋.可以，太平洋、北冰洋、大西洋、印度洋.

3探索新知思考1：看下面的例1——例6，哪些例子可以组成集合？集合里面的元素分别是什么？（数学实例）（4）所有的正方形；可以，所有的正方形.（5）到直线�的距离等于定长�的所有点；可以，与�平行的直线.（6）方程�2−3�+2=0的所有实数根；可以，1和2.

4探索新知一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母�,�,�,…表示集合,用小写拉丁字母�,�,�,…表示元素.如果�是集合�的元素,就说�属于集合�,记作�∈�;如果�不是集合�的元素,就说�不属于集合�,记作�∉�.

5探索新知思考2：（1）1,3,5,7,9,…是“1~10之间的所有偶数”这一集合里面的元素吗？（2）“较小的数”能组成一个集合吗？不是，不能；因为集合的元素具有确定性.思考3：集合�={0,1,2}和集合�={2,1,0}一样吗？一样，因为集合的元素具有无序性.思考4：1,2,1,3,4这五个数组成的集合中有几个元素？4个，因为集合的元素具有互异性.

6探索新知集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.只要构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.常用数集的记法：�:自然数集（非负整数集）∗我们可以用自然语言描述一个�或�+：正整数集集合.除此之外，还可以用什�:整数集么方式来表示集合呢？�：有理数集�:实数集

7探索新知“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋、北冰洋}；“方程�2−3�+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}.列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.注：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{（2，3）,（5，−1）}.思考5：尝试用列举法表示�−7<3的解集.你有什么发现？思考6：你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？

8探索新知不等式�−7<3的解是�<10,因为满足�<10的实数解有无数个，所以�−7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：�是实数，且�<10,把解集表示为{�∈�|�<10}.又比如，奇数集的共同特征是除以2的余数为1，即{�∈�|�=2�+1,�∈�}.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法{�∈�|�(�)}.注：(1)先看竖线前的代表元素，明确研究的对象；再看竖线后的共同特征;(2)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接；(3)若描述部分出现元素记号以外的参数，则要说明参数的含义或指出取值范围.

9例析例1.用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程�2=�的所有实数根组成的集合.解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.(2)设方程�2=�的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.

10例析例2.试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程�2−2=0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.解：(1)设�∈�,则�是一个实数，且�2−2=0.因此，用描述法表示为�={�∈�|�2−2=0}.方程�2−2=0有两个实数根�，−�，因此，用列举法表示为�={2，−2}.(2)设�∈�,则�是一个整数，即�∈�，且10<�<20.因此，用描述法表示为�={�∈�|10<�<20}.大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为�={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

11例析我们约定，如果从上下文的关系看，�∈�,�∈�是明确的，那么�∈�,�∈�可以省略，只写其元素�.例如，集合�={�∈�|�<10}也可表示为�={�|�<10}；集合�={�∈�|�=2�+1,�∈�}也可表示为�={�|�=2�+1,�∈�}.思考7：举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.

12练习题型一：集合的概念及特征例1.下列对象能构成集合的是（）.A.高一年级长得帅的学生B.?�30°，?�45°，?�60°，1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点答案：D.因为A没有一个确定的标准；B中?�30°=?�60°，不符合元素的互异性；C不能构成集合.变1.由实数�,−�|�|,�2,(�2)2,−�3组成的集合中最多含有（）个元素.答案：4.由题意知，�≥0，所以�,−�|�|,�2,(�2)2,−�3可分别化为�,−�2,�,�2,−�3.故有4个元素.

13练习题型二：元素与集合的关系例2.集合�是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（）.�A.5∈�B.0∉�C.1∈�D.−∈��答案：D.变2.设集合�是由满足�=�2的有序实数对（�,�）构成的，则-1____�,（−1,1）____�.(用符号∈或∉填空)答案：∉，∈.

14练习题型三：集合的表示法例3.(1)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合A；②小于8的质数组成的集合B；③方程2�2−�−3=0的实数根组成的集合C；④一次函数�=�+3与�=−2�+6的图象的交点组成的集合D.3答案：�={0,2,4,6,8,10};�={2,3,5,7};�={−1,};�={(1,4)}.2

15练习题型三：集合的表示法例3.(2)用描述法表示下列集合：①函数�=−2�2+�图象上的所有点组成的集合；②不等式2�−3<5组成的集合；③被3除余数等于1的正整数组成的集合；④3与4的所有正的公倍数组成的集合.答案：{(�,�)|�=−2�2+�};{�|�<4};{�|�=3�+1,�∈�};{�|�=12�,�∈�∗}.

16练习题型四：利用元素的互异性求参数例4.已知集合A中含有两个元素1和�2,且�∈�，则实数�的值为？解：∵�∈�，而A中含有两个元素1和�2∴(1)若�=1，则集合�={1,1},不符合集合元素的互异性；(2)若�=�2，则�=-1或1（1舍去），此时集合�={1,−1}，符合.综上，�的值为-1.

17练习题型四：利用元素的互异性求参数变4.已知�∈�，�∈�，若集合{�,�,1}={�2,�+�,0},则�2021+�2021的值为？�答案：-1.

18课堂小结1.集合的概念；2.集合中元素的特性；3.集合与元素的关系；4.常用数集；5.集合的表示方法.

19作业课本P5练习1—3题；习题1—4题