泊松分布--ppt课件

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第8章泊松过程1、泊松分布的定义2、泊松分布的性质3、非齐次泊松过程4、复合泊松分布

1泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程,它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位,它们都属于所谓的独立增量过程.一、独立增量过程(independentincrementprocess)X(t)-X(s),0≤s

2的分布所确定.于时间差t-s(0≤s

31、泊松过程举例（Poissonprocess）现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述,大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画.泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系.我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.

41.计数过程:设为一随机过程,如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s

5定义1称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件:(1)N(t)0(2)N(t)取正整数;(3)若s0),事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独立增量过程.

6随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.计数过程的一个典型的样本函数如图

7S2S3S4S5第一个信号到达S1S6第二个信号到达第三个信号到达…………N(t)t0电话呼叫模型

8将增量它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在(t0,t]内出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率记为Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2,….2.泊松计数过程过程:{N(t),t≥0}称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:(2)N(0)=0;(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(3)对于充分小的其中常数λ>0,称为过程N(t)的强度.(亦即在充分小的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长度成正比)

9(4)对于充分小的在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强度为λ的泊松流.

10定义2如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足：1.N(0)＝0；2.具有独立增量；3.对任意0s

11定义3如果取非负整数值得计数过程{N(t),t0}满足下列条件：[泊松过程的第一种定义方式]1.N(0)＝0；2.具有独立增量；3.P{N(h)=1}＝h+0(h)；4.P{N(h)2}＝0(h)则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次)泊松过程。例1考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{X(t),t0}满足定义3的条件,故{X(t),t0}是一个泊松过程.例2考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间[0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{X(t),t0}为一泊松过程

12定理泊松过程的定义2与定义3是等价的。证明23：条件a)与1)相同。条件b)可由2)和3)直接得到。P{N(h)=1}＝P{N(h)-N(0)=1}＝＝h[1-h+o(h)]＝h+o(h)即c)。即d)。

1332：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证明：N(t)(t0)服从参数为t泊松分布。设pk(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明：(1)k=0，p0(t+h)＝P{N(t+h)=0}＝P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0}＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0}＝p0(t)[1-h+o(h)]因为解得：p0(t)＝e-t。

14(2)k1pk(t+h)＝P{N(t+h)=k}＝pk(t)[1-h+o(h)]+pk-1(t)[h+o(h)]+o(h)，

15k=1时,解得：p1(t)＝te-t，所以k=1时结论成立。解得结论成立。由归纳法知，对一切k=0,1,2,…，结论成立。得证再由平稳独立增量性质，对一切0s

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17例：设病人以每分钟2人的速率到达某诊所,病人流为泊松流,求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率?解：设{N(t),t≥0}是病人到达数的泊松过程，则λ=2，故

18即Poisson过程是满足增量独立性增量平稳性增量普通性的计数过程.平稳性：在时间区间[t,t+t)内到达k个的概率与t无关，只与t有关。记为pk(t）。无后效性：不相交的时间区间内到达数互相独立。普通性：在足够短的时间内到达多于一个的概率可以忽略；有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。

19由泊松分布知特别地,令t0=0,由于假设N(0)=0,故可推知,即泊松过程的强度λ(常数)等于泊松过程的均值函数和方差函数分别为单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.2泊松过程的基本性质1.对任意t>0,N(t)～(t),P{N(t)=k}

202泊松分布的一维特征函数

213协方差函数和相关函数协方差函数B(s,t)＝min(s,t)，相关函数R(s,t)＝min(s,t)＋2st。证明R(s,t)＝E[X(s)X(t)]＝E{X(s)[X(t)-X(s)+X(s)]}s

22定理1：设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，则有

23例1:(泊松过程在排队论中的应用)在随机服务系统中的排队现象的研究中，经常用到泊松过程的模型，例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施(商店、车站、购票处等)的顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某火车站售票处为例，设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则从9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？从10:00-11:00没有人来购票的概率是多少？解:我们用一个泊松过程来考虑.设8:00为0时刻则9:00为1时刻则参数λ=10,故

24例2:(事故的发生次数及保险公司接到的索赔数)若以N(t)表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在(0,t]时间内发生不幸事故的数目，则泊松过程就是{N(t),t≥0}的一种很好近似，因而保险公司受到的赔偿请求的次数(设一次事故就导致一次索赔)。过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次赔付都是1，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金额平均为多少？解:设一年开始为0时刻,一月末为1,2月末为2,…,则年末为12.均值

25为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程来反映呢?其根据是稀有事件原理.我们在概率论的学习中已经知道,贝努里试验中,每次试验成功的概率很小而试验的次数很多时,二项分布会逼近泊松分布.这一想法很自然地推广到随机过程,比如上面提到的事故发生的例子,在很短的时间内发生事故的概率是于贝努里试验以及二项分布逼近泊松分布时的假定.这就是泊松过程定义所描述的直观意义.很小的.但假如考虑很多个这样很短的时间的连接,事故的发生将会有一个大致稳定的速率,这很类似

263到达时间间隔与等待时间分布设{N(t),t0}是泊松过程,令X(t)表示t时刻事件A发生(顾客)出现的次数,W1,W2,…分别表示第一次,第二次,..事件A发生的时间,Tn(n1)表示从第(n-1)次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔.0W1W2W3Wn-1WnT1T2T3TnTk＝Wk-Wk-1，Wk＝T1+T2+…+Tk，k=1,2,…,n，0=0

27说明:对于任意n=1,2,…,事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为其概率密度为定理2设{N(t),t0}是参数为的泊松过程,Tn,n=1,2,…}为时间间隔序列，则Tn,n=1,2,…是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为的指数分布。(重要定理)

28证:首先注意到事件{T1>t}发生当且仅当泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生,[T1表示第一个到达]因而P{T1>t}=P{X(t)=0}=e-t,即所以T1是服从参数为的指数分布.利用泊松过程的独立,平稳增量性质,有P{T2>t|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生}=P{X(t+s)-X(s)=0}=P{X(t)-X(0)=0}=e-t所以T2也是服从参数为的指数分布.

29对于任意n>0和t,s1,s2,…,sn-10,有P{Tn>t|T1=s1,…,Tn-1=sn-1}=P{X(t+s1+…+sn-1)-X(s1+s2+…+sn-1)=0}=P{X(t)-X(0)=0}=e-t所以对任一Tn(n>0),其分布是参数为的指数分布.

30定理3设{N(t),t0}是参数为的泊松过程，{设{N(t),t0}是参数为的泊松过程，{Wn,n=1,2,…}为等待时间序列，则Wn～(n,)，即概率密度为：下面用Wn表示第n个顾客的到达时间，则Wn=X1+X2+…+Xn,n≥1称Wn为直到第n个顾客出现的等待时间。

31证明:因事件{Wnt}等价于事件{N(t)n},在[0,t)内事件至少出现n次,所以Wn的分布函数为于是Wn的概率密度当t<0时,f(t)=0,故上式又称为爱尔兰分布,它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度.

32例3：一理发师在t=0时开门营业,设顾客按强度为λ的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正常数.求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的概率及到达后等待时间S的平均值.解：设第一个顾客的到达时间为W1，第二个顾客的到达时间为W2。令X2=W2-W1，则第二个顾客到达后不需等待等价于X2>a。由定理2知X2服从参数为λ的指数分布，故等待时间

334到达时间的条件分布假设在时间[0,t]内事件A已经发生一次，我们需要确定这一事件到达时间W1的分布。由于泊松过程是一个平稳独立增量过程，因此我们认为W1落在[0,t]区域的小时间段是服从均匀分布的。事实上,对s

34即分布函数为分布密度函数为

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37一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开,例4:设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,设只有解:由所设条件可知,离去的人数N(t)是强度λ=3的泊松过程(这里以小时为单位)。设8:00为零时刻，则其均值为即到12：00为止，离去的人平均是12名。已有9个人接受服务的概率是多少?而有9个人接受过服务的概率是

383非齐次泊松过程定义4如果计数过程{N(t),t0}满足下列条件：1.N(0)＝0；2.{N(t),t0}是独立增量过程；3.P{N(t+t)-N(t)=1}＝(t)t+0(t)；4.P{N(t+t)-N(t)2}＝0(t)则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为(t)的非齐次泊松过程。特别，当(t)=时，即为齐次泊松过程。

39注1：定义中增量仅具有相互独立性，不具有增量平稳性质，所以称为非平稳，或非齐次。此处的强度与时间t有关，意味着这个计数过程一定与时间起点有关系，或者说在等长的时间间隔里，由于时间的起点不同，计数过程的概率特性也有所不同，因此这种计数过程不再具有增量平稳性。注2：在定义中令，且增加计数过程的增量平稳性，则可以退化为标准泊松过程[平稳泊松过程]。

40定理5若过程{N(t),t0}是非齐次泊松过程，则在时间间距[t0,t0+t)内事件A出现k次的概率为：式中m(t)称为非平稳泊松过程的强度，N(t)表示[0,t]内到达的数量，则m(t)表示[0,t]内平均到达数量。取t=0得到：

41例某镇有一小商店，每日8:00开始营业。从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/小时；11:00到达率达最高峰20人/小时。从11:00到13:00平均顾客到达率为20人/小时。从13:00到17:00平均顾客到达率线性下降，17:00顾客到达率为12人/小时。假设在不相交的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在8:30到9:30时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间机内到达商店的顾客的均值为多少？

42解:设8:00为t=0，11:00为t=3，13:00为t=5，17:00为t=9。于是，顾客到达率是周期为9的函数：(t)＝(t-9)根据题意，在[0,t)内到达的顾客数{N(t),t0}是一个非齐次泊松过程。在8:30到9:30无顾客到达商店的概率为在8:30到9:30到达商店的顾客均值概率为

433非平稳泊松过程的均值和方差设N(t)是强度为m(t)的非平稳泊松过程，由于泊松分布的均值和方差相等，满足：例设N(t)是一个非齐次泊松过程，其强度为求1增量的概率分布2与

44解：由定理3.1知：增量的概率分布是其中所以2因为N(t)服从参数为的泊松分布，因此满足：

454复合泊松过程设{N(t),t0}是参数为的泊松过程，{Yn，n=1,2,…}是相互独立同分布的随机变量序列，且N(t)与Yn相互独立，令称{X(t),t0}为复合泊松过程。

46复合泊松过程性质定理：设是复合的泊松过程则有(1)是独立增量过程(2)的特征函数，其中是随机变量的特征函数字。(3)若，则

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49习题