四川省雅安中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学Word版含答案

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2020-2021学年度雅安中学高一下期期中试题数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一．单选题（每道题5分，共60分）1．下列命题中，正确的是（　　）A．若＜，则a＜bB．若a＞b，则lga＞lgbC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＞bd2．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是()A．16B．25C．36D．493．正项等比数列{an}中，a3＝2，a4•a6＝64，则的值是（　　）A．4B．8C．16D．644．若数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S10＝20，S30＝90，则S20的值为（　　）A．40B．50C．60D．705.已知某正方体的外接球的表面积是，则这个正方体的棱长是()A．B．C．D．6．在△ABC中，若a＝bcosC，则△ABC是（　　）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]8．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（　　）A．B．C．D．4

19．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+410．不等式＞0的解集为（　　）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}11.若是等比数列，且前项和为，则＝()A．B．C．-1D．112.由下面的条件能得出△ABC为锐角三角形的是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二．填空题（每道题5分，共20分）13．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积____________.14．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　　．15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．16．设f(x)＝，利用倒序相加法，则　.三．解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）17.(1)解这个关于x的不等式.(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)已知的角所对的边分别为，设向量.

2（1）若，求证为等腰三角形；（2）若，，,求的面积.19．已知数列{an}与{bn}满足：，且{an}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2+4．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满足，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜1．20.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．

322.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.(1)证明：数列{}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.2020-2021学年度雅安中学高一下期期中试题答案详解一．选择题1-5ACCBD6-10CDADC11-12BC1.【解答】解：对于选项A：，由于，所以a＜b，故A正确．对于选项B：假设0＞a＞b，没意义，故B错误．

4对于选项C：当0＞a＞b，所以b2＞a2，故C错误．对于选项D：若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，故﹣ac＞﹣bd，则ac＜bd，故D错误．故选：A．2.分析：由题已知三角形数和正方形数的通项公式可得；3.【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，∵a3＝2，a4•a6＝64，∴＝2，＝64，解得q2＝4，则＝＝42＝16．4.【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝20，S30＝90，∴，解得：，∴S20＝20a1+＝50．故选：B．6.【解答】解：由余弦定理得cosC＝，把cosC代入a＝bcosC得：a＝b•＝，∴2a2＝a2+b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，即三角形为直角三角形．故选：C．7.【解答】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．

5由于x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选：D8.【解答】解：因为与均为单位向量，它们的夹角为60°，所以＝．又因为＝，所以＝．故选：A．9.【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S＝2×π+（2+π）×2＝3π+4，故选：D．10.【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．二．填空题13.14.﹣4＜m＜215.16.513.【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2＝2．

614.【解答】解：∵，∴x+2y＝（x+2y）＝4++≥4+2＝8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜215.【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为16.一．选择题17.解：（1）原不等式可化为，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为或，综上可知：时解集为或；时解集为R；时解集为或.（2）解：令，则，所以，因为不等式对任意实数x恒成立，

7所以，解得，所以实数a的取值范围，18.解：（1），…………3分，…………5分为等腰三角形.…………6分（2）由题意可知，即，…………7分由余弦定理可知…………9分即…………11分…………12分19.【解答】解：（1）数列{an}与{bn}满足：，且{an}为正项等比数列，a1＝2，b3＝b2+4，可得a1＝2b1＝2，即b1＝1，b3﹣b2＝a3＝4，即a3＝8，可得公比q＝2，即an＝2n；则2bn＝，即bn＝2n﹣1；（2）证明：cn＝＝＝﹣，即有Tn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，由＞0，可得Tn＜1．20.【解答】解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元∴，∴k＝800∴（Ⅱ）∵

8当且仅当即x＝5时f（x）min＝75．答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f（x）最小为75万元．21.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因为，所以．（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．22.（本小题12分，第1小题6分，第2小题6分）(1)证明　∵a1＝，an＋1＝an，当n∈N*时，≠0.又＝，∶＝(n∈N*)为常数，∴{}是以为首项，为公比的等比数列．(2)解　由{}是以为首项，为公比的等比数列，得＝·()n－1，∴an＝n·()n.

9∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1＝－n·()n＋1，∴Sn＝2－()n－1－n·()n