山东省潍坊市2020-2021学年高一下学期期中考试数学Word版含答案

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潍坊市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2021°角的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数的定义域为（）A．B．C．D．3．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．若某种信号的波形对应的函数解析式为，则其部分图像为（）A．B．C．D．4．若，则（）A．B．C．D．

15．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形的面积之比为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形中，，，为的中点，与交于点，则（）A．B．C．D．7．已知，，，则（）A．B．C．D．8．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）

2A．B．当时，C．当角越大时，用力越省D．当时，二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．下列四个三角关系式中正确的是（）A．B．C．D．10．下列命题中的真命题是（）A．若，，则向量在向量方向上的投影的数量为B．若，则是与向量方向相同的单位向量C．若向量，不共线，则与一定不共线D．若平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为11．已知，是函数的图像与直线的两个不同的交点，若的最小值是，则（）A．B．函数在区间上单调递增C．是奇函数D．函数的图像关于点中心对称12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若

3，记，则下列结论中正确的是（）A．设，，若，则，B．设，则C．设，，若，则D．设，，若与的夹角为，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，，是平面上四个点，则______．14．已知（，）的图像过点，要使该函数解析式为，还应该给出的一个条件是______．15．已知函数（）满足的的最小值为，则______，直线与函数在上的图像的所有交点的横坐标之和为______．16．潍坊的传统民间工艺有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．为弘扬民族文化，潍坊某中学开展劳动实习，学生到一个铸造厂学习铁皮裁剪技术，如图所示，铁皮原料的边界由一个半径为的半圆弧（点为圆心）和直径围成，甲班学生决定将该铁皮原料裁剪成一个矩形，则当该矩形的周长最大时，______．

4四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为，其中．（1）求和，，的值；（2）求的值．18．（12分）已知向量，向量，向量（其中），且．（1）求的值和；（2）若，，且，，三点共线，求实数的值．19．（12分）三角函数中有许多形式简洁，含义隽永的数学等式．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：甲：；

5乙：；丙：；丁：．（1）请从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，请将结论推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．20．（12分）将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．21．（12分）潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：时间（时）024681012141618202224水深（米）13.41413.4121086.666.68101213（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上

6离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）22．（12分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值；（3）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．高一数学参考答案及评分标准2021.5一、单项选择题1-4CDBD5-8CAAB二、多项选择题9．BD10．BC11．AC12．ACD三、填空题13．14．或周期15．4，16．四、解答题

717．（1）解：由题意，，所以，所以，又因为，所以，则，，所以．（2）．18．解：（1）因为，，所以，，因为，所以，所以，故，．（2）因为，，，所以，又因为，，三点共线，所以，即，

8所以解得：，故的值为．19．解：（1）选甲时：．（2），证明：左边，，．20．解：（1）由题意得，，所以，即，则，所以，因为为钝角，所以，故，故与不可能垂直．（2）因为，所以，

9所以，当时，，所以，此时，因为，所以，又因为所以．21．解：（1）可选择以下6个点：，，，，，，其图像如下：选法一：设选取的函数解析式为：（，，），由题意得：，所以，，又因为，解得，，

10所以，由，得，所以，，又，所以当时，，所以，（参照解法一相应给分）．选法二：设选取的函数解析式为：（，，），求解过程同上，可得，．（2）根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，由，解得：，即所以，，故，又因为，所以，所以可安排货轮在0时到5时之间进港．货轮安全离港的水深要求至少达到12米，根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．22．解：（1）由题意得，

11．由，，得，，可得函数的单调递增区间为，．（2）因为，所以，所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以．由题意得，，所以对一切恒成立，所以，解得，所以整数的最大值为4．（3）由题意知，，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，

12再向右平移个单位得，因为关于的方程在区间上有解，整理得：，即（*）在区间上有解，令，（*）式可转化为：在内有解，所以，，又因为和在为增函数，所以在为增函数，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，综上所述：的取值范围为．