2022年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01（解析Word版）

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2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01第一部分（选择题共60分）一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1．已知集合，0，1，，，1，2，3，4，，则　　A．，1，B．，4，C．，3，4，D．，0，1，2，3，4，【答案】【详解】集合，0，1，，，1，2，3，4，，则，1，．故选：．2．已知点，，向量，则向量　　A．B．C．D．【答案】【详解】，，，．故选：．3．已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是　　A．B．C．D．【答案】【详解】设恰有1名女生被选到为事件，基本事件总数为，事件包含的基本事件数为，（A），故选：．4．已知函数为上的奇函数，当时，，则（3）等于　　A．B．C．1D．3【答案】【详解】根据题意，当时，，则，

1又由为奇函数，则（3），故选：．5．北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志原者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为　　A．300B．320C．340D．360【答案】【详解】根据题意知分层抽样比例为，所以该高校抽取的志愿者总人数为（人．故选：．6．若复数满足，则　　A．B．C．D．【答案】【详解】，．故选：．7．已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是　　A．2B．C．3D．【答案】【详解】设球的半径为，则根据球的表面积公式和体积公式，可得，，化简得．故选：．8．若不等式的解集为，则，的值分别为　　A．，B．1，6C．，6D．6，1【答案】【详解】不等式的解集为，所以和是方程的实数解，

2由根与系数的关系知，，解得，．故选：．9．计算的结果是　　A．6B．7C．8D．10【答案】【详解】，故选：．10．下列函数在上是增函数的是　　A．B．C．D．【答案】【详解】由基本初等函数的单调性知，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，故选：．11．函数和函数的图象关于　　对称．A．原点B．C．轴D．轴【答案】【详解】，函数和函数的图象关于轴对称，故选：．12．已知，则的最小值为　　A．B．2C．D．4【答案】

3【详解】由，，当且仅当，即时，取得等号，故的最小值为，故选：．13．已知，，若，则　　A．B．C．D．2【答案】【详解】根据题意，已知，，若，则有，解可得；故选：．14．已知，，，为空间中任意四个点，则等于　　A．B．C．D．【答案】【详解】．故选：．15．在中，，，，那么等于　　A．B．C．D．【答案】【详解】，，，由正弦定理可得，．故选：．16．已知函数，则　　A．B．C．D．【答案】

4【详解】根据题意，函数，则，则，故选：．17．已知复数，则“”是“为纯虚数”的　　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【详解】因为为纯虚数且，所以“”是“为纯虚数”的必要不充分条件．故选：．18．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则　　A．B．C．D．【答案】【详解】，．故选：．19．设甲、乙、丙3人住在一个有4间卧室的套间内，每间卧室最多可以住2人．若每人都等可能地被分配到4间房间中的任意1间，则下列事件属于随机事件的是　　A．恰好有1间空房B．至多有2间空房C．至少有1间空房D．3人不住同1间房【答案】【详解】根据题意，甲、乙、丙3人住在一个有4间卧室的套间内，每间卧室最多可以住2人．有种情况，①三人各住一间卧室，则有1间空房，②三人有2人住一间卧室，剩下一人独自住一间卧室，则有2间空房，

5据此分析现象：对于，空房有1间或2间，则“恰好有1间空房”是随机事件，对于，“至多有2间空房”即有没有空房、1间空房或2间空房，是必然事件，对于，“至少有1间空房”是必然事件，对于，每间卧室最多可以住2人，“3人不住同1间房”是必然事件，故选：．20．按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于1898年提出蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的常数大约为　　（参考数据：，．A．B．C．D．2【答案】【详解】由题意可得，电池的容量为定值，则，即，两边取对数可得，，即，故．故选：．第二部分（非选择题共40分）二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．函数的定义域是　　．【答案】，【详解】由，得．函数的定义域是，．故答案为：，．22．已知向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　　；　　．

6【答案】0；【详解】因为，所以，又因为与的夹角为，且，，所以．故答案为：0；．23．　　．【答案】【详解】原式．故答案为：．24．如图，为圆的直径，点在圆周上（异于点，，直线垂直于圆所在的平面，点是线段的中点．有以下四个命题：①平面；②平面；③平面；④平面平面．其中正确的命题的序号是　　．【答案】①④【详解】①因为，平面，平面，所以平面；②因为在平面内，所以②错误；③因为垂直于圆所在的平面，所以．又，，所以平面

7．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以平面不成立，③错误；④由③知平面，且平面，所以平面平面．正确命题的序号是①④．故答案为：①④．三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分）25．设函数．（1）在给出的直角坐标系中画出函数在区间，上的图象；（2）求出函数在，上的单调区间和最值．【答案】见解析【详解】（1）列表：0100描点得图象：

8（2）由图象可知的单调增区间：，，，，单调减区间：，，函数的最大值是：1，函数的最小值是：．26．已知函数，．（Ⅰ）若，求的解集；（Ⅱ）若方程有两个实数根，，且，求的取值范围．【答案】见解析【详解】若，则，解得，所以的解集，；因为有两个实数根，，所以△且，解得或，又，所以，解得，或，综上的范围为或．27．如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；

9（Ⅱ）求证：．【答案】见解析【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）因为，所以，又因为，所以，因为，为的中点，所以，又，所以：平面，因为平面，所以：．28．已知函数．（Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增；（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）证明：任取，则，，，，，

10，即．函数在上单调递增；（Ⅱ）解：函数在，内为增函数，函数在，内的最大值为（4），在，上恒成立，，即实数的取值范围为，．