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、恒正二次型则称f为恒正(正定)二次型.如,二次型是正定的;不是正定的.但二次型一组不全为零的实数都有1、定义:实二次型若对任意
12、正定性的判定1)实二次型正定2)设实二次型f正定证:充分性显然.下证必要性,若f正定,取则
2经过非退化线性替换X=CY化成则,3)非退化线性替换不改变二次型的正定性.任取一组不全为零的数令证明:设正定二次型
3所以,非退化线性替换不改变二次型的正定性.又由于C可逆,,所以同理,若正定,则正定.反之,实二次型可经过非退化不全为0.即线性替换变到实二次型
4秩=n=(的正惯性指数).4)(定理5)n元实二次型正定证:设经非退化线性替换变成标准形由2),正定即,的正惯性指数p=n=秩.
5规范形为5)正定二次型 的标准形为
6二、正定矩阵1、定义设A为实对称矩阵,若二次型正定二次型的规范形为是正定的,则称A为正定矩阵.2、正定矩阵的判定2)实对称矩阵A正定1)实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.A与E合同,即存在可逆矩阵C,使可见,正定矩阵是可逆矩阵.存在可逆矩阵C,使
73)实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.即,D与E合同.为任一正对角矩阵,则若
8例1、设A为n阶正定矩阵,证明(5)若B亦是正定矩阵,则A+B也是正定矩阵;(2) 是正定矩阵;(1)是正定矩阵;(3) 是正定矩阵;(4)是正定矩阵(m为任意整数);
9证:(1)由于A正定,则存在可逆矩阵P,使于是有,故,正定.(2)由于A正定,对 都有因此有令故, 正定.即,与单位矩阵E合同.则Q可逆,且
10,由(1)(2)即得 正定.(3)A正定,则存在可逆矩阵C,使,于是当m=2k时,即, 与单位矩阵E合同,所以正定.(4)由于A正定,知 为n阶可逆对称矩阵,
11(5)由于A、B正定,对 都有因此有故,A+B正定.当m=2k+1时,即, 与正定矩阵A合同,而A与单位矩阵E合同,所以 与E合同,即 正定.
123、正定矩阵的必要条件1)实对称矩阵正定取正定.证:若A正定,则二次型则
13反之不然.即, 为对称矩阵,且但A未必正定. 如所以A不是正定的.注意当 时,有
142)实对称矩阵A正定但不是正定二次型.如注意证:若A正定,则存在可逆矩阵C,使从而反之不然.即实对称矩阵A,且A未必正定.
154、顺序主子式、主子式、称为A为第k阶顺序主子矩阵;设矩阵称为A的第k阶顺序主子式.
163)k级行列式称为A的一个k阶主子式.即行指标与列指标相同的k阶子式
175、(定理6)A的顺序主子式Pk全大于零.正定实二次型证:必要性.设正定,对每一个k令
18是正定的,从而正定.对任意一不全为零的数有充分性:对n作数学归纳法.n=1时, 正定.结论成立.假设对于n-1元二次型结论成立,下证n元的情形.
19又A的顺序主子式全大于零,所以A1的顺序主子式由归纳假设,A1正定,即存在可逆矩阵G,使令则也全大于零.设
20则令再令则
21由判定充要条件3).知A正定,所以正定.再令则有两边取行列式,得又>0,即 为正对角矩阵.
22例2、判定下面二次型是否正定.其顺序主子式正定.解:的矩阵
23解:的矩阵A的第k阶顺序主子式Pk(习题7)
24正定.
25例3、证明:若实对称矩阵A正定,则A的任意一个k阶主子式证:作二次型(习题9)
26其中,对任意一不全为零的数,有从而,由于A正定,有 正定,即有行列式大于零,即即, 是正定二次型,因此其矩阵的
27小结1、正定(负定、半正定、半负定、不定)二次型;基本概念2、顺序主子式、主子式正定(负定、半正定、半负定、不定)矩阵;基本结论1、非退化线性替换保持实二次型的正定(负定、半正定、半负定、不定)性不变.
28负定(半负定).2、实二次型正定(半正定)3、实二次型f(x1,x2,…,xn)=X´AX正定A与E合同,即存在可逆阵C,使A=C´C.f的正惯性指数p等于nA的各级顺序主子式全大于零.实对称矩阵A半正定4、实对称矩阵A正定
29存在,使5、实二次型f(x1,x2,…,xn)=X´AX半正定A与非负对角阵合同,即存在可逆矩阵C,使秩f=秩(A)=p(正惯性指数)A的所有主子式全大于或等于零.