定长对定角问题

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定长对定角问题(2016·安徽)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为() A. B.2ﻩC.ﻩ  D.【解析】∵∠PAB=∠PBC,∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90°∴∠P=90°保持不变,同时∠P所对边AB保持不变,所以点P在以AB为直径的圆上运动如下图,∴当点P在CO连线段上时,CP最短AO=OP=OB=3,CO=,∴CP最小值为5-3=2.故选B。如图,在边长为的等边△ABC中,AE=CD,连接BE、AD相交于点P,则CP的最小值为___________.

1【解析】由AE=CD,∠ACD=∠BAE=60°,AC=BC,可得△BAE≌△ACD,∴∠DAC=∠ABE,∵∠APB=∠DAC+∠BEA=∠ABE+∠BEA=180°—60°=120°,∴∠APB=120°保持不变,∠APB所对边AB也保持不变,所以点P在如图所示的圆上运动。∵∠APB=120°,∴∠AQB=60°,∴∠AOB=120°,OA=OB,∴∠OBA=30°,点O、C均在AB垂直平分线上,∴OC⊥AB,∴∠BOC=60°,∴∠OBC=90°,∵BC=2根号3,∴半径=OB=2,OC=4,∴最小值CP=OC-OP=4-2=2。(2013·宜兴模拟)如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H,设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为.

2【解析】如图,连接OI,PI,AI,∵I为△OPH内心,∴∠IOP=∠IOA,∠IPO=∠IPH,∴∠PIO=90°+∠PHO=90°+45°=135°,由OI=OI,∠IOP=∠IOA,OA=OP可知,△AOI≌△POI,∴∠AIO=∠PIO=135°,∴∠AIO保持不变,∠AIO所对边AO也保持不变,∴点I在如图所示的圆上运动。画出点P在点A与点B时I的位置,可知I的轨迹路径长为劣弧AO的弧长。∠AIO=135°,∴∠APO=45°,∴∠=90°,∴△为等腰直角三角形,由AO=2可得,半径==,∴弧长为

3等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为.答案:(点H在以BC为直径的圆上)2、直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点M、N,边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点,直线AN与MC相交与点P,若正方形绕着点O旋转一周,则点P到点(0,2)长度的最小值是.答案:(点P在以MN为直径的圆上)(2013·武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交

4BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_________.答案:(点H在以AB为直径的圆上)(2016·省锡中二模)如图,O的半径为2,弦AB=2,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是()A。1  B.2 C。  D. 答案:D(点C在以AB为弦的圆上)(2016·外国语模拟)如图,以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰△BCE,BE=BC,过E做EH⊥BC,点P是Rt△BEH的内心,连接AP,若AB=2,则AP的最小值为________.

5答案:π(点P在以BC为弦的圆上)(2013·江阴期中)如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为________.答案:(点F在以AC为直径的圆上)(2015·南长区二模)如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(7,3),点E在边AB上,且AE=1,已知点P为y轴上一动点,连接EP,过点O作直线EP的垂线段,垂足为点H,在点P从点F(0,)运动到原点O的过程中,点H的运动路径长为________.答案:(点H在以OE为直径的圆上)

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