拉普拉斯变换

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1、可一次求出全响应；2、可将微积分运算转换成乘除法运算；3、可将复杂的函数转换为简单的初等函数；4、可将卷积运算转换为乘积运算。同时可以引出系统的一个重要概念：系统函数。它是描述系统特性的重要概念拉普拉斯变换分析法的优点：

1若信号本身不满足绝对可积条件，其付立叶变换就不存在。为使信号收敛，用一叫做收敛因子的指数函数去乘且，就双向收敛只要§5.2拉普拉斯变换

2F则反变换：称为复变量称上式为信号双边拉普拉斯变换的定义式

3其中，则，或上式称为拉普拉斯反变换定义式。记为：正变换反变换

4单边拉普拉斯变换正变换反变换可用以下简单符号表示：拉普拉斯变换也叫广义傅立叶变换。通常称为的象函数，而称为的原函数。积分下限取

5工程中常遇到的信号是有始信号，今后讨论以单边拉普拉斯变换为主。平面，也叫复平面对应不同复变量复指数信号的变化模式。也称复变量为复频率。

6§5.3拉普拉斯变换的收敛域只有在此收敛域内取值时，信号的拉氏变换才存在，即F(s)才有意义，否则信号的拉氏变换不存在。信号与收敛因子相乘是否收敛，取决于两个因素：1、信号本身的收敛性；2、收敛因子中的取值，即复变量s实部的取值。我们把使满足绝对可积的的取值范围叫做信号的拉普拉斯变换的收敛域。

7对单边拉氏变换，信号满足绝对可积的条件是：根据信号本身的特性，总可以找到一个值,当时，上式成立。因此单边拉氏变换的收敛域为：收敛域的图示表示收敛轴收敛坐标收敛域S平面

8还要说明的是，凡是可以通过与指数收敛因子相乘而达到收敛的函数，通常都称为指数阶函数。电子技术中实际遇到的有始信号大都是指数阶信号且分段连续，因此这些信号的拉氏变换都存在，所不同的仅仅是收敛域的不同。至于双边拉氏变换的收敛域问题，可类推得到。

9拉氏变换是广义的付立叶变换，因此当信号绝对可积时，即其拉氏变换的收敛域包含虚轴时，信号的傅氏变换与拉氏变换有如下简单的互换关系：§5.4常见函数的拉普拉斯变换当信号不绝对可积时，信号的傅氏变换不存在，拉氏变换需根据定义式求解。以下讨论工程上常见的两类信号：t的指数函数，t的正冪函数，许多函数可由这两类函数派生得出。

10收敛域则即1、单位阶跃信号一、的指数函数

112、正弦信号3、余弦信号4、衰减正弦信号

125、衰减余弦信号7、双曲余弦信号6、双曲正弦信号

13二、t的正冪函数由定义：即：

14收敛域为整个s平面。利用上述结果有:三、冲激函数

15该方法适合于象函数为有理函数的情况，即：§5.5拉普拉斯反变换一、部分分式展开法（海维塞展开法）其中均为常数，和为正整数。1、的根无重根的情况假设的根为，因无重根则

16其中为待定系数。利用罗贝塔法则得到另一公式：上式两边同乘因子，并令即可求出。

17展开式中每个部分分式对应一个指数函数，即这里是单边拉氏变换。例：求的原函数。解：先化为真分式

18其中将F1(s)展开成部分分式和的形式：

19例：求的原函数。解：此象函数分母多项式的根是一对共轭复根，可象前例按单根的情况处理，此外还可根据常见拉氏变换对求其原函数。

202、有重根的情况假设是的阶重根，其余为单根，即可分解为:此时，像函数的部分分式展开式为：待定系数的求法同前，系数的求法如下：

21显然：上式两边同乘得：上式两边对求一次导数有：

22其余系数的求解公式为:系数确定之后，利用如下变换关系，就可以求出原函数：可求得：

23例：求的原函数。解：的根为（二阶）其中：

24即：

25例：求的原函数。解：此题可以简单的展开为：

26二、围线积分法（留数法）而拉氏反变换为：与留数定理比较，一个是广义积分，一个是围线积分。为利用留数定理，补一条弧线，与其构成闭合曲线，如图示：复变函数理论中的留数定理为：

27只要就可以应用留数定理，条件：满足约当辅助定理，即1、时，对于一致地趋于0；2、因子的指数部分的实部应小于，即

28假设已满足约当辅助定理，这样为单阶极点时：为p阶重极点时：

29例：用留数法求的原函数。解：的根为：（二阶）则

30由上述分析可以看出，一个象函数的原函数随时间的变化模式完全取决于的根，即象函数分母多项式等于0的根。称：使的值为象函数的极点，记为“”使的值为象函数的零点，记为“”将极点、零点绘到s平面上，所得到的图叫象函数F(s)的零、极点分布图，或简称为极零图。极点：（二阶）零点：

31象函数的极点在平面中的位置与原函数的时间模式的关系：1、负实轴上的单阶极点对应衰减指数信号；二阶极点对应；三阶极点对应，…；总收敛；2、左半平面内的共轭复极点，单阶对应或，也收敛；3、虚轴上的共轭复极点，单阶对应等幅正弦振荡信号或，重阶对应增幅振荡信号等，发散；4、右半s平面的任一极点，无论是单阶还是重阶，均对应发散的时间模式。零点对时间模式无影响。

32§5.6拉普拉斯变换的基本性质一、线性若则二、尺度变换若则其中三、时间平移若则其中，为常量。需要说明的是这里的严格讲应该是

33即：有始周期信号的拉氏变换：有始周期信号：则呈周期特性

34有始周期信号拉氏变换的收敛域为F1(s)的收敛域与>0的公共部分。其拉氏变换为：四、s域平移若则例如：则

35五、时域微分若则例：求导数的拉氏变换。解：1、用0－系统

36直接求拉氏变换为：利用性质求解：2、用0＋系统直接求拉氏变换为:利用性质求：

37六、时域积分若则七、复频域微分与积分若则八、对参变量的微分与积分若

38则九、初值定理设函数及其导数存在，并有拉普拉斯变换，则的初值为：若f(t)在处有冲激及其导数此时初值定理为：

39十一、卷积定理若十、终值定理则设函数及其导数存在，并有拉普拉斯变换，并且的极点均在平面的左半平面（包括原点处的单阶极点），则的终值为：

40§5.7线性系统的拉普拉斯变换分析法一、积分微分方程的拉普拉斯变换例：电路如图示，电路参数为：求响应电流i1(t)。解：列两个回路电压方程为：已知初始条件：方向如图示，

41对上面方程进行拉氏变换得：或代入参数：

42运用行列式可求得响应信号的象函数为：则响应信号为：

43首先求单个复指数信号单独作用到系统中的响应。则若是因果系统，则有：其中叫做线性系统的系统函数，或转移函数、传递函数等。二、从信号分解的角度看拉普拉斯变换1、零状态响应设

44由拉氏反变换定义知，任意信号可分解为无穷多个复指数信号和的形式，即说明由此可得出拉氏变换法求系统零状态响应的步骤为：1）求2）求系统函数3）求4）求

45网络的s域模型：系统函数的求解方法：1）2）从网络结构中求解S域模型满足欧姆定律，因此可以直接根据网络结构利用欧姆定律求出系统函数

46且对微分方程拉氏变换后得：求，即求激励信号为单位冲激信号时，零状态响应的拉氏变换，3）从系统的微分方程直接列写系统函数以二阶系统为例。阶系统：

47例：电路如图示。元件参数：求：零状态响应已知解：单独作用：

48代入参数得：则单独作用：

49则最后两个激励信号同时作用的响应为：1）等效激励源法或2、零输入响应

50或由上可见，电容、电感中的初始储能，均可等效为阶跃电压源、阶跃电流源、冲激电压源或冲激电流源，再利用求零状态响应的方法就可求出在这些等效激励源作用下的响应，从而求出零输入响应。

51例：（前例）电路如图示，初始条件：方向如图示，解：先求零状态响应，电路参数为：已知求响应电流

52再求零输入响应，首先将电容两端的初始电压等效为阶跃电压源位置、方向均与外加激励相同，所以产生的响应为电感中的初始电流等效为冲激电压源

53零输入响应：全响应:例：电路如图示，初始条件方向如图示，电路参数为：设开关S在时闭合，求通过电容C1的响应电流。

54解：将电容两端的初始电压等效为激励源

55例：已知激励初始条件系统的转移函数为：由系统的转移函数知系统的特征根为：2）冲激响应不变法初始条件均可等效为冲激源，因此零输入响应的变化模式应与冲激响应相同，而冲激响应的模式又取决于系统函数的极点，因此零输入相应的模式也取决于系统函数的极点，所以只要确定了系统函数的极点，就可确定零输入响应的模式，该方法叫冲激响应不变法求系统的响应信号，并标出受迫分量与自然分量，瞬态分量与稳态分量。解：1）求零输入响应

56代入初始条件：解得：3)全响应受迫分量自然分量瞬态分量稳态分量为02）求零状态响应

57§5.8线性系统的模拟线性系统模拟的三种基本运算单元：加法器、乘法器、积分器加法器：乘法器：积分器：

58初始条件不为0时的积分器：

59一、直接型模拟框图一阶系统：或二阶系统：或

60n阶系统：或系统微分方程中包含激励的导数项的情况：例如，二阶系统：

61这样将一个方程转换为两个方程，然后在一张图上将两个方程同时作出来。此时引进一个辅助函数，并令其满足方程则利用方程两边平衡的原则，一定有：同理可以作出n阶系统的模拟框图。

62二、并联型模拟框图与串联型模拟框图当系统的阶数比较高时，往往以若干低阶系统的串联或并联实现，例如下面的二阶系统：其中说明一个二阶系统可以由两个一阶系统的并联实现，而每一个一阶系统都可以用三种基本运算单元进行模拟：并联型模拟框图

63此结论可推广到n阶系统。同理还可得出串联型模拟框图。其中系统函数可以写成两个子系统函数的乘积，反映在结构上是串联

64各种模拟方式的特点：直接型：不易控制系统的零极点，高阶系统容易产生不稳定。并联型：能控制系统的极点，不能控制零点，各子系统间不易干扰。串联型：能控制系统的零极点，前级系统的误差对后级系统有影响。此结论可推广到高阶系统。

65§5.9连续时间系统的系统函数零状态响应的拉氏变换激励信号的拉氏变换激励信号、响应信号可以是电流，也可以是电压，系统函数有不同的量纲。系统函数/转移函数/传递函数定义如下

661.策动点函数（输入函数）：激励和响应在同一个端口两者互为倒数关系。输入阻抗：输入导纳：

67电流传输函数2.传输函数（激励与响应不在同一端口时）电压传输函数3.转移函数（激励与响应不在同一端口时）转移阻抗函数转移导纳函数

68从系统综合角度从分析系统的角度从时域描述系统特性从频域描述系统特性从复频域描述系统特性

69实系统的系统函数一般形式是一个有理分式，即系统函数三种表示方法：频率特性曲线、复轨迹和极点零点分布图。一系统函数的表示法1.频率特性（即系统的频率响应特性）

70例如：则所以0从曲线上，可一目了然地看出系统的频率特性。

71在通信、控制以及电力系统中，一种重要的组成部件就是滤波网络，而滤波网络的研究就需要从它的频响特性入手分析。有时，频响特性曲线是在对数尺度的坐标轴中作出，称这种图为波特图。所谓“系统频响”是指系统在正弦信号激励之下，稳态响应随信号频率的变化情况。

72系统函数可以表示成有理函数的形式，即2.极点、零点图(Pole-ZeroPlot)显然极点零点

73例如：极点：零点：系统函数的零极点分布图0S平面

74二系统函数的极零点分布及稳定1系统函数极零点分布及其时域模型若说明在无穷大处有一阶零点；说明在无穷大处有一阶极点；有限s平面的零极点：共轭特性无穷远处零极点：若

75因为所以，系统函数的极点在S平面中的位置就决定了其时域模式：

76三、系统的稳定及其条件1.从时域看说明系统稳定，其中为有限值稳定系统：对于有界的激励信号产生有界的响应信号；(StableSystems)不稳定系统：对于有界的激励信号产生无限增长的响应信号。(UnstableSystems)

77除个别孤立的冲激函数外，单位冲激响应都应是有限的，即M是有限的正实数结论：系统的单位冲激响应信号必须满足绝对可积的条件，这不但是系统稳定的充分条件，也是系统稳定的必要条件。（A）

78满足这种条件的稳定系统称为渐近稳定系统。2.从复频域看系统稳定，h(t)满足绝对可积条件，意味着H(jw)存在，也意味着H(s)的收敛于包含虚轴，无论因果、非因果。

79因果系统稳定要求H(S)的零、极点分布必须满足：在右半平面不能有极点；若说明在无穷大处有一阶零点；说明在无穷大处有一阶极点；由前面分析知在虚轴上的极点必须是单阶的。(对应临界稳定系统)若

80反馈系统——输出或部分输出反过来馈送至输入，从而引起输出本身变化的系统。简化的反馈系统的方框图如下：四、反馈系统(LinearFeedbackSystems)称为开环增益(Opened-loopSystemFunction)整个系统的系统函数称为闭环系统函数，由框图得Closed-loopSystemFunction

81五、系统函数的极点、零点与系统频响特性的关系系统函数：频率响应：

82所以幅频特性相频特性

83该网络的幅频特性为一常数，说明网络对各种频率的信号一视同仁地传输，所以称为全通，而相频特性不同的零极点分布有所不同，这种网络通常用作相位校正。由系统函数的极零点分布情况可定义出以下几种网络：全通网络(All-PassSystems)：系统函数的极点与零点关于虚轴对称，这种网络的系统函数称为全通函数。0

84最小相移函数：系统函数的极点与零点均在S平面的左半平面，相应的网络称为最小相移网络。顾名思义，所谓最小相移网络是指网络产生的相移最小。非最小相移函数：S平面的右半平面有零点。最小相移网络非最小相移网络

85本章小结：基本概念——拉普拉斯变换，复频率，收敛域，极零图，系统函数，等效激励源，模拟框图，系统函数的零极点分布图，稳定系统，最小相移系统，全通网络。基本运算——拉氏变换的求解，拉氏反变换的求解，常见信号的拉氏变换，拉氏变换的性质，连续时间系统的复频域分析，连续时间系统的三种模拟框图，系统稳定性判断。