数学常考题型总结

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1、2013届钻石卡学员九月份测试复习指导课第一部分高等数学【题型一】数列的极限1．夹逼准则；2．单调有界准则；3．定积分的定义；4．转化为函数的极限1⎡⎛⎞22⎛⎞⎛⎞2⎤n12n【例1】求极限lim⎢⎜⎟1++⎜⎟1?⎜⎟1+⎥.222n→∞⎣⎝⎠nn⎝⎠⎝⎠n⎦【题型二】函数的极限2xu⎛⎞∫∫⎜arctan(1+t)dt⎟du00⎝⎠【例2】求极限lim.x→0x(1−cosx)【题型三】讨论函数的连续性与间断点的类型3⎧xx−⎪,0x<⎪sinπx【例3】求函数fx()=⎨的间断点.并判断其类型.⎪ln1()++xxsin1,≥0⎩⎪2−x11【题型四】导数的概念及计

2、算⎧ax−cos,0x>⎪2x⎪【例4】设fx()==⎨c,0x.处处连续，问f(x)在点x=0处是否可导，如可导，⎪bxt2⎪∫edtx,0<⎩x0求f′()0.【题型五】有关中值定理的相关证明ln⎡⎤⎣⎦fx()+2【例5】设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且lim=0，又x→1πcosx23f()22=∫2fxdx()，证明：存在ξ∈(0,2)，使得ff′′′()ξ+()0ξ=.1【例6】设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,a和b为任意正数.证明：a（Ⅰ）至少存在一点c∈(0,1)，使fc()=.ab+a

3、b（Ⅱ）在(0,1)内必存在ξ≠η，使+=+ab.ff′′()ξη()2【题型六】极值、最值、凹凸区间和拐点−x【例7】求f()xx=e极值点和拐点.【题型七】不定积分的计算1.第一换元法；2.第二换元法；3.分部积分法.xarctane【例8】dx.∫2xe⎧⎪1,0,3【题型八】定积分等式的证明1.积分学的方法：换元法、分部积分法；b2.常数变易法∫f(),xdxb→x，转化为函数等式的证明a3.微分中值定理ππ【例10】设函数f()x在[0,]π连续,且∫∫f

4、xdx()=0,fx()cosxdx=0.试证：在(0,)π内00至少存在两个不同的点ξ,ξ，使得ff()()0.ξ=ξ=1212【题型九】讨论多元函数连续性、可导性、可微性之间的关系⎧xy2222⎪sin(xyxy+),+≠0,【例11】二元函数fxy(,)=⎨xy22+在点(0,0)处（）⎪22⎩0,xy+=0,（A）连续、偏导数不存在.（B）偏导数存在但不可微.（C）不连续、偏导数存在.（D）不连续、偏导数不存在.【题型十】求条件极值1.拉格朗日乘数法；2.化成无条件极值.222【例12】求函数M=xy+2yz在约束条件xyz++=10下的最大值和最小值.4【题型十一

5、】求最值【例13】已知函数zfxy=(,)的全微分dz=2xdx−2ydy，并且f(1,1)=2.求f(,)xy在22y椭圆域D={(x,y)x+≤1}上的最大值和最小值.4【题型十二】二重积分的计算2πR222λθrcos【例14】Dx=+{(,)yxyRR≤,>0}，常数λ≠0.则积分∫∫deθ(−00−λθrsiner)dr的值（）(A)为正.(B)为负.(C)为零.(D)当λ>0时为正，当λ<0时为负.02yy+−44【例15】交换积分次序∫∫dyfxydx(,)+∫∫dyfxydx(,).−2000222【例16】计算I=+∫∫(),xydxdyDay:≤+≤>x

6、y20aya().D5【题型十三】数项级数敛散性的判别∞∞【例17】设有命题：（1）若∑an收敛，则∑a2n收敛；n=1n=1∞∞an+1（2）若∑an为正项级数，<1(n=1,2,3,?),则∑an收敛；n=1ann=1∞∞un（3）若极限lim=l≠0,且∑vn收敛，则∑un收敛；n→∞vnn=1n=1∞∞∞（4）若wn

7、十五】曲线曲面积分的计算22【例19】求I=−∫∫yzxzdd++(1)ddxy，其中∑为圆柱面xy+=4，被平面∑xz+=2和z=0所截得部分的外侧．6第二部分线性代数【题型一】矩阵行列式*−1*【例20】设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A=12，则(3)A−2A=.【题型二】线性相关性的判定【例21】已知n维向量α,,,αα?可由β,,,ββ?线性表示，且α,,,αα?线性无关，12s12s12s证明β,,,ββ?是线性无关的，且可由α,,,αα?线性表示．12s12s【题型三】向量组的线性表示TTT【例22