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1、谱估计基础及仿真分析0引言现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域,发挥了重要作
2、用。一相关的数学基础1.1概率论：1.1.1多维高斯分布高斯分布公式：(1)准则为：内68.26%；：95.44%；：99.74%。向量的形式的公式为：(2)其中；(3)1.1.2mont-carlo仿真为指数分布，瑞利分布，还有正交的高斯分布等。1.2随即过程平稳随即过程：多维联合概率密度和时间起点无关，狭义的平稳。数字特征：相关函数：(4)协方差：(5)广义的平稳：，(6)各态历经性：时间平均代替集平均。平稳的功率谱：维纳－辛钦定理(7)(8)能量有限；有限不连续点等条件才能傅立叶变换成立。下面给出几种随即过程：白噪声；只跟自
3、己相关。随相正弦波；(9)高斯随机过程完备表达式。平稳白高斯的(10)1.3数理统计1.3.1参数估计无偏性：有效性：CRB：(11)一致性：1.3.2方法1数字特征法(12)(13)2最大似然估计使似然函数最大的估计方法：(14)(15)从理论出发，渐近无偏；渐近有效；渐近高斯；不变性。最大似然估计高斯分布的均值和方差：(16)，有偏的，渐近无偏的。1最小二乘估计已知样本模型和样本解方程：准则：，可以看作广义逆。2线性最小均方误差估计线性样本组合求(17)二：经典谱估计傅立叶变换(18)时间离散化：DTFT(19)离散DFT(2
4、0)功率谱估计经典的功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。经典功率谱估计方法分为：相关函数法、周期图法以及改进的周期图估计法即平均周期法和平滑周期图法；2.1相关函数法该方法先由序列估计出自相关函数R，然后对其进行傅立叶变换，得到功率谱估计。当延时和数据长度相比很小的时候可以有良好的估计精度。Fs=500;%采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n));nfft=512;cxn=xcorr(xn,'unb
5、iased');%计算序列的自相关函数CXk=fft(cxn,nfft);Pxx=abs(CXk);index=0:round(nfft/2-1);k=index*Fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));figure(1)plot(k,plot_Pxx);图1相关函数功率谱估计2.2周期图法把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。Fs=600;%采样频率n=0:1/F
6、s:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));window=boxcar(length(xn));%矩形窗nfft=512;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法plot(f,10*log10(Pxx));window=boxcar(length(xn));%矩形窗nfft=1024;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法figure(1)plot
7、(f,10*log10(Pxx));图2周期图法功率谱估计2.3平均周期图法和平滑平均周期图法对于周期图的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。两种改进的估计法是平均周期图法和平滑平均周期图法。Bartlett法：Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。fs=600;n=0:1/fs:1;xn=cos(2*pi*20*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n));nfft=512;window=hamming(nff
8、t);%矩形窗noverlap=0;%数据无重叠p=0.9;%置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p);index=0:round(nfft/2-1);k=index*fs/nfft;plot
