自动控制原理 第2章习题解答

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1、第2章控制系统的数学模型习题及解答2-1已知质量-弹簧系统如题2-1图所示，图中标明了质量和弹簧的弹性系数。当外力F(t)作用时，系统产生运动，如果在不计摩擦的情况下，以质量m2的位移y(t)为输出，外力F(t)为输入，试列写系统的运动方程。x(t)y(t)z(t)x(t)mk1k2Ffy(t)m1k题2-1图题2-2图解：设质量m1的位移量为x(t),根据牛顿第二定律有2dym22=k1(x−y)-k2y①dt2dxm12=F−k1(x−y)②dt①式可以写作2dym22=k1x−(k1+k2)y③dt由①式也可以得到2dyk1(x−y)=m22+k2y④dt③式两端同时求二阶

2、导数，可得422dydxdym24=k12−(k1+k2)2⑤dtdtdt将②、③式代入⑤式中，整理可得42dy(m1+m2)k1+m2k2dyk1k2k1m24+2+−y=Fdtm1dtm1m12-2求题2-2图中由质量-弹簧-阻尼器组成的机械系统，建立系统的运动方程。其中，x(t)为基底相对于惯性空间的位移，y(t)为质量相对于惯性空间的位移。z(t)=y(t)-x(t)为基底和质量之间的相对位移，z(t)由记录得到，x(t)和z(t)分别为输入量和输出量。解：应用牛顿第二定律可得2dydz(t)m=−kz−f2dtdt将z(t)=y(t)-x(t)代入上式，整理可得22dz

3、dzdxm+f+kz=−m22dtdtdt12-3试求题2-3图所示无源RC电路的微分方程，其中ui(t)为输入量，uo(t)为输出量。+uc(t−)C1R1C++++++R1R2R1R2uiR2uoui+uoui+uoCu(t)C2uc2(t)c−−−−−−−−(a)(b)(c)题2-3图解：（a）引入中间变量uc(t)表示电容器两端的电压。根据基尔霍夫电流定律有du11cC+u=ucodtRR12根据基尔霍夫电压定律有u=u−ucio联立消去中间变量，可得描述输入量ui(t)和输出量uo(t)之间关系的微分方程为duR+Rdu1o12iC+u=C+uoidtRRdtR121（

4、b）引入回路电流i(t)和电容器两端的电压uc(t)作为中间变量，根据基尔霍夫电压定律有Ri+u=u1oi另有电容元件的元件约束关系方程dui=Ccdt和u=u−Rico2联立求解，消去中间变量可得duR+Rdu1o12iC+u=C+uoidtRRdtR121（c）设电容器C2两端的电压为uc2(t)，根据基尔霍夫电流定律有d(u−u)1duioc2C+(u−u)=C①1io2dtRdt1求导可得22d(u−u)1d(u−u)duioioc2C+=C②1222dtRdtdt1另有输出支路电压方程duc2RC+u=u22c2odt等式两边求导有2dududuc2c2oRC+=③22

5、2dtdtdt2将①、②代入③式，整理可得2duRC+RC+RCdu1o112212oRC++u21odt2RCdtRC12122duRC+RCdu1i1122i=RC++u21idt2RCdtRC12122-4试求题2-4图所示有源RC电路的微分方程，其中ui(t)为输入量，uo(t)为输出量。CC1R2C2−+RRuc(t)2+1R1－++－ui(t)＋u(t)u(t)+oi＋uo(t)R0R0（a）（b）题2-4图解：（a）设电容器C2两端的电压为uc2(t)（如图所示），根据基尔霍夫电流定律有du1duic2C1+ui+C2=0①dtRdt1可以导出duC1du1c1i=

6、−−u②idtC2dtR1C2上式求导可得2C2du1du1duc1ii=−−③22dtC2dtR1C2dt根据支路电压定理可得duc2RC+u=u22c2odt等式两边同时求导有2dududuc2c2oRC+=④222dtdtdt将②、③式代入④式中，消去中间变量可得2duduRC+RCdu1o=−RCi−1221i−u21idtdt2RCdtRC1212（b）根据基尔霍夫电流定律有1du1ou+C+u=0ioRdtR12写成标准形式有du11oC+u=−uoidtRR213令T=RC，可将微分方程重新整理，得2duRo2T+u=−uoidtR12-5写出题2-3和题2-4中各

7、电路的传递函数。解:根据微分方程可以直接写出传递函数R2(RCs+1)1U(s)(R+R)o12G(s)==2−3(a)Ui(s)R1R2Cs+1(R+R)12U(s)RCs+1o2G(s)==2−3(b)U(s)(R+R)Cs+1i12U(s)(RCs+1)(RCs+1)o1122G(s)==2−3(c)2U(s)RCRCs+(RC+RC+RC)s+1i1122112212U(s)(RCs+1)(RCs+1)o1122G(s)==−2−4(a)U(s)RCsi12U(s)R1o