三角函数解题技巧和公式_已整理

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1、数学浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：一、关于sina±cosa与sin acosa(或sin 2 a)的关系的推广应用：2221、由于(sina±cos a)=sina+cos a±2sinacos a=1±2sinacos a故知道(sina±cosa)，必可推出sinacosa(或sin 2 a)，例如：3 33例1已知sinq-cosq=,求sin q-cosq。3 3322分析：由于si

2、nq-cos q=(sinq-cos q)(sinq+sinqcos q+cos q)2=(sinq-cos q)[(sinq-cos q)+3sinqcos q]其中，sinq-cos q已知，只要求出sinqcos q即可，此题是典型的知sinq-cosq，求sinqcosq的题型。2解：∵(sinq-cos q)=1-2sinqcos q3 21 1 故：1 -2 sin qcosq=()=Þsin qcosq=3 3 3 332sinq-cos q=(sinq-cos q)[(sinq-cos q)+3sinqc

3、os q]3 3 21 3 1 4 =[()+3 ´]=´=3 3 3 3 3 3 9 2、关于tgq+ctgq与sinq±cosq，sinqcosq的关系应用：22sin qcosqsin q+cosq1 由于tgq+ctgq=+==cosqsin qsin qcosqsin qcosq故：tgq+ctgq，sinq±cos q，sinqcosq三者中知其一可推出其余式子的值。例2若sinq+cosq=m2，且tgq+ctgq=n，则m2n的关系为（）。222222A．m=nB．m=+1C．m=D．n=nn2m分析：观

4、察sinq+cosq与sinqcosq的关系：22(sin q+cosq)-1 m-1 sinqcosq==2 2 1 数学1而：tgq+ctgq==nsinqcos q2m -1 1 22 故：=Þm =+1 ，选B。2 n n 例3已知：tga+ctga=4，则sin2a的值为（）。1111A．B．-C．D．-224411分析：tga+ctga==4Þsinacos a=sinacos a41故：sin2a=2sinacos aÞsin2a=。答案选A。244例4已知：tga+ctga=2，求sina+cosa44分

5、析：由上面例子已知，只要sina+cosa能化出含sina±cosa或sinacosa的式子，1则即可根据已知tga+ctga进行计算。由于tga+ctga==2Þsinacos a144sinacos a=，此题只要将sina+cosa化成含sinacosa的式子即可：244442222解：sina+cosa=sina+cosa+2sinacosa-2sinacosa2222=（sina+cosa）-2sinacosa2=1-2(sinacosa)12=1-2´()21=1-21=2通过以上例子，可以得出以下结论：由于

6、sina±cos a，sinacosa及tga+ctga三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sinacosa，求含sina±cos a的式子，必须讨论其象限才能2得出其结果的正、负号。这是由于（sina±cos a）=1±2sinacosa，要进行开方运算才能求出sina±cos a二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tga（或ctga）与含sina（或cosa）的式子的互化中，本文

7、把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：sina-3cos a例5已知：tga=3，求的值。2sina+cos asina分析：由于tga=，带有分母cosa，因此，可把原式分子、分母各项除以cosa，cos a“造出”tga，即托出底：cosa；2 数学p解：由于tga=3Þa¹k p+Þcos a¹02sinacos a-3×cos acos atga-33-3故，原式====0sinacos a2tga+12´3+12×+cos acos a2例6已知：ctga=-3，求sinacosa-cosa=?cosa

8、cos a分析：由于ctga=，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，sinasina22式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：sin a+cosa=1 及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sina，造出ctga：2222sin acosa-cosa解：sina+cosa=1 Þsin