3年高考2年模拟1年原创备战2019高考精品系列之数学(江苏版)选做01几何证明选讲(解析版)

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理科选做部分专题1几何证明选讲【三年高考全收录】1.【2019高考江苏】如图，在△ABC中，/ABC90。，BD丄ACD为垂足，E是BC的中点.求证：/EDC/ABD【答案】详见解析【解析】1试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质DE=丄BC=EC,再由NEDC=NECD,2ECD与DBC互余，ABD与DBC互余，得ABD二ECD，从而得证.试题解析：证明：在△ADB和厶ABC中，因为ABC=9。，BD_AC,A为公共角,所以△ADBs△ABC，于是.ABD在RtABDC中，因为E是BC的中点，所以ED=EC，从而•EDC=/C.所以EDC=/ABD.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：（1）找两对内角对应相等；（2）若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；（3）若无角对应相等，就要证明三边对应成比例.2•利用相似三角形的性质实行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用.2.【2019江苏高考，21】如图，在ABC中，AB=AC,ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D求证：ABDs.：AEB

1E（第21A题）【答案】详见解析【解析】试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到"5口=艺咼又公共角作匹，所以两三角形相似试题解析：因^AB=AC,所WZABD=ZC.又因为ZC=ZE,所以ZABD=ZE，XZBAE为公共角、可知iABDsAAEB+【考点定位】相似三角形3.【2019高考天津理数】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED则线段CE的长为.,在圆中A5C£ADAE,【答案】-3【解析】试题分析：设CE=x,则由相交弦定理得DECE^AEBE,DE=-r^BD=DE=-,所以

2考点：相交弦定理AC=AE=\?因为-仏罡直径，则呂C=二.4D

3【名师点睛】1.解决与圆相关的成比例线段问题的两种思路（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形t比例式t等积式”•在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.2•应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆相关的相似三角形等.4.【2019高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲1如图，△OAB是等腰三角形，/AOB120。.以0为圆心，0A为半径作圆•2（I）证明：直线AB与|0相切；（II）点CD在O0上,且AB,CD四点共圆，证明：AB//CDAB【答案】（I）见解析（II）见解析【解析】1试题分析：（I）设E是AB的中点，先证明•AOE=60,进一步可得OEAO,即O到直2线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与OO相切.（II）设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO',证明OO'_AB,OO'_CD•由此可证明AB//CD.试题解析：（I）设E是AB的中点琏结OE,因为OA=OB,.AOB-120,所以OE_AB,AOE二60.1在RWE中，OE=2AO,即°到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与0O

4相切.

5(II)因为OA^2ODf所以O不罡具及GD四点所在圆的圆心，设0是4罠UD四点所在圆的圆心,作直线OO\宙已知得O在线段仙的垂直平分线上，又O在缄段血的垂直平分线上，所以OO'丄的.同理可证，0。」CD.所以AB"CD.考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”，熟悉相关定理与性质•该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理5.【2019高考新课标2理数】选修4-1:几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF_CE，垂足为F.(I)证明：B,C,G,F四点共圆；(n)若AB=1,E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.【答案】(I)详见解析；(n)1.2【解析】

6试题分析：(I)证ADGF〜ACBF,再证卫DGF~ACBF,可得zCGF+NCBF=180°,即得B,C,G,F四点共圆；(n)由由B,C,G,F四点共圆，可得FG_FB,再证明RtBCG、RtUBFG,根据四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍求得结论试题解析；⑴因为DF丄EC,所ADEF-ACDFt则有J/GDF=ZDEF=^FCB.—=—=—^CFCDCB所以ADGF、SCBF,由此可得ZDGF=ZCBF,由此ZCGF+ZCBF二180［所以,ECG_F四点共凰(II)由B,C,G,F四点共圆，CG_CB知FG_FB，连结GB，由G为RtDFC斜边CD的中点，知GF二GC,故RLBCG•-RtBFG,所以四边形BCGF的面积S是.GCB面积SGCB的2倍，即S=2Sgcb考点：三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边•证明线段乘积相等的问题一般转化为相关线段成比例问题•相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等.6.【2019高考新课标3理数】(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图JO中AB的中点为P，弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(I)若•PFB=2.PCD，求.PCD的大小；(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG_CD.【答案】（I）60；（n）见解析.

7【解析】试題分析：＜1）根据条件可证明ZPFB三"CD是互补的，然后结合"FB=2£PCD与三角形内角和定理』不难求得"CD的大小j（11）由（I）的证明可C.ET.D四点共圆，然后根掳用线段的垂直平分线知G为四边形CEFD的外接圆圆心，则可知G在线段CD的垂直平分线上，由此可证明结果.试题解析；（I》连结加,水C」则ZBFD=APBA+ZBPD,ZPCD=ZPCB+ZBCD.因为AP^BP｝所^APBA^ZPCB,又QPD=/CD,ABFD=ZPCD・又ZPFD+ZBFD=180°:APFB=2ZPCD?^3ZPCE）=180%因此£PCD=60°.（n）因为.PCD=/BFD，所以.PCD•.EFD=180，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，所以OG_CD.考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆.【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过持续的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等.7.【2019高考湖北，理15】如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB,ABAC

8B1【答案】'2【解析】因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理知,222PA=PB卩C=PB(PBBC)，因为BC=3PB，所以PA=4PB，即PA=2PB,由PABs：PCA，所以ABPB1AC一PA一28.【2019高考新课标2，理22】如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆0与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G,与AB、AC分别相切于E、F两点.A(I)证明：EF//BC;(n)若AG等于0的半径，且AE二MN二2.3,求四边形EBCF的面积.【解析】(I)因为ABC是等腰三角形，AD_BC，所以AD是.CAB的平分线.又因U为0分别与AB、AC相切于E、F两点，所以AE=AF,故AD_EF•从而EF//BC.(n)由(I)知，AE=AF,AD_EF，故AD是EF的垂直平分线，又e[|是0的弦，所以0在AD上•连接0E,0M，则0E—AE•由AG等于0的半径得A0=20E,所以•0AE=30°•所以ABC和AEF都是等边三角形•因为AE=2、、3，所以A0=4,0E=2.1厂1%因为0M=0E=2,DM=MN，所以0D=1.于是AD=5,AB•所23

91以四边形EBCF的面积12.316、、3X=239.【2019高考陕西，理22】如图，厶U切0于点三，直线=D交0于D，上两点，2C_D,垂足为C.(I)证明：•C2D;(II)若ZD=3DC,2C=£2屮0的直径.【解析因为DE为圆O的直径,则Z5£D+ZEDB=90=,又BC_DE,所以乂CBD+ZEDB=90\从而ZCBD=ZBED.又AB切圆O于点B,得ZDBA=ZBED,所以ZCBD=ZDBA.(II)由＜1)知BD平分ZCBA,则—=—=3,又爪而肿=3近,所以BCCDAC=4^-SC2=4,丽儿4D£・由切割线定理得曲丄AD即.^=—=6,故ADDE=AE-Q=3,即圆O的亘径为3.10.【2019高考新课标1,理22】如图，AB是IO的直径，AC是IO的切线，BC交IO于E.(I)若D为AC的中点，证明：DE是IO的切线；(H)若OA3CE，求/ACB的大小.【解析】(I)连结AE由已知得，AE±BCAC丄AB在Rt△AEC中，由已知得DE=DC:丄DEC/DCE

10连结0E/OBE/OEB•••/ACE+/AB(=90°,「./DEC/OEB90。，：/OED90°,「.DE是圆O的切线•(n)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2、、3,BE「12-x2,由射影定理可得，AE^^EBE,•••x2=Jl2-x2，解得x=T3,.・./ACB60°11.【2019高考湖南，理16】如图，在圆0中，相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M直线M0与直线CD相交于点F,证明:(1).MEN.NOM=180；(2)FEFN二FMF0【解析】(1)如图a所示，•/M,即.OME=90,.ENO=90N分别是弦AB,CD的中点，•0M_AB,ON_CD,OME•.ENO=180，又四边形的内角和等于360故.MEN.NOM=180；(2)由(I)知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得FEFN二FMFO

11c閤a12.【2019高考湖南卷第12题】如图3,已知AB,BC是O的两条弦，AO_BC,AB=3,BC=2J2，贝UO的半径等于.B3【答案】32【解析】设^殳AO交EC于点D延长AO交圆与另外一点£?因为AO丄肥且AO为圆半橙阡MBD=DC=y/lI由三角形屈Q的勾股定理可得^=1,由戏害應定理可得BD-DC=.W-Z)£=>P£=2,则直径”匹二3=>尸二上,故埴三•BE13.【2019高考辽宁理第22题】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A作弦AB垂直EP垂足为F.(I)求证：AB为圆的直径;

12(H)若AC=BD,求证：AB=ED

13[f【解析】（I）因为Pt=PG所以/PD（=ZPGD因为PD为切线，故/PDA/DBA又因为/PGDZEGA故/DBA=/EGA所以/DBA/BAD/EGA/BAD从而/BDA=/PFA因为AF垂直EP,所以/PFA=90。，于是/BDA90°，故AB是直径.（n）连接BC,DC因为AB是直径，故/BDAf/ACB=90°，在Rt△BDAfRt△ACB^,AB=BAAOBD从而Rt△BDA^Rt△ACB于是Rt△BDAf/DAB/CBA又因为/DCB/DAB所以/DCB/CBA故DC/AB因为ED是直径，由（I）得EDAB14.【2019高考全国2第22题】如图，P是e0外一点，PA是切线，A为切点，害熾PBC与eO相交于点B,C,PC=2PAD为PC的中点，AD的延长线交e0于点E.证明：（I）BE=EC（n）ADDE=2PB2

14【解析】(1)连结AB,AC,由题青知P加PD「故"且D二厶因7^ZPDA=ZDAC+aDCA,APAD=Z5.1D+ZA4B,ADCA=APABf所以ADAC=,从而BE=ECf因此BE=EC.(Il)由切割线走理得：P.^=PBPCf因^PC=2PAf所^PA=2PB,PC=4PB.由相交弦走理得：ADDE=BDDC=(PD-PB)FD二(片尸C-FB)1PC22之2丹-円)2丹"丹S所汰等式成立+15.【2019高考全国1第22题】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB二CE•(I)证明：.D=/E；(n)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB二MC，证明：ADE为等边三角形•【解析】(I)由题设知A,B,C,D四点共圆，所以•D=/CBE•由已知得•E=/CBE,故.D—E•(II)设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN_BC，故O在直线MN上.又AD不是O的直径，AD的中点为M，故OM_AD，即MN_AD•所以AD//BC,故A=CBE•又E=CBE，故.E-A•由(1)知，•D-E，所以ADE为等边三角形•

15【2019年高考命题预测】纵观2019各地高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查相关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2019年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的水平.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为：线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆相关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,所以比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质能够大大简化证明相关几何题的推证过程.与圆相关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2019年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为：①相似三角形的定义与性质；②平行线截割定理；③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质；⑦相交弦定理；⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理；⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

16推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.2•平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3.相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似⑵性质定理:内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1•判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；⑵若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；⑶若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.2•借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；⑵有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边.3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边•在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到•相似三角形的性质可

17用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等.

185••在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”•证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：acab一-a+bcd_a—bc-dabcd右,则①二，；②ad=bc；③;④⑤bdcdbdbda-bc-d⑥a=ac.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法.【考点针对训练】1.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH/BE连接ED并延【解析】•••AH//BEHLAFhe"abHF1•••AB=4AF,•••he=4,•••HE=8,「.HF=2.TAH/BE,HD腿•/D是AC的中点,H皆1.tHE=H內DE=8,•••HD=4,•••DF=HD-HF=4-2=2.2.如图，在Rt△ABC中，/BAC=90°,AC^BC于DDF!AC于F,DELAB于E,求证:(1)AB-AC=BC-AD(2)AD=BC-CF-BEBC【解析】⑴在Rt△磁中，ADkBC,:•A€=^C-AD.:.AB-AC=BC-AD.

19(2)Rt△砂中，恥丄由射影定理可得.时二匪'聽,同理Clf-CF・ACr：3*M二匪，曲、CF、又在毗△册巴中』AD]_BCf：.廳=他-：3=肛■AB-CF-AC?又朋-AC=BC•AD.即肿二庞・IF、BL【考点2】圆的相关问题【备考知识梳理】1.圆周角定理⑴圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.⑶圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.2.圆内接四边形的性质与判定定理⑴性质：定理1:圆内接四边形的对角互补.定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.⑵判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆.3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个dvr相切一个d=r相离无d>r(2)圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相

203.弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.4.与圆相关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦ABCD相交于圆内点P(1)PA-PB=PC-PD⑵△ACP^△DBP(1)在PAPBPCPD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切O0于A,PBC是O0的割线(1)pA=PB-PC⑵△PAB^APCA(1)已知PAPBPC知二可求一；(2)求解ABAC割线定理◎PABPCD是O0的割线(1)PA-PB=PC-PD⑵△PAC^APDB(1)求线段PAPBPCPD及ABCD(2)应用相似求ACBD(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.⑵害熾定理：从圆外一点引圆的两条割线，这个点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.⑶切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.⑷切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这个点的连线平分两条切线的夹角.【规律方法技巧】1.与圆相关的比例线段：(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆相关的相似三角形等.(1)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆相关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.（3）相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幕定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等•当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交

21点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条.1.弦切角定理及推论的应用（1）圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小.⑵涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线（或半径）或向弦（弧）两端画圆周角或作弦切角.2.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也能够证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补.3.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径（或半径）或向弦（弧）两端画圆周角或作弦切角.4.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别.5.在平面几何的相关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似•在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦•如果有过公共点的切线就能够使用弦切角定理•在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向.【考点针对训练】1.如图，OO为四边形ABCD的外接圆，且AB=AD,E是CB延长线上一点，直线EA与圆0相切.求证：CDAs.ABE.

22o*(第21-Ag^)【解析】连结AC.叮&是圆0的切线…厶CB.-AB=AD,.\^ACD=^ACBr,\ZACD=^EAB,t圆◎是四边形曲仞的外接圆,—^ABE.・乂DQMEE■♦V2.如图，点C是OO直径BE的延长线上一点，AC是00的切线，A为切点，/ACB的平分线CD与AB相交于点D,与AE相交于点F.(I)求.AFD的值；AC(11)若AB=AC求一工的值.BC【解析】（I）：AC是00的切线，•••■B=/EAC，又•••DC是.ACB的角平分线，DCB二ACD,•DCB+B=ACDEAC,••ADF"AFD,又•••B|］是O的直径，••BAE=90°,•AFD=45°（n）•/AB=AC，二B=/ACB=EAC，由（I）得，.BAE二90°,•B+AEB二BACEEAC=3B=90°,•B=30,BCAB•••B=/EAC,ACB=ACB,•ACE^BCA,•AC二AE二tan300二仝.【两年模拟详解析】1.【江苏省苏中三市2019届高三第二次调研测试】如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且AB=AC，BC交圆O于点D过D作圆O切线交AC于点E.求证：DE_AC

23I凱川一A题｝【答案】详见解析【解析】证明：连结OD，因为AB二AC，所以.B.由圆O知OB=OD，所以.B二/BDO.从而.BDO二.C,所以OD//AC.又因为DE为圆O的切线，所以DE_OD,又因为OD//AC，所以DE—AC.2.【南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt△ABC中，AB=BC以AB为直径的OO交AC于点D,过D作DEBC垂足为E,连接AE交OO于点F.求证：BECE=EFEA【答案】详见解析

24【解析】证明：连接型因为曲为直径，所以.助丄因为所我挝尸皿因为MLffGABl^Cf所I次血廿吗所以CE^EB・因为曲是直径，也』G所以血是圆0的切线，所以BE—EFEA,即BECE=EF-EA.2.【江苏省南京市2019届高三年级第三次学情调研适合性测试数学】选修4—1:几何证明选讲如图，△ABC内接于圆O,D为弦BC上一点，过D作直线DP//AC,交AB于点E,交圆O在A点处的切线于点P.求证：△PA0ABDE【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以/PAB=ZACB因为PD/AC所以/EDB=ZACB所以/PAE=ZPAB=ZACB=ZBDE又/PEA=ZBED故厶PAE^^BDE3.［南京市2019届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2,P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点AH是OC的中点，AHLBC(1)求证：AC是/PAH的平分线；(2)求PC的长.

25【答案】（1）详见解析（2）2【解析】证明：⑴连接AB因为PA是半圆0的切线，所以/PAC=ZABC因为BC是圆0的直径，所以ABLAC又因为AHIBC所以/CAH=ZABC所以/PAC=ZCAH所以AC是/PAH的平分线.⑵因为用是％中点“半圆&的半径为為所以囲卩侏一又因为個1亚所以AH—SH*所我购=忑・在班△磁中』A^-/3f所以Z必戸3/3.由FA是半圆0的切绻所以FQPC・眄所以疋*（^+^）=（2^）：=12?所&aPC=2.5.【苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△ABC内接于O,BE显O的直径，AD是BC边上的高.求证：BAAC=BEAD.【答案】详见解析【解析】证明：连结AE.•/bE^O的直径，•••.BAE=90.

26•••.BAE=.ADC.又•••.BEA二/ACD,•△BEAs\ACD.BE_AC•BA—AD•BAAC=BEAD6•【江苏省苏北三市2019届高三最后一次模拟考试】如图，AB是圆0的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F，求证：AB2二BE・BD一AE・AC.（第21-A题）【答案】详见解析【解析】试题分析：证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以AD_BD，又EF_AB，则A,D,E,F四点共圆，所以BDBE二BABF.又厶ABCAEF,ABAC所以——=——即AB，AF=AEACAEAF''2所以BEBD—AEAC=BABF-ABAF=AB(BF-AF)二AB7.【南通市2019届高三下学期第三次调研考试数学试题】在ABC中，.A=2.B,.C的平分线交AB于点D,■A的平分线交CD于点E.求证：ADBC二BDAC.

27【答案】详见解析【解析】证明：因为^CAB=2^B.AE为NC述轿分练所^ZCAE又因为CD罡ZC的平分线，所£AZEC4=zPC54E寸C所法MCD~ABCD,所以—=—r即.4E-BC=BD-ACBDBC又因为SED=ACAE^^ECA,UDE=山亠^DCB所以dED=UDEr所以AD=AE所以QM=&【盐城市2019届高三年级第三次模拟考试】如图，AB是圆O的直径,线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F,连结FD.求证：.DEA=/DFA.CA,BD的延长C第21题(A)图【答案】详见解析【解析】证明：连结AD，丁AB是圆O的直径，ADB=9。，ADE=9o,•又EF_FB，..AFE=9o，所以代F,E,D四点共圆，DEA=/DFA.(本小题满分109.【江苏省淮安市2019届高三第五次模拟考试】选修4—1:几何证明选讲分)如图，已知AB是OO的直径，AC是OO的弦，•BAC的

28平分线AD交OO于D，过点D作DE_AC交AC的延长线于占J八、、E,OE交AD于点F•若AC=3AF的值.AB5FD【答案】【解析】（第21-Agg）（第21-A题）连接ODBC设BC交OD于点M因为OA=OD所以NOADNODA又因为.OAD.DAE所以ODA.DAE所以00AE又因为AC_BC且DE_AC所以BC/DE所以四边形CMDE为平行四边形，，又OD，x,22AC3所以CE=MD，由，设AC=3x,AB=5x,贝OMAB553所以MDx—X=X，所以AE=ACCE=4x,22因为0D//AE，所以AFAE4x8FDOD5510.【2019年高考模拟（南通市数学学科基地命题）（3）】（选修4—1:几何证明选讲）如图,AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C.若AB=2BC,求证：/A二.C.

29C【答案】详见解析【解析】证明：连结0D,BD,因为AB是圆0的直径，所以.ADB=90°,AB=20B.由AB=2BC，所以，AB=OC，因为DC是圆O的切线，所以.CDO=90°.于是△ADB三△CDO所以，AD=DC所以，•A-C.11.L2019年高考模拟（南通市数学学科基地命题）（2）】（选修4—1:几何证明选讲）如图，AD是/BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D,与边ABAC分别交于点E、F,求证：EF//BC【答案】详见解析【解析】证明：如图，连结DF.因为BC与圆相切，所以.CDFDAF.因为.EFD与.EAD为弧DE所对的圆周角,

30所以.EFD二/EAD•又因为AD是.BAC的平分线,所以.EAD=/DAF•从而.CDF二/EFD•是EF//BC12.【泰州市2019届高三第三次调研测试】如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆0的切线交BC的延长线于点P,AHIPB于H.求证：PA-AHPC-HB【答案】见解析•【解析】证明：连ACAB因BC为圆0的直径，故ACLAB.又AHLPB,故AHCH-HB即型HB所以，ZHACZB.所以，ZPACZCAH所以，PCPA，即AH_PACHAHCHPC所以，PAHB，即PA-AHPC-HB因PA为圆O的切线，故/PAC/B.在Rt△ABC中,ZB+ZACB0°.在Rt△ACH中,ZCAHZACB0°PCAH13.[2019年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】如图，ABCD是圆的两条平行弦，BE/AC,BE交CD于E、交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,P(=ED=1,PA=2.

31(1)求AC的长；(2)求证：BE=EF.【答案】(1)AC「2;(2)见解析.【解析】(1)PA2=PCPD,PA=2,PC“,PD=4,又PC=ED=1,.CE=2,ZPACZCBA^PCAZCAB,’’PCAC.PACsCBA，—ACABAC2二PCAB=2,AC二2(2)；BE=AC=.2,CE=2,而CEED=BEEF,.EF=21=€2,EF二BE.V214.[2019年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】(选修4—1:几何证明选讲)如图,OO的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为OO上一点，AE=AC求证：/PDE/POC【答案】证明见解析［解析】证明：因AE=ACAB为直径，故ZOACZOAE所以ZPOCZOACZOCAZOACZOACZEAC又ZEACZPDE所以，ZPDE=/POC

3215.【南京市2019届高三年级第三次模拟考试】如图，ABAC是OO的切线，ADE是OO的害V线，求证：BECD=BDCEE【答案】见解析•【解析.】证明：因为曲是Oo的切线』所以厶迦=厶逓.又因为£豳二二闕,所臥△馳s△岳0.AB所以丹因为他M是G>0的切所以应二必EQgd因lit—=—j即匪.C£.CE16.【徐州市2019〜2019学年度高三第三次质量检测】如图，已知直线AB为圆O的切线，切点为B,点C在圆上，.ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.证明：DB二DC.（第21-Ajg）【答案】见解析•【解析】证明：如图,

33连结DE交BC于点G.由弦切角定理，得.ABE=.BCE.而.ABE二/CBE，故.CBE"BCE,所以BE=CE.又因为DB_BE，所以DE为圆的直径，所以.DCE=90，由勾股定理可得D酔DC【一年原创真预测】1.如图，AB是O的一条切线,切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是O的割线，已的值.ACDE.DEGF=—.又TCG=11CZ)=4,CGDE知AC=AB.(I)求证：FG//AC;(II)若CG=1,CD=4,求DEGF【解析】(I)因为仙为切线，血为割线，蹴』jOn又所汉AD肛=恥\所以芈化,又因为ZEAC-ZDAC,ACAE所以“DCs”所以厶又因为£ADC二乙EGF,所以/EGF=ZACE,所以FGUC.(II)由题青可得：G.EDF四点共圆，二=【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维水平和推理论证水平.切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.

342•如图所示,PA为圆0的切线，A为切点，P0交圆0与B,C两点，PA=15,PB=5,.BAC的角平分线与BC和圆0分别交于点D和E.(1)求证ABPC二ACPA(2)求ADAE的值•【解析】(1)vPA为圆0的切线，..PAB=/ACP,又.P为公共角，ABpaPABs：PCA,，所以ABPC二ACPA.ACPC(2)vPA为圆0的切线，BC是过点0的割线，.PA2=PBPC,.PC=45,BC=40又•••.CAB=90°，.AC2AB2二BC2=1600，又由(1)知ABpa1——AC=12.10AB=4一10,连接EC，则.CAE—EAB，ACPC3AEACACEs：ADB,ABADAE二ABAC=4.1012.10=480【入选理由】本题考查弦切角定理，三角形相似，切割线定理，勾股定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维水平•本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手，结合勾股定理，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题•3.如图，已知O0和OM相交于A、B两点，AD为OM的直径，直线BD交O0于点C,点G为弧BD的中点，连结AG分别交O0BD于点E、F,连结CE(I)求证：AC为OO的直径•(n)求证：AGEF=CEGD.；【解析】(I)连结DG’AB,「辺为O貯的直径二厶LSD=Z^GQ=9(F在©0中，ZABC=ZAEC=ZABD=90°AAC为O0的直径.

35(U)TZAEC=9Qa:.ZCEF=90°丁点&为弧ED的中点二^BAG=ZGAD在OO中jZBAE二ZECB二MGDsAECF:.AG-EF^CE-GD【入选理由】本题考查圆周角定理、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维水平.圆周角定理是圆内判断三角形相似的重要方法，也是高考考查的热点，故选此题