陈佳静7

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在应试教育的环境下，教师和学生特别重视成绩，在中学数学的学习之中，情况也是如此，大家往往忽略了数学思想对于数学学习及解题的重要性。因此本文介绍了中学较为常见的数学思想——数形结合思想，并探究其在解题中的应用。数形结合思想是中学数学思想的重要组成部分，它将“数”与“形”结合，即将直观的图与实际的数转化联系起来。在一些中学数学题目中，使用数形结合的思想方法往往会带来意想不到的效果。数形结合在解题中的应用分为两种情况：以“数”助“形”或以“形”解“数”。以“数”助“形”即将几何问题代数化，运用具体的运算，将复杂的抽象问题简化；以“形”解“数”，学生自己操作画图，将运算过程较为复杂的问题利用图像解决，二者都在解题中起到简化问题，节约解题时间的作用。因此数形结合思想的学习十分重要，这种思想方法对于中学生解题有着重要作用，将复杂的简便化，使学生便于掌握与理解，同时也节约解题的时间。关键词：数形结合；中学数学；简化问题18

1目录1引言42数形结合思想在中学数学解题中的应用52.1将代数问题几何化52.1.1利用二次函数图像解决最值问题52.1.2利用几何图形证明数学公式72.1.3利用几何图形求解集合问题82.2将几何问题代数化102.2.1运用代数方法判定两直线的位置关系102.2.2运用方程解函数图像问题112.2.3巧用坐标求图形的面积123数形结合思想方法在解题时需要遵循原则143.1等价性原则143.2可操作性原则143.3简便性原则154结论15参考文献17致谢1818

2数形结合在中学解题中的应用1引言现今是一个数据大爆炸的信息社会，数学在人们的生活中占据着越来越重要的地位，因此对于当代的中学生而言，数学已经成了一门非常日常的学科。学好数学对于中学生十分重要，在其中数学思想的学习更是数学学习的核心，中学中较为常见的数形结合思想就是数学思想的典型代表之一。学习和运用数形结合的思想方法，便于数学解题，让学生能够更好的认识和学习数学，追上新社会的步伐。数学的学习对大部分学生而言至关重要，但数学的学习并不是只指课本知识的掌握，更是要学会如何运用相关知识解题。数学的解题讲究简洁明了，解题步骤清晰易懂。而数形结合的思想方法正好符合了这种要求。数形结合思想就是用了一种转化的思想，它将数学的“数”与空间的“形”二者相结合相转化，使得数学解题过程变得更加的简洁有趣。并且可以加深学生对于数学的学习兴趣。但是在传统的中学数学教育中，教师们更多的是为了应付教学，为了应试教育，而将数学的学习仅仅当作知识的传授，教授学生的仅仅只有课本上的知识，这其实是错误的，是盲目的。在数学的学习当中数学思想的学习才是我们的核心，数学思想的学习，是我们学好数学的关键。我们不能仅仅只知道课本里的知识，我们要更多的了解数学的内涵，认识数学的本质。而数形结合思想就是我们中学数学的一个典型代表思想，它将“数”与“形”，将直观的图与实际的数转化联系起来。在解题中，帮助我们化难为易，化繁为简，从而实现简单快捷的解题。值得庆幸的是，在提倡素质教育的今天，教师对于中学生的数学教育，不再只关注片面的知识教学，而是开始慢慢注重学生的全面发展，在日常教学中促进学生学习数学的积极性，让学生能够自主的发展，为学生学好数学打下基础，提高学生的数学涵养，而数学思想的学习，作用正是如此。中学数学的题目越来越多样化，多类型，数学的学习已经不单单是指课本的知识，现在已经扩展到了各个方面，关于运用数学思想简化解题的题型越来越多其中运用数形结合的思想方法最为普遍，一般在中学数学的以下几个方面有着重要的应用，如代数式、函数、不等式、方程、数轴、函数图像、几何的图形等。典型的例题如在2019年北京市中考数学试卷中，选择题第四题：在数轴上，点在原点的两侧，分别表示数，将点向右平移一个单位长度得到点，若，则18

3的值为？此题就是典型的例题，在这里运用数形结合思想方法解答更加快速便捷，学生在解题时只需要画出数轴并标上相应的点就可以求出的值为或者。2数形结合思想在中学数学解题中的应用数形结合的思想方法中最重要的就是我们常说的“数”与“形”，在解题时，我们需要认真读题，提取二者的关系，根据解题的需要，运用以“数”助“形”或者以“形”解“数”的方法，进而来化解题目中的重点难点，简化问题，从而实现用更简洁明了的解题方法进行解答。2.1将代数问题几何化运用以“形”解“数”的方法，即运用几何画图等方法来解决代数问题，即用图形来表示具体的数，做到将复杂难解的代数计算，化为直观简洁的图形进行求解，最后实现用更简洁明了的解题方法进行解答。2.1.1利用二次函数图像解决最值问题二次函数的图像是以抛物线的形式存在，它整体的关键是图像关于某一直线对称的；图像主要由抛物线的开口方向、轴的交点、顶点三要素确定，在这里顶点和开口方向确定了函数的最大值或最小值。所以二次函数的图像基本存在一个最值，即有且仅有一个最大值或者一个最小值，因此对于一些关于求最值的实际问题，我们可以将实际问题概括为具体的代数问题，再将代数问题转化为几何化。具体操作步骤为：一、我们要先分析题目，设置出未知数进行解题，二、找出题目中存在的二次函数的关系式并结合让学生画出相应的二次函数图像，三、根据所画的二次函数图像我们可直接找到最值点，得出所求的最值大小。即运用数形结合的方法，直接省去求解函数最值的计算步骤，将代数式的求解计算问题转化成简单化的函数图像问题。例1：某店进购日用品其单价为16元，若每件售价为20元，每月能卖360件；若售价25元，每月能卖210件。假定每月销售件(件）是价格（元/件）的一次函数。（i）求与之间的关系式；（ii）在商品不积压下，问售价定为多少时，才能使每个月获利最大?18

4问题分析：（i）由题干所给的数值可知与之间的关系为一次函数：由此可直接列出二元一次方程，并求出对应的与的值；（ii）本题主要求的是最大利率，而利率又受价格与销售件数即所决定，因此利率可用表示为，可以看出这是一个二次函数，根据二次函数图像的性质，抛物线开口向下，就可以直接找到顶点为最大值。即求得每月利率最大值。解：（i）依题意设，由题中所给数据代入得：，用加减消元法解得：，所以与之间的关系式为。（ii）依题可设日用品的利润为元，进价为元。则可求出二次函数：根据我们二次函数图像的性质可以知道，函数的二次项系数小于零（）。抛物线开口向下，有最大值，此时最大值为函数顶点。如图2-118

5图2—1根据公式：，代入得：，即当元时，有最大值，代入为：。所以日用品价格为24元/件时才能使每月获利最大利润，最大利润为1920元。小结：本题为常见的求最值的实际问题，题干中已经给出了未知数，降低了解题的难度性。（i）为简单的求解一元一次函数问题，直接带入数值计算即可。（ii）就是我们的重头戏，求解最值问题，本题要求我们求出销售日用品的最大利润，按照步骤，我们写出对应的一元二次函数，再对应的分析函数图像性质，由此画出二次函数图像，直接得出最大值即可。2.1.2利用几何图形证明数学公式在我们中学数学的学习中，常常有一些可以灵活运用的数学公式，对于这些前人所总结的经验公式，在当时那个年代，这些伟大的数学家花了大量的时间精力研究与证明，但现如今我们，已经站在的伟人的肩膀上，我们可以运用一些几何图形来进行简单的证明，即数形结合的方法，将一些数学公式的求证问题转化成求几何图形的面积问题，由抽象到具体，这样便于中学生对于公式的理解与掌握。例2：平方差公式：的证明。问题分析：平方差的公式要求我们的中学生能够完全掌握并灵活运用。在这里我们需要对平方差公式进行证明。证明方法一般可分为两种；一种直接推导的方法，即对等式某一边进行逐步化简，最终令等式的左右两边相等，使得等式成立，这可以培养学生的计算能力；另一种结合正方形图像，运用空白处面积的求解以此来证明公式，独特少见的结合方法，可以激发学生的数学学习兴趣。培养学生一题多解的数学思想。解：（1）方法一：运用一般的推导证明；将左边化简为18

6即，因此公式左边等于右边，所以方差公式成立。（2）方法二：同时我们还可以用求正方形面积的方法进行验证，加深同学们对于公式的理解与记忆。首先做一个边长为的正方形，在其里面再画一个边长为的小正方形如图2-2所示：图2—2下面求出空白部分面积（）即可证明。空白部分面积（）有两种求法：①大的正方形面积减小正方形面积：。②分为两个长方形的面积和：。由于上述两项都是表示空白面积（），因此有：所以证得我们的平方差公式。小结：平方差公式是中学所必需牢记并掌握运用的要点之一，平方差公式的推导其实并不是很难，直接化简即可，但教师在授课时，鼓励学生运用画图求面积的做法就比较适用于我们现代所说的素质教育，让学生自己动手画图，借此可以培养学生的实践操作能力，将代数问题与几何问题相结合，能够培养学生的数学抽象思维，所以这类型的题目运用数形结合的思想方法解题，有利于中学生对数学公式的掌握与理解，独特少见的结合方法，培养学生一题多解的思想，激发学生的数学学习兴趣。18

72.1.3利用几何图形求解集合问题集合问题是中学数学中常见的题型之一，集合的关系，相互之间的交并关系，可能会比较抽象难理解，比较考验学生的抽象逻辑思维。但运集合的图示进行分析，关系会一目了然。特别是对于初学者而言，对于三个及以上混合的集合关系，运用集合的图示法，学生就不用进行抽象的逻辑思考了，这样在解集合的交并关系，利用数形结合的思想方法就能快速的帮助中学生理清楚集合间交并关系，并简便解题。例3：现在对某学校的100名小学生进行抽样调查调查，结果发现他们喜欢打的球类分为三种：羽毛球、乒乓球和篮球。其中有58名学生喜欢打羽毛球，38名学生喜欢打篮球，52名学生喜欢打乒乓球，既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球的学生有18人，既喜欢打乒乓球又喜欢打篮球的学生有16人，喜欢打乒乓球和羽毛球的学生有12人，则问只喜欢打乒乓球的有多少人？问题分析：集合间存在常见的交并补等运算问题，本题就是典型的例题之一，我们在做题时，需将上述题中三种不同运动喜好的学生区别开，需要学生利用反向思维即喜欢打乒乓球的人数为整体100人扣除喜欢打羽毛球和篮球的人数，因此我们要先求出喜欢打羽毛球和篮球的学生人数，题目中给出58人喜欢打羽毛球，38人喜欢打篮球，且18人即喜欢打篮球又喜欢打羽毛球；即可求出打羽毛球和打篮球的总人数。在这个思考推理的过程中，比较考验学生的抽象逻辑思考能力，但根据题目给的数据画出相应的集合简图，这些关系就比较直观明确了。解：方法一：运用常规思路进行逻辑推理思考。分析：因为58人喜欢打羽毛球，38人喜欢打篮球，且18人即喜欢大篮球又喜欢打羽毛球；所以，打羽毛球和打篮球的人为：58+38-18=78（人），即只喜欢打打乒乓球的人为：100-78=22（人）。方法二：直接作图如图2-3：18

8图2—3由图可以直接看出关系列出式子：。小结：直观的几何图形更有助于学生对集合关系的理解，可以使学生直观的看到上述的数量关系。并能够激发学生对于数学解题的兴趣，加深学生对于数形结合思想的认识，让学生发现学好数学思想对于解题的妙处。2.2将几何问题代数化运用以“数”助“形”，借助具体的代数运算来判断几何图形问题，即将几何抽象问题转化为具体的代数计算，这样的数学思想，在中学数学的学习中十分重要，它能帮助学生更快，更好的掌握几何抽象问题。2.2.1运用代数方法判定两直线的位置关系在平面中，求解两直线的位置关系，运用画图的方法不太可取。因为手动操作画图不太精准，也容易导致出错；两直线在空间中运用画图方法更是不好操作，其结果更不准确。因此数学结合的思想方法在中学数学解题中的运用是不可或缺的。例如在中学数学中：求同一平面两直线的之间的一个位置关系：（1）我们可以先化简两直线的方程化为一般形式，找出两直线的斜率，再依据这两直线的斜率判定两条直线平行或者垂直的位置关系；平行即，垂直：；（2）在两直线如果互相平行的情况下，就可直接运用公式求出两直线的距离：18

9；（3）既不垂直也不平行，即可判断这两条直线相交，并可以运用解二元一次方程组的方法直接求出两直线的交点坐标。例4：两直线为：。求它们的位置关系？问题分析：本题为较为简单的求解两直线在平面内的位置关系，我们就可以直接依据中学中关于两直线位置的判断定理，可直接将平面几何中的位置问题转化为具体简单的代数计算问题；首先我们根据所给的两直线方程，可设两直线斜率为，且其中显然可以看出，即可知两直线在平面内互相垂直。解：方法一：建立直角坐标系，并将两直线的函数图像画好，后直接观察两者的位置关系；这个方法画图需要精准，学生动手操作准确性较差。方法二：将两直线方程化简为一般形式。接着对两直线方程的各项系数进行观察与计算，特别是一次项系数和常数项关系，进而通关关系，判断出两直线的位置关系：即两直线分别为：。设两直线斜率为；因此有，即：，有：，所以根据判定可知两直线在平面内互相垂直。小结：这个方法直接将抽象的平面位置问题转化为具体的代数问题。将求解同一平面两直线的位置关系，转化为对应的公式定理计算问题，这就体现了数形结合的思想方法在解题中的简便性与灵活性。2.2.2运用方程解函数图像问题在中学数学中，我们主要学习了函数与方程，特别是在中考中，这类问题经常出现，题目给一个函数图像并要求相关问题，这时我们可以根据题目所给的函数图像，结合方程确定表达式，以此将函数图像的求解问题即几何图像问题转化成方程代数问题，便于学生掌握此类问题，提高学生的计算能力与增强学生的解题技巧。在实际运用中更加快速理解并解题。18

10例5．(中考•衡阳)为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额(元)与骑行时间(h)之间的函数关系，根据图像2-4回答下列问题：图2-4(1)求手机支付金额(元)与骑行时间(h)的函数表达式；(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算。问题分析：（1）为求解函数表达式，认真观察图像，着重看手机支付的函数图像，可得出两组数据即，，且根据图像可知当时，。在时，根据图像可设一次函数，并代入两组数据，即求解出代入的二元一次方程组就可求出函数表达式。（2）首先根据上一题的方法，先求解出会员卡支付单车费的函数解析式，接着我们再将两个函数表达式进行联立，再对二元一次方程组进行求解，求解出函数图像的交点坐标，并根据这两个函数图像的交点进行分类讨论，探究出手机支付单车费与会员卡支付单车费二者在不同的骑行时间，哪种付费更加的合算。解：(1)当时，；当时，设手机支付金额(元)与骑行时间(h)的函数表达式是，则根据图像数据代入有：，用加减消元法得：，18

11即当时，手机支付金额y(元)与骑行时间x(h)的函数表达式是。综上可得，手机支付金额(元)与骑行时间(h)的函数表达是：。(2)设会员卡支付对应的函数表达式为，则，得，即会员卡支付对应的函数表达式为。结合两个函数表达式：令，得。综上所述：当时，李老师选择手机支付比较合算；当时，李老师选择两种支付方式一样合算；当时，李老师选择会员卡支付比较合算。小结：我们通常用代入法求解函数的解析式，其实就是相当于运用函数图像的相关数据即某些特殊点的坐标，列出一个二元一次方程组，进行求解的问题，在这里我们抓住函数图像一些点的数据将其进行相关代数运算，将我们的图像问题转化成代数计算，简化函数图像问题。便于学生对此类问题的快速掌握与解决。2.2.3巧用坐标求图形的面积求解图形面积问题时，我们可以先建立相应的直角坐标系，取一些特殊点的坐标，将所求的不规则图形进行分割，分成若干个可计算求面积的小图形，在这里，我们需要抓住关键点及其数据坐标，最终使所求图形面积的步骤，变得更加简单直接，将不规则的图形分割也更方便于学生进行相应的代数运算。例6:在如图2-5所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是求四边形的面积。图2-518

12问题分析：上图是一个任意的四边形，面积没法直接进行计算，我们可以以它的顶点开始进行分割，将其分成若干个可以直接计算面积的图形，分割的方法有很多种。个人认为采取垂直于轴或轴的方法分割比较适合，这样便于直接看出分割后图形的高，有了高，面积就相对容易求出。在此题中，我们就可以过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点。这样就将四边形分成两个三角形和一个梯形，再根据点的坐标数据，就可直接求出这个四边形面积了。解：过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点；如图2-6。易知,，，，所以四边形图2-6小结：对于求图形的面积问题，在图形不太规则好求解时，我们可以先建立起简单的直角坐标系，结合图形的顶点与一些特殊点的坐标，对图形进行适当的分割，这里需要学生能灵活运用点的坐标，能使分割的图形具有高或者底的数值，便于直接求出面积。因此，运用数学结合的思想方法来求解图形的面积问题，是十分方便快捷的一种办法，并且不易出错，就是在运用时需要我们能够对图形灵活分割，对一些特殊点的坐标小心注意即可。18

133数形结合思想方法在解题时所需要遵循的三原则我们在运用数形结合思想方法进行见简便解题的过程中，中学生不仅要注意题目中是否含有数形2个点，同时也要注意数形结合思想方法使用所要依据的原则。以下我总结出了三个原则；3.1等价性原则首先呢，对于中学数学的某些题目，在审题时，我们要特别注意题目中“数”与“形”之间是否有存在一个等价的关系，只有二者存在等价关系，我们才能将“数”与“形”二者相互转化，让它们联系起来进行解答。例如对于任意含有图形的题目，我们不能盲目的套用数形结合的思想，而是要认真审题，查看题目中的数据与图形所存在的关系，能否将二者进行转化。因此，我们在需要使用数形结合这个思想方法进行相应的解题时，要使中学生先关注题目中所给的“数”与“形”之间所存在的一个等价转化关系，即注意等价性原则。3.2可操作性原则当题目中有数学的“数”与空间的“形”，且二者存在一定等价关系时，我们要小心注意审题，不要直接运用数形结合的思想方法进行解题，我们还需要另外进行纠结考虑，能否将题目的“数”转化成“形”，这个步骤涉及的画图问题是否可行，在中学中，我们的形大部分指的是空间的平面图形，但涉及到三维甚至更高维的空间时，这个时候对于手动操作的同学而言，作图较为困难并容易产生一些偏差，因为学生实际操作所画的图的准确性可能不会太高，有可能会影响答案。例如在空间直角坐标系中，学生自行手动画图，其实不具有准确性，这时如果用形来助数，答案并不可信，解题的步骤也不够严谨准确。在考试解题时，这种不太可操作的画图方法对于学生而言，可能不太可取。所以，我们在需要使用数形结合这个思想方法进行相应的解题时，我们还要格外注重数化形的一个准确性可画图性，可操作性。3.3简便性原则在日常数学的学习中，我们运用数形结合的思想方法进行解题的主要目的是18

14将一些涉及但图形的问题化难为易，化繁为简。因此我们将二者进行一个转化时我们需要观察是否将问题带到一个更复杂，更繁琐的过程中，例如，解一些简单的二元一次方程组，我们可以直接作用加减消元法解答。但如果我们采用数形结合的方法，我们可能会浪费更多的时间与精力去画图，并且容易出错。要知道运用数形结合思想解题的最终目的是：将复杂问题简便化。即运用抽象与具体相结合的解题思路，将复杂难懂的几何图形问题用对应的代数式子直接进行计算求解。因此，在题目运用中，我们要注意是否将问题从复杂变为简单。我们要遵循解题的简便性原则。总而言之，对于我们的中学生来说，掌握与应用数学数形结合的思想方法十分重要，尤其是将其运用在中数的解题中，现今全国各地的中考卷上尤其明显的出现了一类题目，运用常规的方法解题，步骤复杂繁琐，学生难以运用常规方法进行大量复杂的计算，并不利于学生对题目的理解；但使用数形结合的思想法能够做到简化题目的大量数据，化简题中的重难点。4结论数学思想在我们的数学学习中占据着越来越重要的位置，纵观这几年的数学中考卷，题目变得越来复杂，在考场上需要学生认真正确解题的同时也需要学生抓紧时间解题，可谓争分夺秒。在此涉及数形结合的题目越来越多，理解与掌握数形结合的思想对于数学学习而言十分重要，尤其是对于中学生而言，它不仅可以使中学生更好的认识何为数学、如何学好数学；同时数形结合思想方法也体现在中学数学的解题，在解题中它起着十分重要的作用。这使得需要我们去重视，需要去知道数形结合的思想方法，数形结合的思想已经涉及到非常多的题型之中，如代数式、函数、不等式、方程、数轴、函数图像、几何的图形等等题型。对于这些题目，运用数形结合的思想方法可以简化复杂的图形问题，将之转化成具体简单的代数计算，也可以使复杂难解的代数运算转化成简单的图形求解，将数与形相互转化结合，最终使学生在解题时更加简便快捷，在考试中帮助学生简化计算，减少解题步骤，节约解题时间。数形结合思想的掌握，不仅仅在于如何运用它解决数学中的部分难题，同时也取决于中学生是否做到将其进行合理的应用，并且能够通过对数形结合思想的理解与掌握，学习到更多的数学思想，最终能够认识到数学的本质，了解数学。从而做到用学来的数学知识、方法、思想解决我们生活中的实际问题。我们需要知道18

15数形结合的思想并不能完全代表数学思想，特别是对于中学生而言，仅仅只学会数形结合思想是不够的我们还应该学习其他的数学思想，而数形结合只是其中的一个典型代表。总之，对于数形结合的数学思想，我们不仅要做到心中有“数”，不得忘“形”；我们更要合理的运用这个思想，正所谓一通百通，我们要在已经掌握与学习数学数形结合思想的基础上，再将其扩展到其他的数学思想中去，争取让学生了解数学，热爱数学并学好数学。最后引用我们所熟知的数学家华罗庚的一句话来结束，华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。18

16参考文献[1]田永川.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].南充:神州,2019(30):117-117.[2]王晓苏.实例剖析数形结合应遵循的3个原则[J].安徽:高中数理化,2018(6):19-20.[3]任晓华.数形结合在中学数学中的应用[J].重庆:科学咨询，2019（11）:156-156.[4]徐健旭.例谈几何问题的代数化方法[J].湖州:数理化学习（初中版）,2018(5):39-40.[5]董梅芬.“以形解数”助数学学习[J].仙游:福建基础教育研究,2018(12):101-102.[6]杨延伟.数形结合思想在初中数学中的应用研究[J].拉萨:中学生数理化（教与学）,2020(1):79-79.18

17致谢写到这里我的论文，已经基本完成了，回想这一路走路，大学四年已经悄然走过，我的美好的校园时光已经迎来了尾声。这几年，我的学习生活都十分紧凑充实。在这次论文的编写过程中，我首先要感谢的人就是我的论文指导教师——周先耕老师，从选题开始，就给予了我极大的帮助，在这次疫情期间，更是通过电脑网络，一次又一次的指导我修改论文，一次又一次在我的初稿上进行批注修改。在此真的非常感谢您这段时间以来的帮助。接着还要感谢我所在的数理学院，数理学院给了我们许多的帮助与支持，辅导员颜音子老师也不断的鼓励督促我，等等。感谢我在宁德师范学院认识的老师同学们，一路来陪着我慢慢成长，给我在前方引路，谢谢。接着，我也感谢在我身边陪着我的朋友们，在我编写修改论文时，你们给我许多良好的建议，默默的帮助我收集一些论文相关的材料，陪着我不断的完善论文内容，谢谢你们一直以来的支持与陪伴。最后，经过了此次的论文的编写，我学会了很多很多，从一无所知，到慢慢了解掌握，在这个编写学习的过程中，收获娘多，我也可以自己开始独立学习，独立研究。逐渐的深入到写作当中去，体验了沉迷一件事情，并为之努力的满足感。感谢这次的机会，感谢这难得的论文，谢谢在我身后无私指点的老师，也谢谢在我身边陪着前行的小伙伴。谢谢大家。18