服务站点分布问题

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1、题目:服务站点的分布关键词:服务站点节点覆盖区域面积摘要：本文以服务站点的选址问题与覆盖区域特性为背景，对服务站点的选址问题进行求解和优化。假设城市道路构成一个的正方形网格，交叉点称为节点，相邻节点的距离等于1。服务站设置在某个节点上，只能沿着道路对节点服务，并且最大服务距离为2。针对问题一，我们在不考虑货源成本并且知道服务距离可以延伸，同时服务的响应时间也会随着延长，还会导致该服务的用户数量会下降的前提下，我们使用字母表示未知量，通过假设与建立数学模型，求解最优问题，给出使利润最大化的设置方法。针对问题二，对于服务站点是通

2、讯基站，且覆盖范围是半径为2的圆形区域，我们要做的就是满足整个网格区域都得到服务，而服务站点最少。对于覆盖区域问题，我们可以利用求解面积的方法来确定服务站点的设置方案，并使用几何画板软件画出图形。并且求解出n=100,101,102三种情况的最少服务站点的个数。利用最优化方案和区域覆盖问题可以合理的设置服务站点位置，使得整个网格区域都得到服务。一、问题描述在现实生活中有许多的城市服务站点、通讯基站的设置等等，都存在如何设置较少的站点，获得较大效益的问题。通讯基站的覆盖范围一般是圆形的，而消防、快餐、快递服务则受到道路情况和到

3、达时间的限制。我们作以下假设，城市道路构成一个的正方形网格，交叉点称为节点，相邻节点的距离等于1。服务站设置在某个节点上，只能沿着道路对节点服务，并且最大服务距离为2。问题一:假设服务距离可以延伸，但服务的响应时间会相应的延长。我们假设服务距离延长1的时候，响应时间也延长1，时延导致选择该服务的用户数量会下降25％。在不考虑货源成本的前提下，需要哪些数据来确定服务站点的设置方案，建立数学模型，确定是利润最大的设置方案。问题二:假设服务站是通讯基站，覆盖范围是半径为2的圆形，现在要求整个网格区域都需要得到服务，而服务站点最少，

4、求解设置服务站点的方案，并求解出n=100,101,102三种情况的最少服务站点的个数。二、模型假设与符号说明2.1模型假设1.假设服务站点对节点的服务不受道路情况的限制。2.假设各个节点每天的客流量不变。71.假设每个服务站点的快餐价格是一样的。2.假设顾客量与区域人口密度为一元线性关系。3.假设每个服务站点每天能够服务的顾客没有上限。4.假设设立每个服务点平均每天的花费相等。5.假设服务一个单位的距离的响应时间为一个单位时间2.2符号说明符号说明响应的时间服务的距离顾客量最大利润第个服务站点的员工数量员工的人均工资服务范

5、围人口量人均消费金额与范围人口量的一元线性回归方程中的斜率与范围人口量的一元线性回归方程中的截距所有圆覆盖的面积为S所设置的服务站点的个数相邻圆的圆心距离覆盖区圆心横坐标，覆盖区圆心纵坐标，二、模型建立与求解3.1问题一模型我们知道，利润＝收入－成本，用符号表示为：……①而收入直接与顾客量，人均消费金额有关，可用关系式表示为：……②7其中，顾客量又与响应时间成负相关，与服务范围人口量成的正相关，其中和可以根据具体数据用一元线性回归方程求出具体数值，即这里的和为两个定值。根据题目所给，服务距离延长1的时候，响应时间也延长1，时

6、延导致选择该服务的用户数量会下降25％。故可设顾客量满足以下式子：……③服务范围人口量与人口密度与服务范围面积的关系如下：……④面积与服务距离的关系为：……⑤又根据假设，有……⑥根据题目所给，在不考虑货源成本的前提下，成本直接只与快餐店的员工工资有关。因此成本可用以下式子来表示：……⑦由以上的①②③④⑤⑥⑦，可解得利润的表达式为：也就是说，对于第个服务站点来说，其利润为：其中，、、、均为定值。从而，对于所要求的最大总利润为：其中由服务范围的取值以及总区域大小来决定。通过求解不同的的取值，比较总利润的大小，从而得出最大利润。3

7、.2问题二模型对于服务站点是通讯基站，且覆盖范围是半径为2的圆形区域，我们要做的就是满足整个网格区域都得到服务，而服务站点最少。对于覆盖区域问题，我们可以利用求解面积的方法来确定服务站点的设置方案。以为圆心，半径为2的圆形区域的面积。然后我们只要把所有确定的圆形区域的面积加起来等于S7，使它能够覆盖整个正方形区域网格，问题就可以解决，具体情况，以下建立模型并作出图形说明。首先，我们取时，显然只需要一个服务站点足以对周围的区域进行服务。当n>2时,那么问题的数学模型为：s.t.其中：表明圆覆盖的面积不小于正方形区域面积；表明相

8、邻两个圆的圆心距离不能大于其最大圆心距Dmax，这样才能完全覆盖整个目标区域。当出现图（1）这种情况，即四个圆相交必有部分区域无法得到服务站的服务。如图（1）所示。图（1）无法得到的服务站的区域为图（1）中椭圆区域7，显然每四个圆相交都会出现这样的椭圆区域。进一步我们可以引进图（2），如图