hilbert矩阵病态性分析

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王刚200820303013Hilbert矩阵病态性分析200820303013王刚一、问题叙述Hilbert矩阵是著名的病态矩阵，用迭代法解矩阵方程时，如果系数矩阵是Hilbert矩阵，则求解结果误差较大。本文就研究Hilbert矩阵的病态性，和Hilbert矩阵的阶数与迭代求解误差大小的关系。二、问题分析MATLAB中有专门的Hilbert矩阵及其准确逆矩阵的生成函数，从而可以通过MATLAB求解出系数矩阵是Hilbert矩阵的矩阵方程比较准确的解，再根据条件数估计求解误差的大小。三、实验程序及注释m=input('inputm:=');%输入矩阵的阶数N=[m];fork=1:length(N)n=N(k);%矩阵的阶H=hilb(n);%产生n阶Hilbert矩阵disp(H)%输出n阶Hilbert矩阵Hi=invhilb(n);%产生完全准确的n阶逆Hilbert矩阵b=ones(n,1);%生成n阶全1向量x_approx=Hb;%利用左除H求近似解x_exact=Hi*b;%利用准确逆Hilbert矩阵求准确解ndb=norm(H*x_approx-b);nb=norm(b);ndx=norm(x_approx-x_exact);nx=norm(x_approx);er_actual(k)=ndx/nx;%实际相对误差K=cond(H);%计算Hilbert矩阵的条件数er_approx(k)=K*eps;%最大可能的近似相对误差er_max(k)=K*ndb/nb;%最大可能的相对误差enddisp('Hilbert矩阵阶数'),disp(N)formatshortedisp('实际误差er_actual'),disp(er_actual),disp('')disp('近似的最大可能差er_approx'),disp(er_approx),disp('')disp('最大可能误差er_max'),disp(er_max),disp('')四、实验数据结果及分析程序运行后，输入矩阵阶数4时的输出为：-3- 王刚200820303013inputm:=41.00000.50000.33330.25000.50000.33330.25000.20000.33330.25000.20000.16670.25000.20000.16670.1429Hilbert矩阵阶数4实际误差er_actual1.0284e-013近似的最大可能误差er_approx3.4447e-012最大可能误差er_max4.7732e-011当输入不同的矩阵阶数时，误差大小如表1所示。表1误差数据阶数481016100实际误差1.0284e-0131.7310e-0071.9489e-0042.6458e+0029.1294e+123近似的最大可能误差3.4447e-0123.3879e-0063.5583e-0031.3948e+0023.5120e+004-3- 王刚200820303013最大可能误差4.7732e-0113.8709e-0021.2703e+0036.2587e+0091.2236e+013五、实验结论对于高阶系数矩阵来说，如果系数矩阵是Hilbert矩阵，则迭代结果误差较大，而且阶数越大，误差就越大。-3-