人教b版2017年必修五：3.3《一元二次不等式及其解法》示范学案

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1、人教B版2017年必修五示范学案3.3　一元二次不等式及其解法1．理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式．2．能利用一元二次不等式解决相关的实际问题，并会设计求解一元二次不等式的程序框图．3．了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法．1．一元二次不等式的概念形如____________或____________(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．用文字表述为：一般地，含有______未知数且未知数的________为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．【做一做1】已知不等式：①x

2、2＞0；②－x2－2x≤15；③x3－5x＋6＞0；④x2－y＜0.其中一元二次不等式的个数为(　　)．A．1　　　B．2C．3D．42．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系如下表所示：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝f(x)的图象f(x)＝0的根有两个不等的实根x1，x2，且x1＜x2有两个相等的实根x1，x2，且x1＝x2没有实数根f(x)＞0的解集____________________________f(x)＜0的解集________________对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两

3、个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．即：你只要记住一个前提：a＞0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零．对于二次项系数是负数(即a＜0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式．【做一做2－1】不等式x2－2x＋1＞0的解集是(　　)．A．RB．{x

4、x∈R，且x≠1}C．{x

5、x＞1}D．{x

6、x＜1}【做一做2－2】不等式－6x2－x＋2≤0的解集是__________．3．用程序框图描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞

7、0)的算法过程：人教B版2017年必修五示范学案【做一做3】函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＞0的解集是________．一、借助函数图象解不等式的原理分析剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象．因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋

8、bx＋c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c＞0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c＜0的解集．所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f(x)＞0或f(x)＜0.(1)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是R，则有(2)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是∅，则有如果一元二次不等式ax2＋b

9、x＋c≤0的解集是∅，则有二、简单的一元高次不等式的解法剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为低次不等式组．人教B版2017年必修五示范学案(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲线从最大的根的右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“＞”型不等式的解集，下方区域为“＜”型不等式的解集．当有重根时，偶次重根“穿而不过”，奇次重根按一次根对待．三、分式不等式的解法剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项

10、式的不等式称为分式不等式，解法有两种：(1)穿根法，其解题过程为：先化成标准式(右端为0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)，要求各一次因式中的x的系数及二次因式中的x2的系数必须为正数．以下过程同一元高次不等式的解法．(2)等价转化法，如下表所示.分式不等式同解变形1同解变形2＞0＞0⇔或＞0⇔f(x)g(x)＞0＜0＜0⇔或＜0⇔f(x)g(x)＜0≥0或≥0⇔≤0或≤0⇔四、教材中的“？”1．由(1)和(2)的解法，你能否解不等式≥0，≤0?剖析：(1)≥0相当于或即或得x＞3或x≤－2.(2)≤0相当于或即或得－2≤x＜3.2．不

11、等式x2＋4x＋4≥0的解集是什么？x2＋4x＋4≤0的解集是什么？剖析：x2＋