2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷一（一模）Word版含解析

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2022年辽宁省沈阳市高考质检一（一模）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（　　）A．{﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）已知i为虚数单位，若复数z＝，则|z|＝（　　）A．1B．2C．D．3．（5分）关于双曲线C1：x2﹣y2＝2与C2：y2﹣x2＝2，下列说法中错误的是（　　）A．它们的焦距相等B．它们的顶点相同C．它们的离心率相等D．它们的渐近线相同4．（5分）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（　　）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（　　）A．n（n﹣2）B．n（n﹣1）C．n（n+1）D．n（n+2）6．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|+4|的最小值为（　　）A．3B．6C．2D．4第21页（共21页）

17．（5分）已知a＝log32，b＝log43，，则（　　）A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a8．（5分）若函数f（x）＝ex+x3﹣2x2﹣ax，则a＞e是f（x）在（0，+∞）有两个不同零点的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（　　）A．众数是32B．众数是5C．极差是17D．25%分位数是30（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx（x∈R），则（　　）A．f（x）的最小值为0B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图像关于点中心对称D．f（x）的图像关于直线轴对称（多选）11．（5分）已知圆O：x2+y2＝2，直线l：x+y﹣4＝0，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（　　）A．点P到圆心的最小距离为B．线段PA长度的最小值为C．的最小值为3D．存在点P，使得△PAB的面积为3（多选）12．（5分）若6a＝2，6b＝3，则下列不等关系正确的有（　　）第21页（共21页）

2A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝2cosx﹣cos2x的最大值为　　．14．（5分）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为　　．（用数字作答）15．（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是　　．16．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠A1AC＝∠A1AB＝60°，∠BAC＝90°，则四面体A1BB1C1的体积为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）从①，②b2+ac＝a2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）（1）求B；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求a．18．（12分）等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2+a4＝14，b2b4＝a6，且bn＞0．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）已知：①bn＜1000；②∃m∈N+，使am＝bn．设S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．19．（12分）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋．第21页（共21页）

3（1）对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示．请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100（2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望．附：，n＝a+b+c+d．P（χ2≥k）0.100.050.10k2.7063.8416.63520．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝2BC＝2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．21．（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为（1，0），经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM，AN分别交直线x＝4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG第21页（共21页）

4的斜率分别为k，k'，求证：k•k'为定值．22．（12分）已知f（x）＝ex﹣1﹣x．（1）求证：对于∀x∈R，f（x）≥0恒成立；（2）若对于∀x∈（0，+∞），有f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx）恒成立，求实数a的取值范围．第21页（共21页）

52022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（　　）A．{﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，若复数z＝，则|z|＝（　　）A．1B．2C．D．【分析】直接利用商的模等于模的商求解．【解答】解：由z＝，得|z|＝||＝．故选：D．3．（5分）关于双曲线C1：x2﹣y2＝2与C2：y2﹣x2＝2，下列说法中错误的是（　　）A．它们的焦距相等B．它们的顶点相同C．它们的离心率相等D．它们的渐近线相同【分析】求出双曲线焦距，顶点坐标，离心率，渐近线方程，即可判断选项．【解答】解：双曲线C1：x2﹣y2＝2焦距4，顶点坐标（，0），离心率，渐近线方程y＝±x，双曲线C2：y2﹣x2＝2焦距4，顶点坐标（0，），离心率，渐近线方程y＝±x，故选：B．第21页（共21页）

64．（5分）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（　　）A．B．C．D．【分析】记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，根据条件概率的公式能求出在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率．【解答】解：记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，∴P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，∴在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为：P（A|B）＝＝＝．故选：C．5．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（　　）A．n（n﹣2）B．n（n﹣1）C．n（n+1）D．n（n+2）【分析】由已知列式求得a3，进一步求得首项，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则，即，解得a3＝4．∴a1＝a3﹣4＝0．∴{an}的前n项和Sn＝．故选：B．6．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|+4|的最小值为（　　）第21页（共21页）

7A．3B．6C．2D．4【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，设A（0，m），D（1，m），P（0，y），结合平面向量的坐标运算推出|+4|＝，故当4m﹣5y＝0时，得解．【解答】解：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），C（2，0），设A（0，m），D（1，m），P（0，y），所以＝（2，﹣y），＝（1，m﹣y），所以+4＝（6，4m﹣5y），所以|+4|＝，当4m﹣5y＝0，即＝时，|+4|取得最小值，为6．故选：B．7．（5分）已知a＝log32，b＝log43，，则（　　）A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【分析】结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：a＝log32＝log38＜log39＝log33＝＝c，第21页（共21页）

8b＝log43＝＝＝，所以b＞，0＝c，故b＞c＞a．故选：A．8．（5分）若函数f（x）＝ex+x3﹣2x2﹣ax，则a＞e是f（x）在（0，+∞）有两个不同零点的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】将问题转化为a＝+x²﹣2x，令g（x）＝+x²﹣2x（x＞0），利用导数讨论g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，由f（x）在（0，+∞）上有两个不同零点的充要条件为a＞e﹣1，进而得到答案．【解答】解：f（x）＝ex+x3﹣2x2﹣ax，令f（x）＝0，则a＝+x²﹣2x，令g（x）＝+x²﹣2x（x＞0），则g'（x）＝＝0可得xex﹣ex+2x³﹣2x²＝（ex+2x²）（x﹣1）＝0，解得x＝1，所以当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又当x→0时，g（x）→+∞，所以g（x）最小值为g（1）＝e﹣1，f（x）在（0，+∞）上有两个不同零点的充要条件为函数g（x）与y＝a的图象在第一象限有2个交点，所以a＞e﹣1，即f（x）有2个零点的充要条件为a＞e﹣1，又a＞e是a＞e﹣1充分不必要条件，所以a＞e是f（x）在（0，+∞）有两个不同零点的充分不必要条件，故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，第21页（共21页）

9年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（　　）A．众数是32B．众数是5C．极差是17D．25%分位数是30【分析】根据表中数据，分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可．【解答】解：根据表中数据知，这20个人年龄的众数是32，选项A正确、B错误；极差是45﹣28＝17，选项C正确；因为20×25%＝5，所以百分位数是30，选项D正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx（x∈R），则（　　）A．f（x）的最小值为0B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图像关于点中心对称D．f（x）的图像关于直线轴对称【分析】由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x+sinxcosx＝+sin2x＝sin（2x﹣）+（x∈R），故它的最小值为，故A错误；它的最小正周期为＝π，故B正确；令x＝，求得f（x）＝﹣，可得f（x）的图像关于点（，﹣）中心对称，故C错误；令x＝﹣，求得f（x）＝﹣﹣，为最小值，可得f（x）的图像关于直线轴对称，故D正确；第21页（共21页）

10故选：BD．（多选）11．（5分）已知圆O：x2+y2＝2，直线l：x+y﹣4＝0，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（　　）A．点P到圆心的最小距离为B．线段PA长度的最小值为C．的最小值为3D．存在点P，使得△PAB的面积为3【分析】利用圆的有关性质，可求得P到圆心的最小距离，可判断A；同时可求PA长度的最小值，可判断B；同时可求•的最小值，可判断C；求出△PAB的面积的最小值可判断D．【解答】解：点P到圆心的最小距离为圆心到直线的距离d＝＝2，故A正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小值为＝＝，故B错误；由向量运算可知•的最小值为PA长度的最小同时∠APB最大时，所以PA＝时，∠APB＝60°，所以•＝××cos60°＝3，故C正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小时，△PAB的面积最小值为S△ABP＝××sin∠APB＝＜3，所以存在点P，使得△PAB的面积为3．故D正确；故选：ACD．（多选）12．（5分）若6a＝2，6b＝3，则下列不等关系正确的有（　　）A．B．C．D．【分析】由题意可知a＝log62，b＝log63，作商可判断选项A；由6a•6b＝6a+b＝2×3＝6可得a+b＝1，结合基本不等式可判断选项BC；利用换底公式并结合基本不等式的应用即可判断选项D．第21页（共21页）

11【解答】解：由6a＝2，6b＝3，得a＝log62，b＝log63，所以＝＝log23＞1，故选项A正确；由6a•6b＝6a+b＝2×3＝6，得a+b＝1，又a＞0，b＞0，a≠b，所以ab＜＝，故选项B正确；由选项B可知a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab＞1﹣2×＝，故选项C错误；由换底公式得a＝，b＝，所以（b+）＝×（+），由＞0，＞0，且≠，得+＞2＝2，又＞＝2，所以（b+）＞2×2＞2，故选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝2cosx﹣cos2x的最大值为　　．【分析】利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，求出值域即可．【解答】解：f（x）＝2cosx﹣cos2x＝﹣2cos2x+2cosx+1，设t＝cosx，t∈[﹣1，1]，则g（t）＝﹣2t2+2t+1＝﹣2+，∴当t＝时，g（t）max＝，∴函数f（x）＝2cosx﹣cos2x的最大值为，故答案为：．第21页（共21页）

1214．（5分）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为　﹣192　．（用数字作答）【分析】由已知求出n，然后再求出展开式的通项公式，令x的指数为3，由此即可求解．【解答】解：由已知可得2n＝64，则n＝6，所以二项式的展开式的通项公式为Tr+1＝C＝C，令6﹣3r＝3，解得r＝1，则x3的系数为C＝﹣192，故答案为：﹣192．15．（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是　　．【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．【解答】解：记A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，由题意可得，P（A）＝，P（）＝，P（B|A）＝，P（B|）＝，由全概率公式可得，P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝×+×＝，故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为，故答案为：．16．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠A1AC＝∠A1AB＝60°，∠BAC＝90°，则四面体A1BB1C1的体积为　　．第21页（共21页）

13【分析】由题意画出图形，求出棱柱的高，再由等体积法求四面体A1BB1C1的体积．【解答】解：如图，设A1在底面ABC上的射影为O，∵∠A1AC＝∠A1AB＝60°，∴O在∠BAC的角平分线上，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接A1E，则A1E⊥AB，在Rt△A1EA中，AA1＝2，∠A1AB＝60°，∴AE＝1，，在Rt△AEO中，AE＝，∠OAE＝45°，可得OE＝1，∴．∴，∵，且A1到平面ABC的距离等于B到平面A1B1C1的距离，∴＝．即四面体A1BB1C1的体积为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）从①，②b2+ac＝a2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）（1）求B；第21页（共21页）

14（2）若b＝2，△ABC的面积为，求a．【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，得解；选择条件②：利用余弦定理，求出cosB的值，即可；（2）由S＝acsinB，可得ac＝4，再结合余弦定理，得解．【解答】解：（1）选择条件①：由正弦定理及，知sinBsinC＝sinCcosB，因为sinC≠0，所以sinB＝cosB，所以tanB＝＝，因为B∈（0，π），所以B＝．选择条件②：由余弦定理知，cosB＝＝＝，所以B＝．（2）因为△ABC的面积S＝acsinB＝ac×＝，所以ac＝4，由（1）知，b2+ac＝a2+c2，所以4+4＝a2+c2，即8＝a2+，化简得a4﹣8a2+16＝0，解得a2＝4，又a＞0，所以a＝2．18．（12分）等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2+a4＝14，b2b4＝a6，且bn＞0．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）已知：①bn＜1000；②∃m∈N+，使am＝bn．设S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；第21页（共21页）

15（2）先由①可得n的取值；再由②通过列举法可得满足题意的n的值和bn的值，计算可得所求S．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d和等比数列{bn}的公比为q，q＞0，由a1＝b1＝1，a2+a4＝14，b2b4＝a6，可得1+d+1+3d＝14，q•q3＝1+5d，解得d＝3，q＝2，则an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，bn＝2n﹣1；（2）①bn＜1000，即2n﹣1＜1000，解得n＝1，2，3，...，10；②∃m∈N+，使am＝bn，即3m﹣2＝2n﹣1，可得m＝1，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝5；m＝22，n＝7；m＝86，n＝9．所以S＝1+4+16+64+256＝341．19．（12分）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋．（1）对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示．请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100（2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望．附：，n＝a+b+c+d．P（χ2≥k）0.100.050.10k2.7063.8416.635【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．第21页（共21页）

16（2）由题意可得，X所有可能取值为2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．【解答】解：（1）2×2列联表如下：先手局后手局合计赢棋451055输棋301545合计7525100∵＞2.706，∴有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关．（2）由题意可得，X所有可能取值为2，3，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝1﹣P（X＝2）＝，故X的分布列为：X23P故E（X）＝．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝2BC＝2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．第21页（共21页）

17【分析】（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，由，即可证明；（2）求平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用数量积公式可得答案．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又∵AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图，因为PA＝AB＝2，，则A（0，0，0），B（2，0，0），，，P（0，0，2），，，，因为，，所以，，即AC⊥BD，BD⊥PC，又因为AC⋂PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，第21页（共21页）

18所以BD⊥平面PAC．（2）解：设平面PCD的法向量为，平面PBC的法向量，由，，，得，，令，得x1＝1，z1＝2；令x2＝1，解得y2＝0，z2＝1，所以，，则，所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．21．（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为（1，0），经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM，AN分别交直线x＝4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，k'，求证：k•k'为定值．【分析】（1）根据题意可得2b＝2，及椭圆的离心率公式，即可求得a的值，再得到椭圆的方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，表示出直线AM的方程，即可求得P和Q点坐标，求得G点坐标，即可求得GE的斜率，结合韦达定理即可求得．【解答】解：（1）由题意可知，2b＝2，即b＝1，离心率，则a＝2，，第21页（共21页）

19所以椭圆C的方程：；（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程y＝k（x﹣1），由，消去y，整理得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，所以，，又A（﹣2，0），所以直线AM的方程为：，其与直线x＝4的交点为，同理，所以PQ的中点为，所以GE的斜率为＝＝＝＝＝＝，所以．22．（12分）已知f（x）＝ex﹣1﹣x．（1）求证：对于∀x∈R，f（x）≥0恒成立；第21页（共21页）

20（2）若对于∀x∈（0，+∞），有f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，令f′（x）＝0，求出x＝1，进而求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，由此能证明对于∀x∈R，f（x）≥0恒成立．（2）将不等式转化为ex﹣1﹣lnx﹣1＞a（x﹣1﹣lnx），令t＝x﹣1﹣lnx，则et﹣1﹣at≥对∀t∈[0，+∞）恒成立，构造新函数g（t）＝et﹣1﹣at（t≥0），利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可．【解答】解：（1）证明：由f（x）＝ex﹣1﹣x，得f′（x）＝ex﹣1﹣1，（x∈R），令f′（x）＝0，得x＝1，∴当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（1）＝0，∴对于∀x∈R，f（x）≥0恒成立．（2）∵f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx），∴ex﹣1﹣x≥a（x2﹣x﹣xlnx），∴≥a（x﹣1﹣lnx），即ex﹣1﹣lnx﹣1≥a（x﹣1﹣lnx），令t＝x﹣1﹣lnx，则，当x∈（0，1）时，t′＜0，函数t＝x﹣1﹣lnx单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′＞0，函九t＝x﹣1﹣lnx单调递增，∴t≥1﹣1﹣ln1＝0，即t≥0，∴et﹣1≥at，即et﹣1﹣at≥0对∀t∈[0，+∞）恒成立，令g（t）＝et﹣1﹣at（t≥0），则g（0）＝e0﹣1﹣a×0＝0，g′（t）＝et﹣a，若a＜0，g′（t）≥0，g（t）在[0，+∞）上单调递增，∴g（t）min＝g（0）＝0，∴g（t）≥0，符合题意，若a＞0，令g′（t）＝0，得t＝lna，则当t∈（0，lna）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，当t∈[lna，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，∴g（t）min＝g（lna）＜g（0）＝0，不符合g（t）≥0，综上，a≤1，∴a的取值范围是（﹣∞，1]．第21页（共21页）