2019-2020学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（附答案详解）

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2019-2020学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集为，集合ൌሼ1mሼmoS，ൌሼሼ1S，则ൌA.ሼ1mሼ1SB.ሼ1ሼmoSC.ሼ1mሼm1SD.ሼ1mሼmoSo.命题“ሼ，ሼ1”的否定是A.ሼ，ሼ1mB.ሼ，ሼ1mC.ሼ，ሼ1D.ሼ，ሼ1.设ሼ，则“ሼ1ሼm”是“ሼm1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知ൌlogo，ൌ㜳⸶1o，ൌlog4o，则、、的大小关系为oA.൐൐B.൐൐C.൐൐D.൐൐5.已知函数ሼൌoሼ1ሼ，ሼ为ሼ的导函数，则的值为A.1B.C.1D.6.袋中共有个球，其中有4个红球、个黄球和o个绿球，这些球除颜色外完全相同，若从袋中一次随机抽出o个球，则取出的o个球颜色相同的概率为o155A.B.C.D.17.将函数ൌ䁕ꀀሼ的图象向左平移个单位，得到函数ൌሼ的函数图象，则下列o说法正确的是A.ൌሼ是奇函数B.ൌሼ的周期是C.ൌሼ的图象关于直线ሼൌ对称oD.ൌሼ的图象关于对称o.在平面直角坐标系中，经过点ooo，渐近线方程为ൌoሼ的双曲线的标准方程为ሼooሼooሼoooሼoA.ൌ1B.ൌ1C.ൌ1D.ൌ14o7146147第1页，共14页

1.如图，在平行四边形鷲中，已知ൌ，鷲ൌ5，ൌ鷲，ൌo，则鷲的值是A.B.1oC.oo二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）1.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为o：：5，若用分层抽样的方法抽取容量为o的样本，则高三学生中抽取的人数为______．11.若是虚数单位，复数满足1ൌo，则ൌ．1o.已知圆的圆心在ሼ轴正半轴上，点5在圆上，且圆心到直线oሼൌ45的距离为，则圆的方程为．511.二项式ሼ的展开式中ሼ的系数是______．ሼo114.若㜳㜳ൌ，则的最小值是______．㜳⸶oሼmሼmo15.已知函数ሼൌ1，如果互不相等的实数，，，满足ൌሼoሼooൌ，则实数的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）616.在中，内角，，所对的边分别是，，，且m，已知ൌ，⸶䁕ൌ，ൌo．Ⅰ求䁕ꀀ及的值；Ⅱ求sino的值．417.已知ꀀS是等差数列，ꀀS是公比不为1的等比数列，ꀀ，且1ൌo1ൌo，ooൌ6，ooൌ．1求数列ꀀS与ꀀS的通项公式；第o页，共14页

2ꀀo求数列S的前ꀀ项和ꀀ．ꀀ1.如图，平面鷲，쳌䁠䁠，鷲䁠䁠，鷲，ൌ鷲ൌ1，ൌൌo．Ⅰ求证：쳌䁠䁠平面鷲；Ⅱ求直线与平面鷲所成角的正弦值；1Ⅲ若二面角鷲쳌的余弦值为，求线段쳌的长．ሼoo1.已知椭圆：ൌ1൐൐，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边oo形是一个面积为的正方形，斜率为的直线㜳经过点1，与椭圆交于不同两点、．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ当椭圆的右焦点쳌在以为直径的圆内时，求的取值范围．第页，共14页

3ሼo.已知函数ሼൌ㜳ꀀሼ，其中，且曲线ൌሼ在点11处的切4ሼo1线垂直于直线ൌሼ.o1求的值；o求函数ሼ的单调区间与极值．第4页，共14页

4答案和解析1.【答案】【解析】解：ൌሼሼm1S，ൌሼ1mሼm1S．故选：．进行交集和补集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】【解析】解：命题是全称命题，则否定是特称命题，即ሼ，ሼ1m，故选：．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题进行判断是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】【解析】解：由ሼ1ሼm，解得1mሼm，由ሼm1，解得1mሼm1，而111，故“ሼ1ሼm”是“ሼm1”的必要不充分条件，故选：．解不等式，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查充分必要条件以及集合的包含关系，是基础题．第5页，共14页

54.【答案】鷲【解析】解：ൌlogo൐1，ൌ㜳⸶1oൌ1，o1ൌlog4oൌ，o则、、的大小关系为൐൐．故选：鷲．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】鷲【解析】解：ሼൌoሼoሼ1ሼൌoሼሼ，ൌ．故选：鷲．根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】【解析】解：袋中共有个球，其中有4个红球、个黄球和o个绿球，这些球除颜色外完全相同，从袋中一次随机抽出o个球，基本事件总数ꀀൌoൌ6，取出的o个球颜色相同包含的基本事件个数ൌoooൌ1，4o15则取出的o个球颜色相同的概率为ൌൌൌ．ꀀ61故选：．从袋中一次随机抽出o个球，基本事件总数ꀀൌoൌ6，取出的o个球颜色相同包含的基本事件个数ൌoooൌ1，由此能求出取出的o个球颜色相同的概率．4o本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基第6页，共14页

6础题．7.【答案】鷲【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的平移及函数图象的性质，属于容易题．由三角函数图象的平移得：ሼൌsinሼൌ⸶䁕ሼ，由三角函数图象的性质得：ሼo的图象关于点对称，得解．o【解答】解：将函数ൌ䁕ꀀሼ的图象向左平移个单位，得到函数ൌሼ的图象，o则ሼൌsinሼൌ⸶䁕ሼ，其图象关于对称，oo函数ൌሼ为偶函数，最小正周期是o，ൌሼ的图象关于直线ሼൌ对称，故选：鷲．8.【答案】【解析】【试题解析】ሼoo解：根据题意，双曲线的渐近线方程为ൌoሼ，设双曲线方程为：ൌ，1o双曲线经过点ooo，则有1ൌ，解可得ൌ7，ሼoo则此时双曲线的方程为：ൌ1，714故选：．设出双曲线的方程，经过点ooo，求出的值，即可得双曲线的方程．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用．第7页，共14页

79.【答案】【解析】【分析】本题考查向量在几何中的应用以及平面向量数量积的运算问题，属于基础题．根据平面向量的线性表示与数量积运算的定义，用、鷲表示出、，代入ൌo，即可求出鷲的值．【解答】解：如图所示，平行四边形鷲中，ൌ，鷲ൌ5，ൌ鷲，1ൌ鷲鷲ൌ鷲，4ൌൌ鷲，41ൌ鷲鷲44o1oൌ鷲鷲o16o1oൌ5鷲ൌo，o16鷲ൌoo．故选：．10.【答案】1【解析】解：设高三学生中抽取的人数为ꀀ，ꀀ5则ൌ，oo5则ꀀൌ1，故答案为：1．由分层抽样按比例取样即可．本题考查了分层抽样，属基础题．11.【答案】o第页，共14页

8【解析】【分析】本题考查了复数的运算性质以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．先由已知求出，由此即可求解．【解答】解：因为1ൌo，oo1所以ൌൌൌ1，111所以ൌ1o1oൌo，故答案为：o．12.【答案】ሼoooൌ【解析】【分析】本题考查圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题．由题意设出圆的方程，把点的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．【解答】解：由题意设圆的方程为ሼooൌo൐，圆心，45由点5在圆上，且圆心到直线oሼൌ的距离为，5o5ൌo得o45，解得ൌo，ൌ，ൌoo1o5圆的方程为：ሼoooൌ，故答案为ሼoooൌ．13.【答案】41ൌ1ሼo【解析】解：二项式ሼሼ的展开式的通项公式为1，令oൌ，求得ൌ，可得展开式中ሼ的系数是ൌ4，故答案为：4．先求出二项式展开式的通项公式，再令ሼ的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的ሼ的系数．第页，共14页

9本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】oo【解析】解：依题意㜳㜳ൌ，所以൐，൐，且㜳ൌ，即ൌ1，所o1o1ooo1o以oൌൌoo.当且仅当ൌ，即ൌo，ൌ时，取得等号．o故填：oo．o1因为㜳㜳ൌ，所以ൌ1，利用基本不等式即可得到的最小值．本题考查了基本不等式，在使用基本不等式时，注意使用条件为“一正，二定，三相等”，本题属于基础题．15.【答案】o4㜳⸶oሼmሼmo【解析】解：ሼൌ1，画出函数图象，如图所示：ሼoሼoo不妨设mm，其中logoൌlogo，故ൌ1，且o4，所以的取值范围是o4，故答案为：o4．画出函数图象，数形结合得到ൌ1，o4，从而求出的取值范围．本题考查了分段函数的性质以及应用，用到了数形结合的思想，属于中档题．616.【答案】解：Ⅰ由ൌ，⸶䁕ൌ，ൌo，oൌ6可得ൌ，即6䁕ꀀ，则䁕ꀀൌ，䁕ꀀ䁕ꀀ1o第1页，共14页

10由oൌooo⸶䁕，得ൌ1o6，oo化为o4ൌ，解得ൌ或，因为m，所以ൌ；66ooⅡ由⸶䁕ൌ，䁕ꀀൌ，可得䁕ꀀoൌo䁕ꀀ⸶䁕ൌoൌ，o6o1，⸶䁕oൌo⸶䁕1ൌo1ൌooo14o所以sinoൌ䁕ꀀo⸶䁕⸶䁕o䁕ꀀൌൌ．444o6【解析】Ⅰ由三角形的正弦定理和余弦定理，解方程可得所求值；Ⅱ由二倍角的正弦公式和余弦公式、两角和的正弦公式，求出sino的值即可．4本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题．1o൅ൌ617.【答案】解；11ൌ11ൌo，o1൅ൌ解得：൅ൌo或൅ൌ1舍，ൌ1，所以ꀀൌꀀꀀൌoꀀ；ꀀꀀo由题意知ൌꀀ，ꀀo1oꀀ则ꀀൌo1ooooꀀ൭，11ooꀀoꀀൌoooo4oꀀ1洠，11111ꀀ൭洠得：oꀀൌo1ooooꀀoꀀ111o1oꀀꀀൌ1ꀀ1，1ooꀀo所以ꀀൌoꀀ．o【解析】1按照定义计算即可；o利用错位相减法计算．本题考查了数列的通项和错位相减求和的计算，属于中档题．18.【答案】Ⅰ证明：因为平面鷲，鷲，在平面鷲内，则鷲，，又鷲，第11页，共14页

11故以为坐标原点，分别以，鷲，所在直线为ሼ，，轴建立空间直角坐标系，可得，1，1o，鷲1，o．设쳌ൌൌൌ൐，则쳌1oൌ．则ൌ1是平面鷲的法向量，又쳌ൌoൌ，可得쳌ൌ．又直线쳌平面鷲，쳌䁠䁠平面鷲；Ⅱ解：依题意，鷲ൌ11，ൌ1o，ൌ1oo．设ꀀൌሼ为平面鷲的法向量，ꀀ鷲ൌሼൌ则ꀀൌሼoൌ令ൌ1，得ꀀൌoo1．ꀀ4cosmꀀ൐ൌൌ．ꀀ4直线与平面鷲所成角的正弦值为；Ⅲ解：设ൌሼ111为平面鷲쳌的法向量，鷲ൌሼ11ൌ则쳌ൌo1ൌ1ൌo取1ൌ1，可得ൌ11，ൌoꀀ4ൌ1由题意，cosmꀀ൐ൌꀀൌ4ൌ，oൌo解得ൌൌ．7经检验，符合题意．线段쳌的长为．7第1o页，共14页

12【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是拔高题．Ⅰ以为坐标原点，分别以，鷲，所在直线为ሼ，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，鷲，的坐标，设쳌ൌൌൌ൐，得쳌1oൌ.可得ൌ1是平面鷲的法向量，再求出쳌ൌoൌ，由쳌ൌ，且直线쳌平面鷲，得쳌䁠䁠平面鷲；Ⅱ求出ൌ1oo，再求出平面鷲的法向量，利用数量积求夹角公式得到直线与平面鷲所成角的正弦值；1Ⅲ求出平面鷲쳌的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段쳌的长．119.【答案】解：ᦙ由题意可得：ൌ，ooൌ，解得ൌൌo，ooൌooൌ，ሼoo椭圆的标准方程为ൌ1．4Ⅱ设ሼ11，ሼoo，쳌o．直线㜳的方程为：ൌሼ1．ൌሼ1联立oo，化为：1ooሼo4ሼ6ൌ，൐，ሼoൌ46ሼ1ሼoൌ1oo，ሼ1ሼoൌ1oo，当椭圆的右焦点쳌在以为直径的圆内时，쳌쳌m，ሼ1o1ሼooom，ሼ1oሼoo1om，ሼ1oሼooሼ11ሼo1m，1oሼ1ሼooሼ1ሼo5m，o641o5m，1oo1oo1化为：m，1的取值范围是.1ooൌ，解得，，可得ooo【解析】ᦙ由题意可得：ൌ，ൌ，即可得o出椭圆的标准方程．Ⅱ设ሼ11，ሼoo，쳌o.直线㜳的方程为：ൌሼ1.与椭圆方程联立化为：第1页，共14页

131ooሼo4ሼ6ൌ，根据椭圆的右焦点쳌在以为直径的圆内，可得쳌쳌m，利用根与系数的关系可得的取值范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、点与圆的位置关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：1ሼሼൌ㜳ꀀሼ，4ሼo11ሼൌ，4ሼoሼ1曲线ൌሼ在点11处的切线垂直于直线ൌሼ.o11ൌ1ൌo，45解得：ൌ．4ሼ5o由1知：ሼൌ㜳ꀀሼ，44ሼo151ሼo4ሼ5ሼൌൌሼ൐，44ሼoሼ4ሼo令ሼൌ，解得ሼൌ5，或ሼൌ1舍，当ሼ5时，ሼm，当ሼ5时，ሼ൐，故函数ሼ的单调递增区间为5；单调递减区间为5；当ሼൌ5时，函数取极小值㜳ꀀ5．【解析】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．11由曲线ൌሼ在点11处的切线垂直于直线ൌሼ可得1ൌo，可求出o的值；o根据1可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数ሼ的单调区间与极值．第14页，共14页