资源描述：
《结构振动的有限元分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、有限元分析基础教程曾攀第7章结构振动的有限元分析7.1结构振动分析的基本原理结构的振动分析将涉及到模态分析(modalanalysis)、瞬态动力学分析(transientdynamicsanalysis)、简谐响应分析(harmonicresponseanalysis)、随机谱分析(spectrumanalysis)等方面，其中结构的模态分析(固有频率与振型)将是所有振动分析的基础，下面将就结构的模态分析进行阐述。7.1.1结构振动分析的基本方程描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与前面的静力问题类似，但增加了
2、惯性力项和阻尼力项，且所有的变量都将随时间而变化。若希望了解详细内容，请查阅参考文献[]。【基本变量】7.1.1(1)结构振动的三大类变量2D情况下的三大类变量：位移utvt(,)(,)ξ，ξ，应变ε(,),(,),(,)ξεξγξttt，应力xyxyσ(,),(,),(,)ξσξτξttt是坐标位置ξ(,,)xyz和时间t的函数。xyxy图7-1微体dxdydz在动力学状态下的平衡【基本方程】7.1.1(2)结构振动的三大类方程及边界/初始条件Å平衡方程(考虑惯性力和阻尼力)微小体元dxdydz在动力学状态下的平
3、衡关系如图7-1所示，利用达朗伯原理（D’Alembertprinciple）将惯性力(inertialforce)等效到静力平衡方程中，再考虑阻尼力(dampingforce)的作用，下面考虑2D情况，有∂σ()t∂τ()t⎫xxy++bt()−−=ρνut""()ut"()0⎪x∂∂xy⎪⎬(7-1)∂∂τσ()tt()xyy⎪++−−=bt()ρνvt""()vt"()0∂∂y⎪xy⎭其中ρ为密度，ν为阻尼系数，btbt(),()分别为沿x方向以及y方向所作用的体积力，xyutut""(),()"分别表示位移
4、ut()对时间t的二阶导数和一阶导数，即表示沿x方向的加速度和速度，沿y方向也是类似。Ç几何方程237有限元分析基础教程曾攀∂ut()⎫ε()t=⎪x∂x⎪∂vt()⎪ε()t=⎬y(7-2)∂y⎪∂∂vt()ut()⎪γ()t=+⎪xy∂∂xy⎭É物理方程1⎫εσ()ttt=−⎡⎤()μσ()xx⎣⎦y⎪E⎪1⎪εσ()ttt=−⎡()μσ()⎤⎬(7-3)yy⎣x⎦E⎪1⎪γτ()tt=()xyxy⎪G⎭其中EG,,μ为弹性系数。Ñ边界/初始条件BC/IC位移边界条件BC(u)ut()=ut()⎫⎬onSu(7
5、-4)vt()=vt()⎭力边界条件BC(p)στ()tn+=()tnpt()⎫⎪xxxyyx⎬onSp(7-5)τσ()tn+=()tnpt()⎪xyxyyy⎭初始条件IC(initialcondition)：ut(,0)ξξ==u()⎫⎬(7-6)vt(,0)ξξ==v()⎭••⎫ut(,0)ξξ==u()⎪⎬(7-7)••vt(,0)ξξ==v()⎭⎪以上方程中的utvt(),()为在位移边界S上给定的位移值，p(),()tpt为在力边界S上给uxyp定的分布外载，uvuv(),(),(),()ξξξξ""为
6、初始时刻时结构的位移和速度状态。【求解原理】7.1.1(3)结构振动求解的虚功原理基于上述基本方程，可以写出平衡方程及力边界条件的等效积分形式238有限元分析基础教程曾攀⎧∂σ()t∂τ()txxyδΠ=−⎨[(++bt)−ρνut""()−utu"()]δ∫xΩ⎩∂∂xy∂∂τσ()tt()⎫xyy+++[(bt)−−ρνδvt""()vtv"()]⎬dΩ∂∂xyy⎭(7-8)++∫{[()σxxxtnτδyyx()tn−ptu()]Sp++−[()τσxyxyyytn()tnptvA()]d0δ}=对上述方程右
7、端的第一项进行部分积分(应用Gauss-Green公式)，经整理后，有[]σδεσδετδγ++++++ρδuu""ρδνδvvuuvv"""νδ"dΩ∫xxyyxyxyΩ(7-9)⎡⎤−+()bubvδδdΩ++=()pupvAδδd0⎢⎥⎣⎦∫∫ΩxySxyp这就是动力学问题的虚位移方程。7.1.2结构振动的有限元分析列式用于动力学问题分析的单元构造与前面静力问题时相同，不同之处是所有基于节点的基本力学变量也都是时间的函数。下面给出用于动力学问题单元构造的基本表达式。【单元表征】7.1.2(1)结构振动分析的单
8、元构造的基本表达式单元的节点位移列阵为eTqtn()tutvtwt=[111()()()...utvtwt()n()n()](7-10)单元内的位移插值函数为eeuN(,)ξξt=⋅()()qt(7-11)t其中N()ξ为单元的形状函数矩阵，与相对应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同，ξ为单元中的几何位置坐标。基于上面的几何方程和物理方程以及式(7-11)
