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时间：2022-03-06
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1、2.5线性方程组及高斯消元法一、引入二、初等变换与高斯消元法三、线性方程组有解判别法返回一、引入其中A为系数矩阵，B=(Ab)为增广矩阵非齐次方程组：Ax=b,b0(b中至少有一分量不为零)为Ax=b的解：Ax=b成立.解集:方程组所有解的集合方程组无解方程组有解——不相容——相容等价方程组：两个方程组同解问题方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？行阶梯型方程组二、初等变换与高斯消元法例1解线性方程组解:行阶梯型方程组上述消元过程中,我们对方程组施行了以下三种变换:交换两个方程的位置;
2、以非零数k乘某一行;把某一个方程的k倍加到另一行上.这三种变换称为线性方程组的初等变换.高斯消元法事实上,线性方程组的初等变换只对方程组中未知量的系数与常数进行运算,未知量并未参与运算.对方程组施行的初等变换可以用增广矩阵的变换来表示.再看例1.由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．例1解线性方程组解:求解线性方程组Ax=b:增广矩阵初等行变换行阶梯形矩阵判定解的情况行最简形矩阵有解无解初等行变换从左往右从上至下进行消元从右往左从下至上进行消元二、
3、线性方程组的解法求解线性方程组:增广矩阵初等行变换行阶梯形矩阵判定解的情况行最简形矩阵有解无解初等行变换高斯—若尔当消元法例解方程组解:故原方程无解.对线性方程组的增广矩阵依次施行如下初等行变换:为矛盾方程.例解方程组解从下往上消元该数不为零，无解非零行的行数=未知量个数有唯一解非零行的行数<未知量个数有无穷多解行阶梯形矩阵必要时重新安排未知量次序初等行变换行最简形矩阵系数矩阵非零行行数<增广矩阵非零行行数自由未知量.自由未知量个数：n-r问题：对于齐次方程组Ax=0？故齐次线性方程组总是相容的.只有
4、零解:r=n有无穷多解:r5、,=3时,有无穷解.(III)5时,有唯一解.例8：求解齐次线性方程组：令自由未知量，可得原方程的通解：c1为任意常数。例４解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由此得通解：例4解齐次方程组注意是系数矩阵注意是齐次方程组例5有(1)唯一解?(2)无解?(3)无穷多解?解例求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为求解线性方程组Ax=b:增广矩阵初等行变换行阶梯形矩阵判定解的情况行最简形矩阵有解无解初等行变换从左往右从上6、至下进行消元从右往左从下至上进行消元二、线性方程组的解法例1求解齐次线性方程组解线性方程组的解法即得与原方程组同解的方程组由此即得例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为
5、,=3时,有无穷解.(III)5时,有唯一解.例8：求解齐次线性方程组：令自由未知量，可得原方程的通解：c1为任意常数。例４解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由此得通解：例4解齐次方程组注意是系数矩阵注意是齐次方程组例5有(1)唯一解?(2)无解?(3)无穷多解?解例求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为求解线性方程组Ax=b:增广矩阵初等行变换行阶梯形矩阵判定解的情况行最简形矩阵有解无解初等行变换从左往右从上
6、至下进行消元从右往左从下至上进行消元二、线性方程组的解法例1求解齐次线性方程组解线性方程组的解法即得与原方程组同解的方程组由此即得例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为
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