关注数学结构,提高数学素养

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1、关注数学结构，提高数学素养湖南宁乡一中黎国之一、结构漫谈大千世界的一切物质形态和思维形态都是依照一定的内在结构而客观存在的，并且因为其结构而有功能，因为其结构而有美感，因为其结构而为人类所认知。在自然界，无论是宏观的宇宙还是微观的细胞、蛋白质、酶、晶体、分子、原子以及各种波、场、谱和运动，都表现出优美的、固有的、规则的结构特征；在社会领域，每一个局部以至全球的成员都以一定的结构而形成家庭、部落、民族、团体、政党、阶级、国家以及国家联盟；在绘画、音乐、舞蹈、戏剧、诗歌、小说等文化艺术领域以及思想领域，也同样具有鲜明的结构特征；我们人类本身就和动物界植物界的个体一样，是由无数精美巧妙的结构组成的一

2、个个集合。我们无一例外地存在于结构的海洋里。人类的聪明正是在于能够利用世界的结构性去认识、适应并改造自然和社会，提升艺术水准，改善生命质量。例如，宇宙星系的螺旋结构和纹理结构的发现使人类的眼界豁然开朗起来，曲轴连杆活塞结构的发明使内燃机欢唱起来，原子结构、分子结构的发现使微观世界空前地清晰起来，DNA双螺旋结构的发现，使生命更加美丽起来……结构是有层次的。浅层次结构（表层结构）通常就是我们人类一开始就能够看到的表象；中层次结构是一种过度性的结构（亚结构）；深层次结构才是最基本的结构（元结构）。由浅入深、由表及里、由局部而全部地探究出事物的元结构，是我们学习、思想和行动的目的。当然，结构的层次性

3、划分是相对而言的。在教育和学习的活动中，关注结构、研究结构和运用结构，有利于炼就一双见微知巨洞烛世界的“火眼金睛”，有利于优化思维品质，学会象科学家、发明家、艺术家一样去观察、思维、表达和行动，是发现科学规律以及发明与创新的捷径。既然如此，以描述、刻划、揭示各种位置关系和数量关系以及相互作用机制为己任的数学，当然就要格外关注“结构”二字了！数学结构，就是数学概念、数学公式、数学图形、数学程序以及一切数学法则、定律、定理的内在本质的形式化。在几何、代数、三角以及数学领域的一切方面都有其各自的特有结构。在数学教学中，引导学生关注式的结构、图形的结构和程序结构的层次性、相似性、独立性、关联性，可以极

4、大地升华数学思想，感悟数学本质，明确思维方向，优化解题策略，缩短思考时间，提高解题能力。二、三类数学结构第一类结构——几何结构平面几何中常见的基本结构和复合结构有三、四十个之多，如平行线结构、相交线结构、三角形结构、同位角结构、四边形结构、扇形结构、弦心距结构、垂直结构、中位线结构、弦切角结构、中线结构、角平分线结构等等，但以平行线结构、垂直结构和三角形结构最为基本。同样，立体几何中的线线结构、线面结构、二面角结构、三垂线结构、三棱锥结构、直角四面体结构、正方体结构、球的结构等等，以及解析几何中的定比分点结构、距离结构、斜率结构都是比较常见的和基本的结构。立体几何解题口诀中有一句话叫做“空间问

5、题平面化，平面问题三角形化。”可见三角形结构的重要性，是所有几何结构中的一个元结构。例题1一个正四面体，各棱长均为，则对棱的距离为多少？这里，情境设置简洁，解决方法也多，通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中（如图1），则瞬间得到结果，就是该正方体的棱长，为1。图1例题2一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（　）　A．B．C．D．这是2007年高考（海南、宁夏）理科数学试卷中选择题中的一

6、道“把关”题，题目创意来源于一个真实的故事：1982年，美国举行了一次有83万中学生参加的全国性“初级学术能力测试”的考试，其中的一道试题是：有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，问它们重合一个侧面后，还有几个暴露面？当时的“标准答案”是还剩7个暴露面，但是这一答案被17岁的中学生丹尼斯推翻了，正确答案是：还剩5个暴露面（如图2）。要解答这个问题，当然可以用常规方法达到目的，不过所花时间稍多一点而已。但是对于熟悉正方体这一基本几何体的结构的学生来说，右边这个图形只不过是对正方体进行切割重组罢了：图中正四棱锥A-BDEF就是由上面例题1中的正方体去掉正三棱锥ABCD以后剩余的部分组合而

7、成，然后再将图2正三棱锥ABCD与四棱锥A-BDEF对接起来，就得到此图形。设AO=1（=h1），则显然h2=h3=正方体对角线长的即，所以选答案B。例题3、已知比较与的大小。此题当然可以用比较法、单调性法等基本方法解决，也可以用“趋势判断法”等方法去解决，不过在教学实践中发现学生居然另有巧思：另解1：斜率法。由，联想到斜率公式的结构，则问题转化为：比较过点和点的直线的斜率与过点和点图3的直线的斜