平面向量复习学案(学生)

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1、基础过关第1课时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律．⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：①

2、

3、＝．②当＞0时，的方向与的方向；当＜0时，的方向与的方向；当＝0时

4、，．⑵(μ)＝．(＋μ)＝．(＋)＝．⑶共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得．⑵设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是．典型例题例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（）ADBCA．－＋B．－－C．－D．＋例2.已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．变式训练2：已知平行四边

5、形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：例3.已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和．BOADCNM变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．例4.设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？小结归纳1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向

6、量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2课时平面向量的坐标运算基础过关1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，

7、记作．并且

8、

9、＝．2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：＋＝－＝λ＝已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝．4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是．典型例题例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．变式训练1.若，，则4=.例2.已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，

10、－

11、＝，求cos(α－β)的值．变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．

12、例3.已知向量＝(1,2)，＝(x,1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．变式训练3.设＝(ksinθ,1)，＝(2－cosθ,1)(0<θ<π)，∥，求证：k≥．证明:k＝∴k－＝≥0∴k≥AMBCDP例4.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．(1)若＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当

13、

14、＝

15、

16、时，求点P的轨迹．变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且

17、

18、＝2，求的坐标．小结归纳1．认识

19、向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．第3课时平面向量的数量积基础过关1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的．当θ＝0°时，与；当θ＝180°时，与；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：

20、已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1,y1)，＝(x2,y2)，则·＝．3．向量的数量积的几何意义：

21、

22、cosθ叫做向量在方向上的投影(θ是向量与的夹角)．·的几何意义是，数量·等于．4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．⑴·＝·＝⑵⊥⑶当与同向时，·＝；当与反向时，·＝．⑷cos