二阶电路分析——lc震荡推导

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1、二阶电路分析——LC震荡的推导如图9.16所示，RLC串联电路零输入响应的数学分析依KVL，得按图9.16中标定的电压，电流参考方向有将以上各式代入KVL方程，便可以得出以为响应变量的微分方程，为（9.10）式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为其特征根为式中：称为衰减系数；称为固有振荡角频率。1.几种不同情况的讨论(1)当(R/2L)2>1/LC时，、为不相等的负实根，称为过阻尼情况。特征根为微分方程的通解为（9.11）其中待定常数、由初始条件来确定，其方法是：当时刻，则由式(9.11)可得对式(9.12)求导，

2、可得时刻对t的导数的初始值为联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出、。根据式(9.11)可知，零输入响应是随时间按指数规律衰减的，为非振荡性质。的波形如图9.17所示。（2）.当时，、为相等的负实根，称为临界阻尼情况。特征根为微分方程的通解为其中常数、由初始条件和来确定。的波形图根据式(9.13)可知，这种情况的响应也是非振荡的。(3)当时，、为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。待征根为其中称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为其中常数A和妒由初始条件确定。根据式(9.15)可知，响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性，

3、它的振幅随时间按指数规律衰减，衰减的快慢取决于衰减系数的大小，越大则衰减就越快。衰减振荡的角频率为，越大，则振荡周期就越小。的波形图如图9.18所示。（4)当R=O时，、为一对共轭虚根，称为无阻尼情况。特征根为相应的表达式为其中A和可以直接由初始条件确定。的波形如图9.19所示。从式(9.l6)和的波形图可知，电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡，其角频率为。由于电路电阻为零，故称为无阻尼等幅振荡情况。2.以上几种情况的物理意义电容和电感都是储能元件，只有电阻是耗能元件。电容放电时它所储存的电场能量，一部分消耗在电阻中，一部分转移到电感

4、储存于磁场中。在过阻尼情况下，由于R较大，能量消耗极为迅速，因此电感获得的磁场能量不可能再返回给电容，而是随电路电流的下降而逐渐释放出来，一起消耗在电阻上。所以，电容电压是单调下降的，形成非振荡的放电过程。在欠阻尼情况下，由于R较小，电容放电时，被电阻消耗的能量较少，大部分电场能转变为磁场能储存于电感中。当电容储能为零时，电感开始放电，电容被反向充电。当电感储能为零时，电容又开始放电。这样周而复始。由于电阻不停地消耗着能量，因此电容电压呈指数衰减的振荡过程。如果R=O，即电路中无能量损耗，则在振荡过程中，电容释放给电感的能量和电感吸收

5、后又释放给电容的能量将始终相同。因此，电容电压的振幅将不会衰减，振荡将无限制地持续下去，形成等幅振荡。这就是无阻尼情况。