各种矩阵三角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵

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1、三对角矩阵在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。准确来说：一个三对角矩阵的在上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：/I400I3410I02340137性质三对角矩阵是。尽管一般的三对角矩阵不一定是或，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵A满足ak,k+iak+i,k>0,所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样都是实数。后一个推论如果我们将条件a,k+iak+i,k>0换为ak,k+

2、ia+i,k>0,结论仍然成立。所有nxn三对角矩阵的组成一个3n-2维。许多线性代数应用于对角矩阵时所需特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个n阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：ddj4=det[4]{i,…你-1}一%,循一1£一1伊d^t[4]{3…即一叫,这里是第k个主，即[闻口一同是由a最开始的k行k列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n,然而对于一般的矩阵复杂度是n的3次方。I计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多运用到

3、厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。一个三对角矩阵利用特定的比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如，包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n-1包含下对角线和上对角线元素。三对角矩阵方程A1=3b三联"，能用一种需要O（n）次操作的解出来（GolubandVanLoan）。9正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的，因此总是。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了

4、归一要求。要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vTVo如果矩阵形式为Q/的线性变换保持了向量长度，则VTV=(Qv)t(Qv)=vtQtQv0所以有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。nxn正交矩阵形成了一个，即指示为O(n)的，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的是O(3)的子群

5、。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字中很多算法比如的关键，通过适当的规范化，(用于压缩)可用正交矩阵表示。例子下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。［1。］•”何等变换。0.96-0.280.280,96伤尔♦L」耻钱16.26oL10-，一1.针对x轴反射。-0-0.80-0.600.80-0.360.48,°,64旋转反演rrotoinversion):轴(0,-3/5,4/5),角度90°。-000f00101000•1口0」置换坐标轴。基本构造低维度最简单的正交矩阵是1X1矩阵［1］

6、和［-1］,它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。如下形式的2X2矩阵9它的正交性要求满足三个方程在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p=cos8,q=sin8;因此要么t-q,u=p要么t=q,u=-p。我们可以解释第一种情况为8（8=0是单位矩阵）,第二个解释为针对在角9/2-casfl—sin0sin®cqs8旋转的直线的。cos9sin0反射99在45°的反射对换x和y；它是，在每列和每行带有一个单一的1（其他都是0）:01'10单位矩阵也是置换矩阵。反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是的（

7、等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。更高维度不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于3X3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，-1000-1000-100-1表示通过原点的和关于z轴的（逆时针旋转900后车+对x-y平面反射，或逆时针旋转270后对原点反演）。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述3X3旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。但

8、是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。基本变换最基本的置换是换位（transposition）,通过交换单位矩阵的两行得到。任何nxn置换矩阵都可以构造为最多n-1次换位的积。构造自非零向量v的为（3=1一2丫VJVo这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射（取负平行于v任何向量分量）。如果v是单位向量，则Q=I-2vvT就足够了。Householder9反射典型的用于