算法总结---差分约束系统

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1、Contents一、定义二、详解三、例题一、定义（百度百科）：如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(systemofdifferenceconstraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]

2、。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[i]}即为一组可行解。例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：x1-x2≤0x1-x5≤-1x2-x5≤1x3-x1≤5x4-x1≤4x4-x3≤-1x5-x3≤-3x5-x4≤-3该问题的一

3、个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大5。引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。bellman-ford算法伪代码：foreachvÎVdod[v]<--无限大;d[s]<--0Relaxationfori=1,...,

4、V

5、-1doforeachedge(u,v)属于Edod[v]<--min{d[v],

6、d[u]+w(u,v)}Negativecyclecheckingforeachv属于Vdoifd[v]>d[u]+w(u,v)thennosolution在实际的应用中，一般使用SPFA(ShortestPathFastAlgorithm)算法来实现。差分约束系统中源点到每个点的距离确定关于Dist[]的初始化化1.如果将源点到各点的距离初始化为0，最终求出的最短路满足它们之间相互最接近了2.如果将源点到各点的距离初始化为INF(无穷大)，其中之1为0，最终求出的最短路满足它们与该点之间相互差值最大。3.差分约

7、束系统的确立要根据自己确定的约束条件，从约束点走向被约束点连边一般有两种方法，第一种是连边后求最长路的方法，第二种是连边后求最短路的方法。例：d[x]-d[y]>=Z如果想连边后求最长路那么将不等式变形为这种形式d[x]>=d[y]+zy---x连一条权值为z的边求最短路则变形成d[y]<=d[x]-zx---y连一条权值为-z的边。如果是别的不等式，也可以根据情况变形。但是要保证的是两个变量（x,y)的系数一定要是正的。而常量则不一定。定理：将如上差分约束系统转换成图后，以为源点得到的最短路径序列为（如果有解）

8、，则满足且若为任意解，则有。证明：首先由，则显然有满足，这是因为每条边对应一个不等式且由图的构造法可知。其次考察到的最短路径，我们有与直接相连且由路径最短知，其中为不等式的常量即为边的权，所以有。对k做归纳，由，又，所以即所以后者成立。证毕例：设有n个盒子标号为1...n，每个盒子最多放1个球。放法满足（0

9、放法，且为最大值。二、详解引自某网友：（本文假设读者已经有以下知识：最短路径的基本性质、Bellman-Ford算法。）    比如有这样一组不等式：    X1-X2<=0 X1-X5<=-1 X2-X5<=1 X3-X1<=5 X4-X1<=4 X4-X3<=-1 X5-X3<=-3 X5-X4<=-3 不等式组(1)    全都是两个未知数的差小于等于某个常数（大于等于也可以，因为左右乘以-1就可以化成小于等于）。这样的不等式组就称作差分约束系统。    这个不等式组要么无解，要么就有无数组解。因为如果有一

10、组解{X1,X2,...,Xn}的话，那么对于任何一个常数k，{X1+k,X2+k,...,Xn+k}肯定也是一组解，因为任何两个数同时加一个数之后，它们的差是不变的，那么这个差分约束系统中的所有不等式都不会被破坏。        差分约束系统的解法利用到了单源最短路径问题中的三角形不等式。即对于任何一条边u->v，都有： d(v)<=d(u)+w(u,v)    其中d