普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 试题

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1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．暂缺2．已知（）A．B．－C．D．－3．圆锥曲线（）A．B．C．D．4．等差数列中，已知，则n为（）A．48B．49C．50D．515．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．设函数若，则x0的取值范围是（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）7．函数的最大值为（）A．B．C．D．28．已知圆的弦长为时，

2、则a=（）A．B．C．D．9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．B．C．D．10．函数（）A．B．C．D．11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0），若则的取值范围是（）A．（，1）B．C．D．12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4

3、分，共16分，把答案填在题中横线上13．不等式的解集是14．展开式中的系数是15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）

4、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离.18．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且是和的等比中项.求.19．（本小题满分12分）已知c>0，设P：函数在R上单调递减Q：不等式x+x-2c>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形

5、区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）设为常数，且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9

6、.B10.D11.C12.A二、填空题：13．14．15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD三、解答题：（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D又EC=CC1，且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线.（II）解：连结ED1，有由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△DBC·d=S△DBD·EF.………………9分∵AA1=2·AB=1.故点D1到平面BDE的距离为.18．解：

7、设，则复数由题设19．20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①直线GE的方程为：②从①，②消去参数