“双勾函数”的性质及应用

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1、百度文库-让每个人平等地提升自我“双勾函数”的性质及应用,,,X25,问题引入：求函数y5的最小值.问题分析：将问题采用分离常数法处理得,X14—1XT^.x24X24如果利用均值不等式，即yJx24X24等式成立的条件为2百度文库-让每个人平等地提升自我2百度文库-让每个人平等地提升自我Jx24,1,而Jx24,1显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值・X24x24不是2,遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢？带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质.一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”

2、的性质1.“双勾函数”的定义k-我们把形如f(x)x—(k为常数，k0)的函数称为“双勾函数”.因为函数x一k一f(x)x—(k为常数，k0)在第一象限的图像如，而该函数为奇函数，其图x像关于原点成中心对称，故此而得名.2.类比“二次函数”与“双勾函数”的图像二次函数图像“双勾函数”图像3.类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质(1)“二次函数”的性质①当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x2百度文库-让每个人平等地提升自我的增大而增大；当x上-时，函数2a24acby有最小值4a②当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大

3、；在对称轴的右侧，y随着xb的增大而减小.当x-b-时，函数2a2-4acby有取大值4a(1)“双勾函数”性质的探究①当x0时，在xJk左侧,y随着x的增大而减小；在xJk的右侧，y随着x的增大而增大；当xJk时，函数y有最小值2次.②当x0时，在xJk的左侧，y随着x的增大而增大；在xJk的右侧，y随着x的增大而减小.当xJk时，函数y有最大值2jk.综上知，函数f(x)在(，Jk］和［衣，)上单调递增，在［衣,0)和(0,次］上单调递减.下面对“双勾函数”的性质作一证明.证明：定义法.设x1,x2R,且x1x2，则ak(xix2)(xix2k)k、f(x〔)fd

4、)xi-x一尸(xix2)(1).x1x2x1x2x1x2以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先x0,••x0就是一个分界点，另外我们用相等分界法”，令x1x2x0,1与0可得到xJk,因此又找到两个分界点Jk,Jk.这样就把f(x)的定义域x。分为(，Jk］,［Jk,0),(0,Jk］,［Jk,)四个区间，再讨论它的单调性.设0x1x2泵，则x1x20,x1x20,0x1x2k,x1x2k0.kk(xix2)(xix2k)••f(xi)f(x2)xi—x2-0^0,IPf(xi)f(x2).xix2xiIx2f(x)在(0,Jk］上单调递减.同理可得，f(x)在［

5、Jk,)上单调递增；在(，«］上单调递增；在［4,0)上2百度文库-让每个人平等地提升自我单调递减.故函数f(x)在(,Jk］和［Jk,)上单调递增，在［Jk,0)和(0,Jk］上单调递减.性质启发：由函数趋势，可作出函数yk,f(x)x—(k0)的单调性及f(x)在其单调区间的端点处取值的xf(x)的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质.此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能.4.“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比设f(x)ax2bxc(a0),求f(x)在x［m,n］上的

6、最大值与最小值.分析：将f(x)配方，得对称轴方程b2a①当a0时,抛物线开口向上.b2ab2a[m,[m,n］必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值；n］,此时函数在［m,n］上具有单调性，故在离对称轴—较远端2a(1)“二次函数”的区间最值图4图5百度文库-让每个人平等地提升自我点处取得最大值，较近端点处取得最小值.②当ab2ab2a0时,[m,[m,抛物线开口向下.n］必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值;n］,此时函数在［m,n］上具有单调性，故在离对称轴上较远端2a图4图5百度文库-让每个人平等地提升自我点处取得最小值，较近端点处取得最

7、大值.以上，作图可得结论.①当a0时,f(m)，f(x)maxf(n)，2ab2a1(mn)(如图1)21上e一(mn)(如图2)2f(n),2an(如图3)),m<—(mn)(如图9)f(x)min2a2b1f(n),--(mn)(如图10)2a2图6图10(1)“双勾函数”的区间最值k设f(x)x—