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1、Chapter12Mean-VarianceAnalysisSolvingmarketequilibriumandpricingassetundergeneralpreferenceanddistributionalassumptionsarenoeasytask.Wenowconsiderfurtherassumptionsonpreferencesand/orreturndistributionsinordertoobtainmoreconcreteresultsonassetpricing.下面我们考虑，参与者的偏好只取决于未来财富分布的两个特性即均值和方差，而与分布的其
2、他特性无关，这类偏好也叫做mean-variancepreference。aTTTTx!!=+1,rz=,zzxwwzwzxaxa!!=!!⇒==!!==(1)+r!wTT期望收益为zx，方差为zzΣΣ=,c(ov(xx!!,))。对偏好作假设：u，对支付作假设：x!。ijij考虑效用函数，预期收益的贡献应为“＋”，风险的贡献应为“－”，效用函数写为TT1uzxa=!−Σzz212-112.1Mean-VariancePreference我们再次从参与者的消费/组合选择问题开始。设市场上共有N只交易证券，支付矩阵为X。不失一般性，假设X的秩为N。我们把参与者的消费/储蓄决策当作
3、是给定的，而只考虑他们的组合选择。简单起见，我们假设所有参与者的1时禀赋都是市场化的，即eM∈。因此，我们考虑的是一个证券市场经济，而最优组合选择问题如（8.8）式k,1vw()max[()]=EuX!θ所述。一般而言，期望效用E[()]uw!依赖于w!的整个分布，underT(,θθSw=)someregularityconditions,wecanwrite∞1()nnuwuEwwEw()([]!!=+!−=[])!∑uEwwEw([])(!!−[])!n=0n!12=+uEw([])!!uEwwEw'([])(!−+[])!uEwwEw"([])(!!−+[])!R32∞
4、1()nnRu3=−∑([])(Ew!!!wE[])wn=3n!12-2Expectedutility∞∞11⎡⎤()nn()nnEuw[]()!!=−E⎢⎥∑∑uEwwEw([])(![])!!=−uEwEwEw([])(![])!⎣⎦nn==00nn!!12=uEw([])!!+uEw"([])()()σwER!+32∞1()nnER()3=∑uEw([]!)EwEw([!!−])n=3n!nNotethat(EwEw!!−[])isthen-thcentralmomentofw!.Inthisrepresentation,thepreferencesoverthedist
5、ributionofterminalwealthisexpressedaspreferencesoverallthemomentsofw!.Ifthepreferencesoverthewholedistributioncanberepresentedaspreferencesoveronlyfinitenumberofmomentsofw!,则其性质和相应的组合选择就会大大简化。Sincethefirsttwomoments,themeanandthevariance,arethemostoftenusedonesincharacterizingreturndistribut
6、ions,weareparticularlyinterestedinthecase12-3Euw[()!!]=vEw([],[])σw!(12.1)在这种情况下，我们说参与者的偏好有mean-variancerepresentation或参与者有mean-variancepreference.显然，(12.1)式只在u()⋅和/或w!的分布满足某些特定条件时才成立。给定wX!=!θ，w!分布上的限制条件意味着X!分布上的限制条件。下面我们考虑两个这类条件作为例子。简单起见，令wEw==[],!!σσ[]w。w12-4定理12.1If()u⋅isquadratic,thenEuw
7、[()](,)!=vwσ.w12Proof:Ifu()⋅isquadratic,thenuww()=−aw,wherea>0.Thus,2112212⎛⎞112Ew[!!!−=−aw][]EwaEw[][]!!=−Ewa⎡⎤()Ew[]!+=Varw[]!1−−=awwaσvw(,)σ⎣⎦⎜⎟ww222⎝⎠22∂v∂vFora>0,=−1awwhichispositiveifaw<1and=−aσ<0.（Theconditionw∂w∂σwthataw≤1isneededtoguarante
