第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题(一)

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1、第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题(一)　　数学从逻辑上讲，是训练思维的工具．通过学习数学可以使人更加聪明，办事更有条理，思维更加灵活而富于创造性．另一方面，如果从应用上讲，数学也是一种应用技术，应用数学知识、原理和方法可以解决各种实际问题．那么怎样把一个实际问题化成数学问题来解决呢？这是一个比较复杂的过程，大体上可以通过以下步骤进行：　　(1)了解实际问题中量的关系和图形元素的关联；　　(2)根据量或图形间的关系，寻找相应的数学模式；　　(3)考虑数学模式中的条件与结论的蕴涵关系，提出数学问题；　　(4)应用数学知识、原理，求出数学问题的解答；　　(5)由数学问题的解答，对实际问题作出解

2、释与讨论；　　(6)推广数学模式所能解决的更广泛的实际问题．　　但是由于实际问题千变万化，特别复杂，所以当把实际问题化成数学问题求解时，也有不同的思考方法．下面提出几点较为常见的方法，供读者参考．　　1．抽象分析法　　例1“七桥问题”．在18世纪东普鲁士的首府哥尼斯堡有一条河，叫作布勒格尔河，横贯城区，在这条河上共架有七座桥(图2-146)．所谓“七桥问题”就是：一个人要一次走过这七座桥，但对每一座桥只许通过一次，问如何走才能成功？这个问题，引起当时德国人的好奇，很多人都热衷于解决它，但谁也没有成功．　　欧拉(Euler)是一位大数学家，由于千百人的失败，使他猜想：这种走法可能根本不存在．但

3、是怎样证明这种走法不可能呢？欧拉运用抽象分析法，将之化成数学问题，于1736年证明了他的猜想，使“七桥问题”得到圆满的解决．那么欧拉是怎样抽象成数学问题进行思考的呢？　　使问题简单化．　　作为解决实际问题的第一步，要尽可能使问题简单化．为此要抓住问题的要点，做初步的抽象处理．显然岛的大小和桥的长短与问题无关，因此可以不加考虑．如果把岛及陆地用点表示，桥用线表示，那么这个问题就成了一笔画问题(图2-147)．　　在图2-147中，由A到B有桥1；由B到D有桥2，桥3；由D到C有桥4，桥5；由C到A有桥7；由A到D有桥6，共七座桥．这样，就把实际问题数学化了，使问题的解决推进了一步．　　一般说来

4、，在数学思考中，常把原问题不改变本质地加以变形，使其简单化，以利于找到解答．例如，列方程解应用问题就是这种思想的一种体现．先把实际问题化成含有已知量和未知量的方程，然后再把方程作同解变形，化为最简方程，较容易地求出方程的解，实际问题也就解决了．　　寻找解决问题的方法．　　问题简化了，也不一定能得到解决，关键是如何抓住本质加以分析，从中发现规律性．为此，我们还是从更特殊的情况进行观察分析．　　(1)假如只有三座桥(图2-148)．对于图2-148(a)来说，无论从哪个端点起一笔画出总是可能的．但对图2-148(b)来说，无论从哪个端点起，一笔画完总是不可能的．　　(2)假如有四座桥(图2-14

5、9)．对于图2-149(a)，(b)来说，显然可以一笔画成．但对图2-149(c)来说，却不能一笔画成．　　研究了这些简单例子，对我们有什么启发呢？为此，数学家提出了网络这一概念，以便利用新概念的特性，解决已经提出的问题．　　定义网络是由有限个点(称作网络的顶点)和有限条线(称作网络的弧)所组成的图形．这些点和线满足以下条件：　　(i)每条弧都以不同的两个顶点作为端点；　　(ii)每个顶点至少是一条弧的端点；　　(iii)各弧彼此不相交．　　这样，所谓一笔画问题，就是网络中的同一条弧不许画两次，而把网络全部勾画出来的问题．　　(3)研究网络能一笔画出的特点，寻找解决问题的方法．我们假定一个网

6、络能一笔画出来，那么这个网络中显然有一点为起点，另一点为终点，其他各点为通过点．设某点为起点，如果以某点为顶点的弧不只一条，那么由某点沿一条弧画出去，必沿另一条弧画回来，因此，最初是画出去，然后进出若干次后，把集中在某点的弧全部通过完毕为止，最后一次必须是画出去，所以在起点集中的弧必须是奇数条．而终点的情况刚好与起点相反，先是画进，再画出，进出若干次，最后一次必是画进，因此终点也集中奇数条弧．但起点与终点同为一点时，必是先出后进，中间或许经过若干次进出，最终回到起点．因此在该点集中的弧必是偶数条，而在中途通过的点所集中的弧显然也必定是偶数条．　　通过上面分析可知：一个网络中的点可分为两类，一

7、类顶点集中了偶数条弧，另一类顶点集中了奇数条弧．我们称前者为偶点，后者为奇点．例如，在图2-149(b)中，A，B为奇点，C，D为偶点．通过对图2-148和图2-149的考察，我们可以直观地想到如下结论：　　(i)一个网络若能一笔画出来，其中偶点个数必须是0或2．　　(ii)一个网络中的奇点个数若是0或2，那么这个网络一定能一笔画出来．　　欧拉证明了以上两条猜想，得到了著名的欧拉定理：一个网络能一笔画的条件是