实变函数教案ch10附录介绍

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1、第十章　附　录§10.1.R中Lebesgue测度的平移不变性及Lebesgue不可测集定义1．设，．称为E关于y的平移．引理1．设，则成立：(1)；　　(2)；(3)．(据，10题)(证略)定理1.(测度的平移不变性)　若E可测，则也可测，且．证：由，11题知，E可测可测，且．Zermelo选择公理．对于集族，若每个，则，可选取元素．Lebesgue不可测集的构造：，记．结论：(i)且．(ii)当．当，可取，则．矛盾．．对上的集族，每个非空，可取，得集合．下证F是不可测集．为此，记，．(iii)若则．假设满足．从而，且不为0，．于是，，这样，包含两个不同的点和，与F的取

2、法矛盾．(iv)．显然，．，设，则．由于．从而．有了以上准备，易证明F的不可测性．反证法．假设F可测，则也可测，且．但互不相交，故，即．是常数，这不可能成立．所以，F不可测．§10.2有界变差函数与绝对连续函数定义10.2.1.实函数，的分划，记，称为f在分划下对应的变差．若，则称为上的有界变差函数，记；称为在上的全变差；称，为的全变差函数．定义10.2.2.实函数．若对于上任意有限个互不相交的开区间，当时，有，称为上的绝对连续函数(或全连续函数)．定义10.2.3.设，称　，为f的一个不定积分．（书上错）定理10.2.1.(1)若，则有；若使得且，则，且有，．(2),．

3、(3)若，则，且，；，；，，其中分别为在上的界．　说明是一个线性空间．(4)若为上的有界单调函数，则，且.(5)若，则与具有相同的左、右连续点.(6)（Jordan分解）若，则存在上的两个单增函数，满足．定理10.2.2.(以下函数的定义域均为)．(1)绝对连续函数必为一致连续函数；(2)绝对连续函数必为有界变差函数；(3)满足Lipschite条件的函数必为绝对连续函数；(4)L可积函数的不定积分为绝对连续函数，且　；(5)绝对连续函数的线性组合与乘积为绝对连续函数；(6)绝对连续函数的全变差函数为绝对连续函数；(7)绝对连续函数必可分解为两个单增的绝对连续函数之差．引

4、理1.(略)．引理2.R上的有限值单调函数关于可导．定理10.2.3.设为上的有界单增函数，在的导数不存在的点x处规定为任一值，则，且．推论．若或绝对连续函数，则f在上存在有限导数．若在不存在的点处规定为任一值，则．引理3.若为上的绝对连续函数，且，于，则为常值函数．定理10.2.4.(微积分基本定理)．为上的绝对连续函数的充要条件是，满足；而且　于．推论．连续函数，对应的有限广义测度为，则为上的绝对连续函数．§10.3Riemann－Stieltjes积分定义10.3.1设为上的单增函数，对应于的每个分划，记．设f在上的有界实函数，，分别称为f关于与的　Darboux上

5、、下和，其中，．记，．若，称之为在上关于的Riemann－Stieltjes积分，并称在上关于R－S可积，记为．定理10.3.1.的充要条件是，，分划，使得．定理10.3.2.若,则；并且，对于,对的任一分划，，以及在分划下的任一介点集（其中），均有．定理10.3.3.设为上的有界单调函数，为上的有界单增连续函数，则．定理10.3.4.（R－S积分的基本性质）(1)若，并且．(2)若，为常数，则，并且．说明是一个线性空间．(3)若，，则．(4)若，则，，并且．(5)若，，则，并且．(6)若，为正常数，则，并且．定理10.3.5.设，，，则（与的复合函数）．定理10.3.6

6、.若，那么：(1)；　　　　　　　(2)，且．定义10.3.2设为上的有界函数，为上的有界单增函数．对应于的任一分划，任取介点集，作和，称它为关于与的Riemann－Stieltjes积分和．　　设A为实常数，若，对于任一分划以及介点集，只要，就有，则记作．定理10.3.7.若与有公共的间断点，则不存在．定理10.3.8.(1)若存在，则，且．(2)若(a)，或(b)，且在上连续单增，则上式成立．定义10.3.3，Jordan分解．若积分，存在，定义．［注］在下述两种情形下，则上述积分必存在：(A)，；(B)，且．定理10.3.9.设，满足上述注的(A)或(B)，为在上的

7、全变差函数，则．定理10.3.10.设，，则．（分部积分法）定理10.3.11.若，为上有界单增函数，则满足．定理10.3.12.若在上单调，且，则使得．定理10.3.13.若，为严格增加函数，是的反函数，记则　　．（换元积分法）定理10.3.14.若，则，且．定理10.3.15－10.3.16.设，，为在上的全变差函数．定义，，，那么：(1)，且；(2)；；(3)．定理10.3.17.设在上有界，为上有界单增函数，则以下三条等价：(1)．(2)存在实常数具有下列性质：，存在的一个分划，使得对的任一加细及分划下的任一介点集，有