万能代换公式并非万能 苏教版（通用）

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1、万能代换公式并非万能普通高中课程标准实验教科书（必修4）第113页以问题的形式给出了万能代换公式，即设，，，利用万能代换公式，可以用tan的有理式统一表示α角的任何三角函数值；有助于问题的解决，但仔细分析万能能代换不是恒等式，其左右两边的角α的取值范围不同，因此在应用万能代换公式解决有关问题时，要注意题设条件和万能代换公式的成立条件，避免陷入解题误区，下面略举三例说明之。例1、设θ∈(0,π)，且sinθ+cosθ=，求cotθ错解：∵sinθ+cosθ=，由万能代换公式得：，解之得：或，由万能代换公式得：或∴cotθ=－或cotθ=－评析：∵θ∈(0,π)，且sinθ+cosθ

2、=∴θ∈∴cotθ∈(－1,0)故cotθ=－例2、求函数的值域错解：令由万能代换公式得变形得：2yt2+3yt+2y－3=0∴∴故原函数的值域为{y

3、}评析：万能代换并非等价变换，定义域缩小了，值域就有可能缩小，因此需要进行“补漏”工作，当x=2kπ+π，k∈Z时，代入原函数中，得y=0，故原函数的值域应为{y

4、}例3、求函数的最小正周期。错解：应用万能代换公式将原函数化为=tan2x故原函数的最小正周期T=评析：∵与y=tan2x根本不是同一函数。∴必须在y=tan2x加上限制条件，即x≠kπ+，k∈Z，求和是同一函数。由周期函数及最小正周期的定义知，原函数的最小正周期T=π

5、。