基于曲线拟合数值方法的研究与理解

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1、基于曲线拟合数值方法的研究与理解学号1014202032学生陆宇颖摘要:提出一种带插值条件的移动最小二乘曲线拟合方法。首先考虑带插值条件的最小二乘拟合,构造新的带插值条件最小二乘拟合方法,它具有拟合函数次数低、计算方便等优点。然后,将该方法推广到移动最小二乘拟合中,得到带插值条件的移动最小二乘曲线,实验结果表明该方法拟合效果更好。1概述曲线拟合，俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做

2、拟合。在科学实验或社会活动中,人们常常需要观测很多数据的规律,通过实验或者观测得到量x与y的一组数据对（）(i=1,2,…，N),其中是彼此不同的。人们希望用一类与数据本质规律相适应的解析表达式，y=来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。常称作拟合模型，当c在中线性出现时，称为线性模型，否者称为非线性模型。线性模型是回归模型中最常见的一种，但在实际中，许多现象之间的关系往往并不是线性的，而是呈现某种曲线关系。如服药后血药浓度与时间的关系；病毒剂量与致死率的关系；化学反应的反应物浓度与反应速度的关系。这就产生的曲线

3、拟合，用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。2数据拟合方法分类在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。例如，在某化学反

4、应中，测得生成物的质量浓度y(10–33g/cm)与时间t（min）的关系如表所示t12346810121416y4.006.418.018.799.539.8610.310.410.510.63231显然，连续函数关系y(t11是客观存在的。但是通过10表中的数据不可能确切9地得到这种关系。何况，8由于仪器和环境的影响，7测量数据难免有误差。因6此只能寻求一个近拟表5达式40246810121416y=(t)寻求合理的近拟表达式，以反映数据变化的规律，这种方法就是数据拟合方法。数据拟合需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数(t)作为拟合函数（数学模型）；第二，对于选定的

5、拟合函数，如何确定拟合函数中的参数。数学模型应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势（总体的变化规律）。拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选择。为了问题叙述的方便，将例1的数据表写成一般的形式tx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10yy1y2y3y4y5y6y7y8y9y102.1线性拟合假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。则下一步是确定函数y=a+bx中系数a和b

6、各等于多少？从几何背景来考虑，就是要以a和b作为待定系数，确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条直线。一般来讲，数据点将不会全部落在这条直线上，如果第k个点的数据恰好落在这条直线上，则这个点的坐标满足直线的方程，即a+bxk=yk如果这个点不在直线上，则它的坐标不满足直线方程，有一个绝对值为abxy的差异（残差）。于是全部点处的总误差是kk10abxkykk1这是关于a和b的一个二元函数，合理的做法是选取a和b，使得这个函数取极小值。但是在实际求解问题时为了操作上的方便，常常是求a和b使得函数102F(a,b)(abxkyk)k1达到极

7、小。为了求该函数的极小值点，令FF0，0，ab得10102(abxkyk)0，2(abxkyk)xk0k1k1这是关于未知数a和b的线性方程组。它们被称为法方程，又可以写成101010axkbykk1k11010102xkaxkbxkykk1k1k1求解这个二元线性方程组便得待定系数a和b，从而得线性拟合函数y=a+b1211109876540246810121416x。下图中直线是数据的线性拟合的结果。2