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《欧拉法、梯形法和龙格-库塔解微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精品资料欢迎下载欧拉法、梯形法和龙格-库塔一、解方程：=8x〔2-y〕y〔0〕=1二、算出方程的解析解为：y=2-三、试验原理：1.欧拉法原理：将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'〔xi〕=f〔xi,y〔xi〕〕，再用向前差商近似代替导数就为：，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离；因此可以依据点的数值运算出yi+1来：xi点和yi，i=0,1,2,n这就是欧拉格式，如初值yi+1是已知的，就可依据上式逐步算出数值解y1,y2..yn2.梯形法原理：将向前欧拉公式中的导数f〔xi,yi〕改为微元两端f〔xi,
2、yi〕和f〔xi+1,yi+1〕的平均，即梯形公式；3.龙格-库塔方法的基本思想：精品资料欢迎下载在区间[xn,xn+1]内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似；令初值问题表述如下；就，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值〔yn+1〕由现在的值〔yn〕加上时间间隔〔h〕和一个估算的斜率的乘积打算；该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开头时的斜率；k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采纳斜率k1来打算y在点tn+h/2的值；k3也是中点的斜率，但是这次采纳斜率k2打算y值；精品资料欢迎下载k4是时间
3、段终点的斜率，其y值用k3打算；当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积存误差为h4阶；四、欧拉法、梯形法和龙格-库塔的实现代码：h=0.1;x=0:h:1;y1=zeros〔size〔x〕〕;y1〔1〕=1;y2=zeros〔size〔x〕〕;y2〔1〕=1;y3=zeros〔size〔x〕〕;y3〔1〕=1;fori1=2:length〔x〕y1〔i1〕=y1〔i1-1〕+h*8*x〔i1-1〕*〔2-y1〔i1-1〕〕;%欧拉法m1=8*x〔i1-1〕*〔2-y2
4、〔i1-1〕〕;%梯形法m2=8*x〔i1〕*〔2-y2〔i1-1〕+h*m1〕;精品资料欢迎下载y2〔i1〕=y2〔i1-1〕+h*〔m1+m2〕/2;%梯形法公式k1=8*x〔i1-1〕*〔2-y2〔i1-1〕〕;%龙格-库塔k2=8*〔x〔i1-1〕+h/2〕*〔2-〔y2〔i1-1〕+h*k1/2〕〕;k3=8*〔x〔i1-1〕+h/2〕*〔2-〔y2〔i1-1〕+h*k2/2〕〕;k4=8*〔x〔i1-1〕+h〕*〔2-〔y2〔i1-1〕+h*k3〕〕;y3〔i1〕=y3〔i1-1〕+〔k1+2*k2+2*k3+k4
5、〕*h/6;%龙格-库塔公式endy4=2-exp〔-4*〔x.^2〕〕;%解析解plot〔x,y1,x,y2,x,y3,x,y4〕%解析解与数值解图像legend〔'y1','y2','y3','y4'〕plot〔x,y4-y1,x,y4-y2,x,y4-y3〕%解析解与数值解误差图像legend〔'y4-y1','y4-y2','y4-y3'〕五、图像：1.解析解y4与各个数值解y1,y2,y3的图像:(1)当步长h=0.1时：¢2ıżË—lś:h=0.056È:3JJśżËlïïh=0.01BÈ:精品资料欢迎下载结论：三
6、个图中，方程的解析解都是y4；Y1表示欧拉法,y2表示梯形法,y3表示龙格-库塔法；从上面三个图像可以看出，y3与y4的拟合度比其他两个都好，即龙格-库塔法得到的数值解与真实解的拟合度比欧拉法和梯形法都高；同时，从上图可以看出，步长h=0.01比h=0.05和h=0.1所得到的的解更接近于真实解，这也说明白，步长越小，区间内的点越多，估量解也就越接近与真实解；1.解析解y4与各个数值解y1,y2,y3的误差图像：（1）当步长h=0.1时y4-y1y4-y2¢2JAıΣh=0.05〔3〕żá,>.Ï£h=0.016È精品资料欢
7、迎下载结论：同样的，上面三个误差图可以看出：y4-y3表示龙格-库塔法与真实解的误差，y4-y2表示梯形法与真实解的误差，y4-y1表示欧拉法与真实解的误差；从三条曲线可以看出，y4-y3在[0,0.5]的误差很小，但是在[0.5,1]误差就有点大了；但是总体来说都比其他两个好；同时，从三个图也可以看出，步长越小，数值解与解析解的误差也就越小；
