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《欧拉法、梯形法和龙格-库塔解微分方程》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精品资料欢迎下载欧拉法、梯形法和龙格-库塔一、解方程:=8x〔2-y〕y〔0〕=1二、算出方程的解析解为:y=2-三、试验原理:1.欧拉法原理:将区间[a,b]分成n段,那么方程在第xi点有y'〔xi〕=f〔xi,y〔xi〕〕,再用向前差商近似代替导数就为:,在这里,h是步长,即相邻两个结点间的距离;因此可以依据点的数值运算出yi+1来:xi点和yi,i=0,1,2,n这就是欧拉格式,如初值yi+1是已知的,就可依据上式逐步算出数值解y1,y2..yn2.梯形法原理:将向前欧拉公式中的导数f〔xi,yi〕改为微元两端f〔xi,
2、yi〕和f〔xi+1,yi+1〕的平均,即梯形公式;3.龙格-库塔方法的基本思想:精品资料欢迎下载在区间[xn,xn+1]内多取几个点,将他们的斜率加权平均,作为导数的近似;令初值问题表述如下;就,对于该问题的RK4由如下方程给出:其中这样,下一个值〔yn+1〕由现在的值〔yn〕加上时间间隔〔h〕和一个估算的斜率的乘积打算;该斜率是以下斜率的加权平均:k1是时间段开头时的斜率;k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采纳斜率k1来打算y在点tn+h/2的值;k3也是中点的斜率,但是这次采纳斜率k2打算y值;精品资料欢迎下载k4是时间
3、段终点的斜率,其y值用k3打算;当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5阶,而总积存误差为h4阶;四、欧拉法、梯形法和龙格-库塔的实现代码:h=0.1;x=0:h:1;y1=zeros〔size〔x〕〕;y1〔1〕=1;y2=zeros〔size〔x〕〕;y2〔1〕=1;y3=zeros〔size〔x〕〕;y3〔1〕=1;fori1=2:length〔x〕y1〔i1〕=y1〔i1-1〕+h*8*x〔i1-1〕*〔2-y1〔i1-1〕〕;%欧拉法m1=8*x〔i1-1〕*〔2-y2
4、〔i1-1〕〕;%梯形法m2=8*x〔i1〕*〔2-y2〔i1-1〕+h*m1〕;精品资料欢迎下载y2〔i1〕=y2〔i1-1〕+h*〔m1+m2〕/2;%梯形法公式k1=8*x〔i1-1〕*〔2-y2〔i1-1〕〕;%龙格-库塔k2=8*〔x〔i1-1〕+h/2〕*〔2-〔y2〔i1-1〕+h*k1/2〕〕;k3=8*〔x〔i1-1〕+h/2〕*〔2-〔y2〔i1-1〕+h*k2/2〕〕;k4=8*〔x〔i1-1〕+h〕*〔2-〔y2〔i1-1〕+h*k3〕〕;y3〔i1〕=y3〔i1-1〕+〔k1+2*k2+2*k3+k4
5、〕*h/6;%龙格-库塔公式endy4=2-exp〔-4*〔x.^2〕〕;%解析解plot〔x,y1,x,y2,x,y3,x,y4〕%解析解与数值解图像legend〔'y1','y2','y3','y4'〕plot〔x,y4-y1,x,y4-y2,x,y4-y3〕%解析解与数值解误差图像legend〔'y4-y1','y4-y2','y4-y3'〕五、图像:1.解析解y4与各个数值解y1,y2,y3的图像:(1)当步长h=0.1时:¢2ıżË—lś:h=0.056È:3JJśżËlïïh=0.01BÈ:精品资料欢迎下载结论:三
6、个图中,方程的解析解都是y4;Y1表示欧拉法,y2表示梯形法,y3表示龙格-库塔法;从上面三个图像可以看出,y3与y4的拟合度比其他两个都好,即龙格-库塔法得到的数值解与真实解的拟合度比欧拉法和梯形法都高;同时,从上图可以看出,步长h=0.01比h=0.05和h=0.1所得到的的解更接近于真实解,这也说明白,步长越小,区间内的点越多,估量解也就越接近与真实解;1.解析解y4与各个数值解y1,y2,y3的误差图像:(1)当步长h=0.1时y4-y1y4-y2¢2JAıΣh=0.05〔3〕żá,>.Ï£h=0.016È精品资料欢
7、迎下载结论:同样的,上面三个误差图可以看出:y4-y3表示龙格-库塔法与真实解的误差,y4-y2表示梯形法与真实解的误差,y4-y1表示欧拉法与真实解的误差;从三条曲线可以看出,y4-y3在[0,0.5]的误差很小,但是在[0.5,1]误差就有点大了;但是总体来说都比其他两个好;同时,从三个图也可以看出,步长越小,数值解与解析解的误差也就越小;