交通工程总论补充习题2

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1、补充习题21、某交叉口信号周期长为90s,某相位的有效绿灯时间为45s,在有效绿灯时间内排队车辆以1200辆每小时的流量通过交叉口。假设信号交叉口上游车辆到达率为400辆每小时,服从泊松分布。求:(1)一个周期内到达车辆不超过10辆的概率;(2)求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。1.解:1)由于车辆到达率为400辆/h,所以一个周期内平均到达车辆数:m=所以一个周期内到达车辆数X不超过10辆概率为:P(X<=10)=2)由于到达车辆只能在有效绿灯时间内离开,所以一个周期内能离开最大车辆数为,如果某周期内到达车辆数X

2、大于15辆,则最后到达的X-15辆车就不能在本周期通过,而要在下个周期通过,以致二次排队。所以,不发生二次排队的概率为:P(x<=15)=2、设有30辆车随意分布在6KM长的道路上,试求其中任意500m长的一段,至少有4辆车的概率。解:由题意知,由于30辆车独立而随机地分布在6km长的道路上,因此,500m长路段上所包括的车辆平均数为:m=,故其上的车辆数服从泊松分布:P(X=x)=,P(x=0)==0.082由递推公式P(X=x)得到:P(X=1)=0.205;P(X=2)=0.257;P(X=3)=0.2143、某交

3、叉口最新的改善措施中,欲在交叉口入口设置一条左转弯候车道,为此需要预测一个周期内到达的左转车辆数。经研究发现,来车符合二项分布,并且每个周期内平均到达25辆车,有25%的车辆左转。求:(1)求左转车的95%置信度的来车数;(2)求到达5辆车中有一辆左转车的概率。解:(1)由于每个周期平均来车辆数位25辆,而左转车只占25%,所以左转车x的分布为二项分布,因此,置信度为95%的来车数应满足:计算可得:。因此,可令。即左转车的95%置信度的来车数为9。(2)由题意知,到达左转车服从二项分布:所以因此,到达5辆车有1辆左转车的

4、概率是0.3955。4、有一个无信号交叉口,主要道路上的车流量为Q辆/小时,次要道路上车辆横穿主路车流所需要的时间为秒,假设主要道路上车头时距服从负指数分布,求次要道路上车辆的平均等待时间。解:主要道路上车头时距为负指数分布,即分布密度为,分布函数为,其中。由于只有当主路上车头时距时,次要道路上车辆才可以穿越。所以,主路上任意一个间隔可被接受的概率为:拒绝的概率为:可求任意一个被拒绝的间隔,其分布为,即:由概率论的条件概率论部分知识,可求得:所以被拒绝的间隔平均长度为:假设次要道路上的车辆接受了第i+1个间隔,则其前j个

5、间隔都小于2,只有第j+1个间隔不少于2。所以拒绝j个间隔的概率为:车辆等待的时间为拒绝的平均间隔数与其平均长度的乘积,故等待时间为,即:5、一个停车库出口只有一个门,在门口向驾驶员收费并找零钱。假设车辆到达服从泊松分布,车辆平均到达率为120辆/h,收费平均持续时间15s,服从指数分布,试求收费空闲的概率、系统中有n辆车的概率、系统中平均车辆数、排队的平均长度、平均非零排队长度、排队系统中的平均消耗时间、排队中的平均等待时间。解:由题意知,这是个M/M/1系统,并且辆/小时,次/小时。系统稳定。收费空闲的概率(系统中没

6、有顾客的概率):系统中有n辆车的概率:系统中的平均车辆数:平均排队长度:辆平均非零排队长度:辆系统中的平均消耗时间:分钟排队中的平均等待时间:6、拟修建一个服务能力为120辆/h的停车场,只有一个出入通道。据调查每小时有72辆车到达,假设车辆到达服从泊松分布,每辆车服务时间服从负指数分布,如果出入通道能容纳5辆车,问是否合适?解:这个是M/M/1排队系统。由题意可知:辆/小时,辆/小时,因此此系统稳定。系统中平均车辆数为:辆<5辆。因此,系统中的平均车辆数小于通道的容纳能力,故合适!

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