高考数学分类专题复习之06 求通项公式

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1、第六讲求通项公式★★★高考在考什么【考题回放】1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an-1)，则a2等于(A)A.4B.2C.1D.-22．在数列中，，且，则35．3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　2n+1-2.5.已知数列{}的前项和，则其通项；若它的第项满足，则.2n-10;86.已知数列对于任意，有，若，则．47.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且

2、a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.解析∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)．当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．★★★高考要考什么一、

3、根据数列{an}的前n项和求通项Sn=a1+a2+a3+……+an已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.二、由递推关系求数列的通项1.利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列。3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得an）。4.对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。★★★突破重难点【范例1】记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和解析（I）整理得（Ⅱ）由

4、所以．【变式】数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．解：（I），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（II）当时，由于，，…………，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以【范例2】设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．解：（1）由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故．则又由（1）知且，故，因此为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由可得，即两边开平方得．即为正整数【变式】已知数列中，对一切自然数，都有且．求证：(1)；

5、(2)若表示数列的前项之和，则．解析：(1)由已知得，又因为，所以,因此，即．(2)由结论(1)可知，即，于是，即．【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{Pn}}.求：（Ⅰ）的关系式；（Ⅱ）数列的通项公式；（Ⅲ）（理）当时，的极限位置的坐解析（Ⅰ）由题得过点P1（的切线为过原点又过点Pn（的因为过点Pn-1（整理得（Ⅱ）由（I）得所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列（Ⅲ）的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问题，一般

6、有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【变式】已知函数f(x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，(Ⅰ)x（Ⅱ）.解、(I)证明：因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是以.（II）因为函数，当时单调递增，而，所以，

7、即因此又因为令则因为所以因此故