高等数学知识地图

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1、集合概念左右导数函数映射几何、物理意义函数保序性导数高阶导数→莱布尼茨公式数列极限唯一性基本求导公式联系→性质有界性四则运算法则微积分学函数极限保号性求导法则复合函数求导法则e^x理论基础无穷小→无穷小的比较→等价无穷小一元函数定义反函数求导法则常用展开sin(x)、cos(x)——极限无穷及常用代换微分学微分几何意义隐函数求导法则ln(1+x)、(1+x)^n函数、无穷大及应用微分公式参数函数求导法则极限运算法则运算法则柯西中值定理麦克劳林中值定理→佩亚诺型余项和连续存在法则→重要极限近似计算

2、↑↑定义四则运算微分中值定理→费马引理→罗尔定理→拉格朗日中值定理→泰勒中值定理→拉格朗日型余项复合函数洛必达法则——零比零型、无穷比无穷型连续性反函数单调性→极值、最值连续初等函数凸凹性→拐点端点间断点第一类——可去、跳跃切线法↓第二类——无穷、振荡导数应用零点二分法鞍点最值点←间断点、不可导点最值定理水平渐近线函数↑↑性质零点定理渐线性铅直渐近线作图驻点→极值点介值定理斜渐近线y’=0原理基本概念弧微分零点基本定理曲率曲率圆拐点y=0可分离变量的微分方程曲率半径y’’=0一阶微分方程齐次微分

3、方程→可化为齐次微分方程的方程定义←原函数线性微分方程不定积分性质基本积分公式有理函数的积分常微分伯努利方程换元积分法无理函数的积分无穷限的反常积分方程全微分方程计算分部积分法三角有理式的积分无界函数的反常积分可降阶的y^(n)=f(x)一元函数特殊积分计算反常积分反常积分审敛法高阶微分方程y’’=f(x,y’)、y’’=f(y,y’)积分学定义与性质→积分中值定理Γ函数高阶微分方程常系数线性齐次方程及应用微积分基本公式（N-L公式）微分方程非齐次方程Pn(x)e^ax基本积分法差分欧拉方程(P

4、l(x)cos(bx)定积分计算换元积分法弧长方程其他解法幂级数解法+Pn(x)sin(bx))e^ax分部积分法几何应用平面面积、回转体侧面积微分方程组的解法应用物理应用体积概念、性质→条件收敛比较　　　　　　　　　　　　　　　平面点集　定义几何级数→绝对收敛比值　　　　　　　　　　理论基础　　极限　最值定理p级数敛散性审敛法根值　　　　　　　　　　　　　　　多元函数　连续　介值定理常数项级数正项级数极限偏导数定义、计算交错级数莱布尼茨定理　　　　　　　多元函数高阶偏导数无穷级数概念线性性质收

5、敛区间　　　　　微分学　微分法全微分幂级数性质微分积分性收敛域　　　　　　及应用　　　　求导法则——复合函数、隐函数敛散性收敛半径→求法应用向量值函数→方向导数→梯度grad函数项级数泰勒级数→函数展开式　　　几何曲线——切线与法平面应用近似计算曲面——法线与切平面解微分方程极值、最值→条件极值→拉格朗日乘数法三角级数→正交性泰勒公式→拉格朗日中值定理↓定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定义、性质→中值定理傅立叶级数敛散性→狄利克雷收敛定理　　　　　　计算　直角坐标

6、→X、Y型函数展开T=2π余弦级数→偶延拓　　　　二重积分极坐标→R、θ型T=2l正弦级数→奇延拓　　　　　　　　　　　　　无界区域上的二重积分定义、坐标表示　　　重积分　　　　　　换元法概念模方向角定义、性质直角坐标截面法方向方向余弦　　　　多元函数三重积分计算柱坐标面积投影法向量运算加减法方向数　　　　积分学　　　　　　　　　　换元法　　　球坐标　　　　乘法→数乘、数量积、向量积、混合积　　　　及应用　　　　　　应用　几何　空间体积　　相互关系平行、垂直物理曲面面积　　夹角、投影第一类曲线积

7、分——定义、性质、计算空间方程——一般式、点法式、截距式、三点式↓联系↑解析几何面平面关系——平行、垂直、相交、夹角曲线积分第二类曲线积分——定义、性质、计算与距离——点面、线面、面面线面积分格林公式→平面曲线积分与路径无关的条件向量代数二次曲面——九种常见曲面及方程斯托克斯公式→空间曲线积分与路径无关的条件曲面法线与切平面第一类曲面积分——定义、性质、计算方程——一般式、点向式、参数式、两点式曲面积分↓联系↑直线关系——平行、垂直、相交、异面、夹角——平面束第二类曲面积分——定义、性质、计算线

8、距离——点线、线线概念→数量场、矢量场高斯公式→延任意闭曲面的曲面积分为零的条件方程方向导数→梯度grad曲线投射——投影柱面、投影曲线场论　通量→散度div哈密顿算子▽→拉普拉斯算子△切线与法平面　　　　　环量→旋度rot