函数逼近的几种算法及其应用

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1、--函数逼近的几种算法及其应用摘要在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题.近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的开展潜力．本课设中共有两章，第一章介绍了函数逼近的产生及研究意义，根底知识，最正确平方逼近法，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近的算法的几种函数比拟方式.第二章从函数逼近的应用角度，详细介绍了有理函数逼近在数值优化中的应用和泰勒级数判定迭代法的收敛速度，以及几种函数逼近的计算实例.关键

2、词最正确平方逼近法；曲线拟合的最小二乘法；有理逼近；三角多项式逼近；帕徳逼近目录引言1第一章函数逼近2§1.1函数逼近的产生背景及研究意义2§1.2根底知识3§1.2.1函数逼近与函数空间3§1.2.2数与赋空间4§1.3最正确平方逼近5§1.3.1最正确平方逼近及其计算5§1.3.2用正交函数组作最正确平方逼近6§1.4有理逼近8§1.4.1有理逼近的定义及构造8§1.4.2有理插值函数的存在性9§1.4.3有理插值函数的唯一性10§1.4.4几种常见的有理逼近11§1.5三角多项式逼近与多项式逼近12§1.5.1三角多项式逼近12§1.5.2傅里叶级数的一致收敛性12..

3、word.zl--§1.5.3以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近13§1.5.4[0,π]上连续函数的三角多项式逼近14§1.5.5闭区间上连续函数的三角多项式逼近14§1.5.6闭区间上连续函数的多项式逼近15§1.6其他函数逼近15§1.6.1曲线拟合的最小二乘法15§1.6.2泰勒级数16第二章函数逼近应用18§2.1有理逼近在数值优化中的应用18§2.1.1直线搜索方法18§2.1.2计算方法19§2.1.3计算实例19§2.2各种泰勒级数判定迭代法的收敛速度20§2.3各种函数逼近的计算实例21§2.3.1最正确平方逼近多项式计算实例21§2.3.2曲线拟合的最

4、小二乘法计算实例22§2.3.3帕德逼近的计算实例23参考文献24..word.zl--引言函数逼近是函数论的一个重要组成局部，涉及的根本问题是函数的近似表示问题．在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差．这就是函数逼近问题．在函数逼近问题中,用来逼近函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了,在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g确实定方式仍然是各式各样的;g对ƒ的近似程度〔误差〕也可以有各种不同的含义．所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其容十分丰富．给定函数

5、，用来逼近的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类．逼近函数类可以有多种选择．..word.zl--第一章函数逼近§1.1函数逼近的产生背景及研究意义从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V．赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最正确逼近问题．这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的．在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法．切比雪夫提出了最正确逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最正确逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最正确逼近元的特征定理．他和他的学生们

6、研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果．1885年德国数学家K．〔T.W．〕尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原那么上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的准确度在函数的定义区间上一致地近似表示．虽然没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好，但仍可以说切比雪夫和尔斯特拉斯是逼近论的现代开展的奠基者．在自然科学与科学技术领域中存在着大量的需要解决的非线性问题．近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关

7、于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的开展潜力．我们举一个例子，如有如〔1-1〕式的分式展开．〔1-1〕取第n级渐近分式，即可得到的有理逼近式．一般地，是的[n/n]帕徳逼近,它的展开式将含有的Taylor展开式前2n项的和，并且与的独立参数个数一样．记与分别表示与的逼近误差，并取x=1．两种逼近的计算结果与误差比照方表1．表1-1的[n/n]帕徳逼近与2n阶Taylor多项式逼近比拟nRn(1)S2n(1)10.6670.2610-10．50．1920．692310．8410-30．580．11..wo