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1、多项式恒等定理在初等数学中的应用TheApplicationsofPolynomialIdentityTheoreminElementaryMathematics专业:数学与应用数学作 者:指导老师:学校二○摘要多项式恒等定理在多项式代数中占有重要地位.它是多项式代数中一个重要定理——待定系数法的理论依据.本文给出了多项式相等和恒等的定义与多项式恒等定理,并介绍了利用多项式恒等定理证明组合恒等式,进行多项式因式分解等初等数学中的几个方面的应用.关键词:多项式;恒等;多项式恒等定理;待定系数法;因式分解;二项
2、式定理IIAbstractPolynomialIdentityTheoremplaysanimportantroleinthepolynomialalgebra.Itisanimportantalgebraicpolynomialtheorem,anditisbasedonthetheoryfortheundeterminedcoefficientmethod.Inthispaper,thedefinitionofthesamepolynomialsandPolynomialIdentityTheoremha
3、vebeengiven,andweintroducedsomeapplicationsofthepolynomialidentitytheoreminelementarymathematics,suchasusingittoprovecombinatorialidentitiesandtofactorizepolynomial.Keywords:polynomial;identity;PolynomialIdentityTheorem;undeterminedcoefficientmethod;factori
4、zation;BinomialTheoremII目录摘要IAbstractII0引言11多项式恒等定理的有关理论12多项式恒等定理在初等数学中的应用42.1待定系数法42.2在三角中恒等式中的应用72.3证明恒等式82.4因式分解102.5多项式恒等定理解决二项式问题的应用12参考文献140引言多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位.对于形式表达式,多项式与恒等即:除去系数为零的项外,同次项系数全相等.从函数的观点考察,数域上一个次数不超过的非零多项式在中至多有个根,因此,当取个不同的值时,,那么一定
5、有.由此推出,两个次数均不超过的多项式和,如果对于的个不同的值,都有,那么.关于多项式恒等定理的一些研究见文[3]-[5].它不仅是待定系数法的理论依据,同时在初等数学中还有更广泛的应用.在这篇文章中,我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明,并探讨它在初等数学中的应用.1多项式恒等定理的有关理论定义1设是一非负整数.形式表达式（1）其中全属于数域,称为系数在数域中的一元多项式,或者简称为数域上的一元多项式.定义2如果在多项式与中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么与就称为相等,记为.系数全为零的多
6、项式称为零多项式,记为0.定义3两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等.常用记号表示恒等.定理1若数域上的多项式恒等于零,即,则.证明：对多项式（1）的次数用数学归纳法.证定理对于成立.第14页,共14页设形如.若对于的任意值,,令,则,故；再令,即,故.定理对于的情况成立.（2）假设定理对于成立,推证对于成立.设形如.由于,用代,得.（3）由（2）式,又可得.（4）由于,故,.式-（3）式,得.上式左边是一个情形的多项式,它恒等于零.由归纳假定,必须其所有系数都是零：,,,.于是
7、,.多项式,化为.令,又得.定理2数域P上非零多项式恒等的充要条件是.证明：充分性.即由推出.设,即,且对应系数相等.那么和是同一个多项式,当然是恒等的.必要性.即由推出.第14页,共14页若次数不等,设,让减去,得.等式左边是的多项式,由于它恒等于零,根据定理1,,与已知矛盾.故与次数相等：.所以由定理1,.或.所以.定理3多项式恒等定理：数域上两个多项式（或）的充要条件是.证明：根据定理2,的充要条件是.只需证的充要条件是.由定义1,,,且同次项对应的系数相等,即.反过来,,.故.特别的充要条件是.定理4
8、中次多项式在数域中的根不可能多于个,重根按重数计算.本定理的证明过程参见参考文献[2]第25页.定理5如果多项式的次数都不超过,而它们对个不同的数有相同的值,即第14页,共14页,,那么.证明：由定理的条件,有这就是说,多项式有个不同的根.如果那么它就一定是一个次数超过的多项式,由定理3,它不可能有个根.因此,.因为数域中有无穷多个数,所以上述结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.数域上
