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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文关于凸函数的研究作者：指导老师：摘要本文从凸函数的多种定义入手,介绍了凹凸函数的性质及判定定理.在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的定义，判定方法及其应用.然后将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出元凹凸函数的定义及判定方法.本文主要讨论了一元、二元、多元凹凸函数的定义、性质及判定方法，并介绍了它们在不等式中的应用.关键词凸函数不等式多元函数1引言凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的研
2、究领域中占有十分重要的地位.到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究.对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处.特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用.凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用.因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要.同时，凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及.所以，总结一
3、些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的.2凸函数的概念及其等价定义2.1凸函数的概念定义2.1设为定义在区间上的函数，若对,,(0,1)，有（2.1.1）则称为上的凸函数.反之，如果总有（2.1.2）则称为上的凹函数.若式（2.1.1），（2.1.2）中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.2.2凸函数的等价定义凸函数除了上述定义之外还有多种不同定义形式，这些定义之间是相互等价的.常见的凸函数定义还有：定义2.2设
4、为定义在区间上的函数，那么为上的凸函数当且仅当对第16页共16页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文任意两点,,有.定义2.3设为定义在区间上的函数，那么为上的凸函数当且仅当对，有.3凸函数的性质在熟知了凸函数的定义之后，这一节主要讨论凸函数的一些常用简单性质.性质3.1设在区间上为凸函数，对任意，则时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数.证明由于为上的凸函数，则对有.从而当时.即在区间上为凸函数.同理，可证当时，在区间上为凹函数.证毕.性质3.2设均为区间上的凸函数，则其和也是上的凸函数.证
5、明记，,由于均为凸函数，故有故为上的凸函数，即也是上的凸函数.证毕.由性质3.1和性质3.2可得到下面的推论.推论3.1设是区间上的凸函数，则线性组合的函数第16页共16页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文为上的凸函数，为上的凹函数.性质3.3若为区上的凸函数，为上凸增函数，则为上凸函数.证明对由于为上的凸函数，故.又由.得.故当为上的凸增函数时有由此知为上的凸函数.证毕.性质3.4若设是间上的凸函数，则也为上的凸函数.证明令，由凸函数定义，设有从而因此为上凸函数.证毕.性质3.5设为区间上的凹
6、函数，，则为区间上的凸函数，反之不成立.证明因为且为凹函数,故第16页共16页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文对有.所以.由于.从而.即为区间上的凸函数.证毕.4凸函数的判定定理利用凸函数的定义判断函数在区间上是否为凸函数往往并不方便.因此，下面给出一些凸函数的判定定理.引理若在区间上成为凸函数，则对上任意三点,有.推论4.1若在区间上为凸函数，则对上任意四点，有.推论4.2若在区间上的凸函数，则过的弦的斜率是的增函数（若为严格凸的,则严格增）.推论4.3设函数在区间内为凸函数,则在任意一闭子
7、区间上满足条件:即＞,对有.第16页共16页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文证明因则＞,使得,,若＜,取,在区间内为凸函数,由引理知.其中分别为在上的上下界,从而.若＞,取,因在区间内为凸函数,由引理知.即.因此.取,则有.证毕.推论4.4若函数在区间内是凸函数,那么在内处处左右可导,同时满足对任意的有.证明若函数在区间内是凸函数,则对由推论4.2知在内为递增函数,且当时.所以存在.第16页共16页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文再因.所以由单调有界定理可知存在且.同样也可证时
8、有.所以存在.由,的任意性知在内处处可导.再因,若,且,取且,,那么.即.令则.同理可证.所以.证毕.例4.1为区间上的凸函数，试证对任意,对任意有.证明已知为区间上的凸函数，则由推论4.2与推论4.4可知第16页共16页安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文对任，存在，且单调增加.故对当时有.同理，当时，当时有，因为,故对.对总有.证毕.定理4.1设在区间上可导，则下述论断相互等价：①为
